2015届高考数学理一轮复习学案3.3两角和与差的正弦余弦和正切公式.doc

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第3课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．[对应学生用书P51]【梳理自测】一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．(2012·高考重庆卷)设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为()A．－3B．－1 C．1 D．3 2．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝－，则的值为________．3．(课本精选)化简：sin 200°cos 140°－cos 160°sin 40°＝________．答案：1.A2.3.◆以上题目主要考查了以下内容：(1)C(α－β)：cos(α－β)＝cos___αcos__β＋sin__αsin__β；(2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；(3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；(4)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝.(6)T(α－β)：tan(α－β)＝.二、二倍角的正弦、余弦、正切公式1．(教材改编)下列各式的值为的是()A．2cos2－1 B．1－2sin275°C.D．sin 15°cos 15°2．已知sinα＝，则cos(π－2α)等于()A．－B．－C.D.3．(cos 15°－cos 75°)(sin 75°＋sin 15°)＝()A.B.C.D．1答案：1.D2.B3.C◆以上题目主要考查了以下内容：(1)S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1；(3)T2α：tan 2α＝．三、形如asinα＋bcosα的化简asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝，即tanφ＝.【指点迷津】1．一个源头公式cos(α－β)是所有公式的源头，其它公式可以利用角的变换、公式变形等手段得出．2．两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝－；＝－.(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．3．三种应用公式有正用、逆用、变形用．如：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanα·tanβ)，tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)．cos2α＝→cos2＝sin2α＝→sin2＝(降幂公式)cos＝±，sin＝±tan＝±＝＝.(半角公式)sinα±cosα＝sin等．[对应学生用书P51]考向一三角函数的化简(1)化简：(0＜α＜π)．(2)化简：[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·.【审题视点】(1)把分母2＋2cosα开方，通过约分而化简．(2)非特殊角转化为特殊角．【典例精讲】(1)原式＝＝＝.又∵π＜α＜2π，∴＜＜π.∴cos＜0.∴原式＝＝cosα.(2)原式＝·sin 80°＝·cos 10°＝2cos(10°－40°)＝2cos 30°＝.【类题通法】三角函数式的化简要遵循“三看”原则．(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．1．化简：.解析：原式＝＝＝＝＝cos 2x.考向二三角函数式求值或求角问题(1)(2014·安徽合肥模拟)若α是第二象限角，sin(π－α)＝.求的值；(2)已知函数f(x)＝tan(2x＋)，设α∈，若f＝2cos 2α，求α的大小．【审题视点】(1)寻找已知值与所求代数式的关系．(2)由f＝2cos 2α，切化弦，求sin 2α的值进而求角α.【典例精讲】(1)由sin(π－α)＝，得sinα＝，又α是第二象限角，∴cosα＝－.而＝＝＝＝因此原式＝＝－.(2)由f＝tan＝2cos 2α，得＝2(cos2α－sin2α)．整理得＝2(cosα－sinα)(cosα＋sinα)，又∵α∈，∴sinα＋cosα≠0.∴(cosα－sinα)2＝，∴sin 2α＝.又∵α∈，∴2α∈，∴2α＝，即α＝.【类题通法】(1)给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数．(2)给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用．同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．(3)给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数的值，其次判断该角对应的区间，从而达到解题的目的．2．(2014·亳州质检)已知tan＝2，tanβ＝.(1)求tan 2α的值；(2)求的值．解析：(1)∵tan＝2，∴＝2.∴＝2.∴tanα＝.∴tan 2α＝＝＝.(2)＝＝＝＝tan(β－α)＝＝＝.考向三三角恒等变换的综合应用(2013·高考湖南卷)已知函数f(x)＝sin＋cos，g(x)＝2sin2.(1)若α是第一象限角，且f(α)＝，求g(α)的值；(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．【审题视点】(1)利用三角恒等变换公式将f(x)，g(x)化简为只含一个角的一种三角函数后求解；(2)将f(x)≥g(x)变形为只与sin x有关的不等式求解．【典例精讲】f(x)＝sin＋cos＝sin x－cos x＋cos x＋sin x＝sin x，g(x)＝2sin2＝1－cos x.(1)由f(α)＝，得sinα＝.又α是第一象限角，所以cosα＞0.从而g(α)＝1－cosα＝1－＝1－＝.(2)f(x)≥g(x)等价于sin x≥1－cos x，即sin x＋cos x≥1，于是sin≥，从而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z.故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为.【类题通法】(1)三角函数性质的讨论，可通过变形为asinθ＋bcosθ＝sin(θ＋φ)的形式去讨论．这样的变形，主要是φ角的确定．(2)对于三角函数式中含有sin2x(cos2x)一般先采取降幂，再化为一角一函数型：y＝Asin(ωx＋φ)．3．(2014·枣庄市模拟)已知0＜α＜，且tan＝－2.(1)求α的值；(2)令f(x)＝sin(x∈R)，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 014)的值．解析：(1)由tan＝－2得＝－2解得tanα＝1又0＜α＜，所以α＝.(2)由(1)，知f(x)＝sin，其最小正周期T＝＝4，f(1)＝sin＝，f(2)＝sin＝－，f(3)＝sin＝－cos＝－，f(4)＝sin＝，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 014)＝×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(2 013)＋f(2 014)＝0＋f(1)＋f(2)＝0.[对应学生用书P53]三角恒等变换规范答题(2013·高考广东卷)已知函数f(x)＝cos，x∈R.(1)求f的值；(2)若cosθ＝，θ∈，求f.【审题视点】(1)把x＝－代入函数解析式，借助特殊角的三角函数值和诱导公式求f.(2)由cosθ求出sinθ，利用两角和的余弦公式和二倍角公式求f.【思维流程】诱导公式直接求值．同角公式求sinθ.倍角公式求cos 2θ.倍角公式求sin 2θ.和角余弦公式求值．【解题过程】(1)因为f(x)＝cos，所以f＝cos＝cos＝cos＝×＝1.2分(2)因为θ∈，cosθ＝，所以sinθ＝－＝－＝－，4分cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×－1＝－，6分sin 2θ＝2sinθcosθ＝2××＝－.8分所以f＝cos＝cos＝×10分＝cos 2θ－sin 2θ＝－－＝.12分【规范建议】①第二步求sinθ时，注意用θ∈条件，否则发生符号错误．②第三步：求cos 2θ时，公式cos2θ－sin2θ，2cos2θ－1，1－2sin2θ都可用，但最好还是用2cos2θ－1，减少出错机会．1．(2013·高考江西卷)若sin＝，则cosα＝()A．－B．－C.D.解析：选C.cosα＝1－2sin2＝1－2×＝1－＝.2．(2013·高考全国新课标卷)已知sin 2α＝，则cos2＝()A.B.C.D.解析：选A.结合二倍角公式进行求解．∵sin 2α＝，∴cos2＝＝＝＝.3．(2013·高考重庆卷)4cos 50°－tan 40°＝()A.B.C.D．2－1解析：选C.借助商数关系，三角恒等变换及角度拆分求解．4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－＝＝＝＝＝＝＝＝·＝.4．(2013·高考北京卷)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．解析：(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x＝cos 2xsin 2x＋cos 4x＝(sin 4x＋cos 4x)＝sin，所以f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)因为f(α)＝，所以sin＝1.因为α∈，所以4α＋∈.所以4α＋＝，故α＝.