课时提升作业(六)函数的奇偶性与周期性(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2014·北京模拟)函数y=f(x)=lg(1-x)+lg(1+x)的图象关于()A.y轴对称B.x轴对称C.原点对称D.点(1,1)对称【解析】选A.由得-1<x<1,即函数定义域为(-1,1),又f(-x)=lg(1+x)+lg(1-x)=f(x),所以函数y=lg(1-x)+lg(1+x)为偶函数,其图象关于y轴对称.2.已知函数f(x)=lg|x|,x∈R且x≠0,则f(x)是()A.奇函数且在(0,+∞)上单调递增B.偶函数且在(0,+∞)上单调递增C.奇函数且在(0,+∞)上单调递减D.偶函数且在(0,+∞)上单调递减【解析】选B.f(-x)=lg|-x|=lg|x|=f(x),故函数f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=lgx,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,故选B.3.(2014·绍兴模拟)若函数f(x)(x∈R)是奇函数,函数g(x)(x∈R)是偶函数,则()A.函数f(x)·g(x)是偶函数B.函数f(x)·g(x)是奇函数C.函数f(x)+g(x)是偶函数D.函数f(x)+g(x)是奇函数【解析】选B.由已知f(x),g(x)分别为定义在R上的奇函数与偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),因此f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-[f(x)g(x)],故函数f(x)·g(x)是奇函数.【加固训练】设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是()A.f(x)f(-x)是奇函数B.f(x)|f(-x)|是奇函数C.f(x)-f(-x)是偶函数D.f(x)+f(-x)是偶函数【解析】选D.A中令F(x)=f(x)f(-x),则F(-x)=f(-x)f(x)=F(x),即函数F(x)=f(x)f(-x)为偶函数,B中令F(x)=f(x)|f(-x)|,则F(-x)=f(-x)|f(x)|,此时F(x)与F(-x)的关系不能确定,即函数F(x)=f(x)|f(-x)|的奇偶性不确定,C中令F(x)=f(x)-f(-x),则F(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x),即函数F(x)=f(x)-f(-x)为奇函数,D中令F(x)=f(x)+f(-x),则F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),即函数F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数,故选D.4.(2014·金华模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,其最小正周期为3,且f(x)=log2(-3x+1),则f(2014)=()A.4 B.2 C.-2 D.log27【解析】选C.由已知得f(2014)=f(3×671+1)=f(1)=-f(-1)=-log2[-3×(-1)+1]=-2.【加固训练】(2013·威海模拟)奇函数y=f(x)满足f(3)=1,且f(x-4)=f(x)-f(3),则f(2)等于()A.0 B.1 C.-D.【解析】选D.因为f(x-4)=f(x)-f(3),所以取x=2,得f(-2)=f(2)-f(3),即f(3)=f(2)-f(-2),因为y=f(x)是奇函数,所以f(-2)=-f(2),因此,f(3)=f(2)-f(-2)=2f(2),得f(2)=f(3)=×1=,故选D.5.(2013·天津高考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(loa)≤2f(1),则a的取值范围是()A.[1,2]B.C.D.(0,2]【思路点拨】根据对数的运算性质和函数的奇偶性,将条件f(log2a)+f(loa)≤2f(1)化为f(log2a)≤f(1),再结合单调性转化为≤1求解.【解析】选C.根据对数的运算性质和函数的奇偶性可知f(loa)=f(-log2a)=f(log2a),因此f(log2a)+f(loa)≤2f(1)可化为f(log2a)≤f(1).又因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,故≤1,解得≤a≤2.6.(2014·温州模拟)已知f(x)是周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=lgx,设a=f,b=f,c=f,则()A.c<a<b B.a<b<c C.b<a<c D.c<b<a【解析】选A.a=f=f=-f=-lg=lg,b=f=f=-f=-lg=lg2,c=f=f=lg,因为2>>,所以lg2>lg>lg,所以b>a>c.7.(2014·宁波模拟)在R上定义的函数f(x)是偶函数,且f(x)=f(2-x).若f(x)在区间[1,2]上是减函数,则f(x)()A.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数B.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数C.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数D.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数【思路点拨】根据f(x)=f(2-x)得对称性与周期性,结合奇偶性,画出大致图象数形结合求解.【解析】选B.由f(x)=f(2-x)知其图象关于直线x=1对称,且有f(2+x)=f(2-x)=f(x),所以f(x)是周期为2的周期函数,得其大致图象如图所示,由图象知B正确.8.(能力挑战题)(2013·重庆高考)已知函数f(x)=ax3+bsinx+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,则f(lg(lg2))=()A.-5 B.-1 C.3 D.4【思路点拨】构建奇函数g(x)=ax3+bsinx.根据函数的奇偶性求解.【解析】选C.因为lg(log210)=lg=-lg(lg2),令g(x)=ax3+bsinx,则g(x)为奇函数,所以g(lg(lg2))+g(-lg(lg2))=0,又f(lg(log210))=f(-lg(lg2))=g(-lg(lg2))+4=5,①设f(lg(lg2))=g(lg(lg2))+4=m,②①+②得8=5+m,所以m=3.二、填空题(每小题5分,共20分)9.函数f(x)=为奇函数,则a=.【解析】由题意知,g(x)=(x+1)(x+a)为偶函数,所以a=-1.答案:-1【加固训练】已知函数f(x)=为奇函数,则f=.【解析】要使函数f(x)=有意义,则4-x2>0,解得x2<4,-2<x<2,所以函数的定义域为(-2,2).因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,即f(0)==0,解得a=2.所以f=f(1)===-.答案:-10.(2014·湖州模拟)若偶函数y=f(x)为R上的周期为6的周期函数,且满足f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3),则f(-6)等于.【思路点拨】先由偶函数求a的值,再用周期性求f(-6).【解析】因为y=f(x)为偶函数,且f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3),所以f(x)=x2+(1-a)x-a,1-a=0,所以a=1,f(x)=(x+1)(x-1)(-3≤x≤3).f(-6)=f(-6+6)=f(0)=-1.答案:-1 11.已知y=f(x)是奇函数,若g(x)=f(x)+2,且g(1)=1,则g(-1)=.【思路点拨】先根据g(1)求f(1),从而f(-1)可求,再求g(-1).【解析】由g(x)=f(x)+2,且g(1)=1,得f(1)=g(1)-2=-1.因为f(x)是奇函数,所以f(-1)=-f(1)=1,所以g(-1)=f(-1)+2=1+2=3.答案:3 12.(能力挑战题)关于函数f(x)=lg,有下列结论:①函数f(x)的定义域是(0,+∞);②函数f(x)是奇函数;③函数f(x)的最大值为-lg2;④当0<x<1时,函数f(x)是增函数,当x>1时,函数f(x)是减函数,其中正确结论的序号是(写出所有你认为正确的结论的序号).【解析】由f(x)=lg知>0,所以x>0,即函数f(x)的定义域是(0,+∞),①正确.②函数f(x)是奇函数,不正确,因为定义域不关于原点对称.因为f(x)=lg=lg,x+≥2,所以函数f(x)的最大值为-lg2,③正确.由复合函数的单调性,当0<x<1时,函数f(x)是增函数,当x>1时,函数f(x)是减函数,④正确,综上知答案为①③④.答案:①③④【误区警示】本题②容易忽略函数的定义域而导致错解,在判断函数的奇偶性时要注意先判断定义域是否关于原点对称.【加固训练】函数y=f(x)(x∈R)有下列命题:①在同一坐标系中,y=f(x+1)与y=f(-x+1)的图象关于直线x=1对称;②若f(2-x)=f(x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称;③若f(x-1)=f(x+1),则函数y=f(x)是周期函数,且2是一个周期;④若f(2-x)=-f(x),则函数y=f(x)的图象关于(1,0)对称,其中正确命题的序号是.【解析】对于①,y=f(x+1)的图象由y=f(x)的图象向左平移1个单位得到,y=f(-x+1)的图象,由y=f(-x)的图象向右平移1个单位得到,而y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称,从而y=f(x+1)与y=f(-x+1)的图象关于直线x=0对称,故①错;对于②,由f(2-x)=f(x)将x换为x+1可得f(1-x)=f(1+x),从而②正确;对于③,由f(x-1)=f(x+1)将x换为x+1可得,f(x+2)=f(x),从而③正确;对于④,由f(2-x)=-f(x)同上可得f(1-x)=-f(1+x),从而④正确.答案:②③④三、解答题(13题12分,14～15题各14分)13.已知函数f(x)=2|x-2|+ax(x∈R)有最小值.(1)求实数a的取值范围.(2)设g(x)为定义在R上的奇函数,且当x<0时,g(x)=f(x),求g(x)的解析式.【解析】(1)f(x)=要使函数f(x)有最小值,需所以-2≤a≤2,即当a∈[-2,2]时,f(x)有最小值.(2)因为g(x)为定义在R上的奇函数,所以g(0)=0.设x>0,则-x<0,所以g(x)=-g(-x)=(a-2)x-4,所以g(x)=【误区警示】本题(2)在求解析式时,容易忽略x=0的情况,而导致错解.14.(2014·广州模拟)已知函数f(x)=是奇函数.(1)求实数m的值.(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.【解析】(1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),于是x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,结合f(x)的图象知所以1<a≤3,故实数a的取值范围是(1,3].15.(能力挑战题)定义在R上的函数f(x)对任意a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)+k(k为常数).(1)判断k为何值时,f(x)为奇函数,并证明.(2)设k=-1,f(x)是R上的增函数,且f(4)=5,若不等式f(mx2-2mx+3)>3对任意x∈R恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)若f(x)在R上为奇函数,则f(0)=0,令a=b=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)+k,所以k=0.证明:由f(a+b)=f(a)+f(b),令a=x,b=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x),又f(0)=0,则有0=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立,所以f(x)是奇函数.(2)因为f(4)=f(2)+f(2)-1=5,所以f(2)=3.所以f(mx2-2mx+3)>3=f(2)对任意x∈R恒成立.又f(x)是R上的增函数,所以mx2-2mx+3>2对任意x∈R恒成立,即mx2-2mx+1>0对任意x∈R恒成立,当m=0时,显然成立;当m≠0时,由得0<m<1.所以实数m的取值范围是[0,1).
