2014-2015学年高二数学人教A版必修5学案第二章数列2.3等差数列的前n项和.doc

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§2.3等差数列的前n项和材拓展1．等差数列的判定(1)an－an－1＝d(n≥2，d为常数)⇔{an}是公差为d的等差数列；(2)2an＝an－1＋an＋1(n≥2)⇔{an}是等差数列；(3)an＝kn＋b(k，b为常数)⇔{an}是公差为k的等差数列(n≥1)；(4)Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是公差为2A的等差数列(n≥1)．例如：已知等差数列{an}的前n项和Sn＝(n－1)2＋λ，则λ的值是________．解析Sn＝(n－1)2＋λ＝n2－2n＋(1＋λ)，∵{an}是等差数列，∴1＋λ＝0，λ＝－1.答案－1 2．等差数列的通项公式将an＝a1＋(n－1)d可整理为an＝dn＋(a1－d)，它是关于n的一次函数(d≠0)或常函数(d＝0)，它的图象是一条射线上的一群横坐标为正整数的孤立的点，公差d是该射线所在直线的斜率．例如：等差数列{an}中，若an＝m，am＝n(m≠n)，则am＋n＝______.解析由点(n，an)，(m，am)，(m＋n，am＋n)三点共线，∴＝.即＝＝－1，易得am＋n＝0.答案0 3．等差数列的前n项和公式(1)将公式Sn＝na1＋d变形可得Sn＝n2＋n.故当d≠0时，等差数列前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的一群孤立点．(2)＝n＋是关于n的一次函数(d≠0)或常函数(d＝0)．当涉及等差数列前n项和Sn的计算问题时，有时设Sn＝An2＋Bn的形式更简便快捷．例如：等差数列{an}中，若Sp＝q，Sq＝p(p≠q)，则Sp＋q＝__________.解析设Sn＝An2＋Bn，则由(1)－(2)得Ap2＋Bp－Aq2－Bq＝q－p，∴A(p2－q2)＋B(p－q)＝q－p，∵p≠q，∴A(p＋q)＋B＝－1.∵Sp＋q＝A(p＋q)2＋B(p＋q)＝[A(p＋q)＋B]·(p＋q)＝－(p＋q)．答案－(p＋q)4．等差数列的性质(1)若数列{an}和{bn}均是等差数列，则{man＋kbn}仍为等差数列，其中m、k均为常数．(2)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.(3)等差数列中依次k项的和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列，公差为k2d(d是原数列公差)．(4)若{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别为Sn与S′n，则＝.(5)等差数列{an}中，奇数项的和记作S奇，偶数项的和记作S偶，则Sn＝S奇＋S偶．当n为偶数时：S偶－S奇＝d；当n为奇数时：S奇－S偶＝a中，S奇＝a中，S偶＝a中，＝.(其中a中是等差数列的中间一项)例如：已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是________．解析S偶－S奇＝d＝5d，∴5d＝30－15＝15，∴d＝3.答案3 5．等差数列前n项和的最值求等差数列前n项和的最值的常用方法：(1)通项法当a1>0，d<0时，数列{an}只有前面有限项为非负数，从某项开始所有项均为负数，因此，Sn有最大值，当n满足不等式组时，Sn取到这个最大值；当a1<0，d>0时，数列{an}只有前面有限项为非正数，从某项开始所有项均为正数，因此，Sn有最小值，当n满足不等式组时，Sn取到这一最小值．(2)二次函数法由于Sn＝n2＋n，n∈N*是关于n的二次函数式，故可转化为求二次函数的最值问题，但要注意数列的特殊性n∈N*.例如：{an}是等差数列，a1>0，a2 009＋a2 010>0，a2 009·a2 010<0，则使前n项和Sn最大时，n的值是________；使前n项和Sn>0成立时，n的最大值是________．答案2 0094 018法突破一、等差数列的判断方法方法链接：判定等差数列的常用方法：(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)；(2)通项公式法：an＝kn＋b(k，b为常数)(n∈N*)；(3)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)；(4)前n项和法：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)，n∈N*.例1数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝，判断{an}是否为等差数列？并证明你的结论．解{an}是等差数列，证明如下：因为an＝Sn－Sn－1＝－(n≥2)，所以an＋1＝－，所以an＋1－an＝[(n＋1)(a1＋an＋1)－2n(a1＋an)＋(n－1)(a1＋an－1)]＝[(n＋1)an＋1－2nan＋(n－1)an－1](n≥2)，即(n－1)(an＋1－2an＋an－1)＝0，所以an＋1＋an－1＝2an(n≥2)，所以数列{an}为等差数列．二、等差数列中基本量的运算方法链接：在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a1和d是两个基本量，利用通项公式与前n项和公式，求出a1和d，等差数列就确定了．例2在等差数列{an}中，(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8；(2)已知前3项和为12，前3项积为48，且d>0，求a1；(3)已知前3项依次为a,4,3a，前k项和Sk＝2 550，求a及k.解(1)∵a6＝10，S5＝5，∴.解方程组得a1＝－5，d＝3，∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，S8＝8×＝44.(2)设数列的前三项分别为a－d，a，a＋d，依题意有：，∴，∴.∵d>0，∴d＝2，a－d＝2.∴a1＝2.(3)设公差为d，则由题意得∴因此，a＝2，k＝50.三、等差数列的性质及运用方法链接：等差数列有一些重要的性质，例如：(1)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；(2)若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap；(3)若{an}是等差数列，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k也成等差数列．(其Sk为前k项和)(4)若等差数列{an}的前n项和为Sn，等差数列{bn}的前n项和为Tn，则＝.熟练运用这些性质，可以提高解题速度，获得事半功倍的功效．例3(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，求a2＋a4＋a9的值；(2)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，求证：①＝；②＝·.(1)解由S9＝＝72，∴a1＋a9＝16，∴a1＋a9＝2a5＝16，∴a5＝8，∴a2＋a4＋a9＝a1＋a5＋a9＝3a5＝24.(2)证明①＝＝＝＝.②＝＝＝＝·.四、等差数列前n项和的最值方法链接：等差数列前n项和最值问题除了用二次函数求解外，还可用下面的方法讨论：若d>0，a1<0，Sn有最小值，需若a1>0，d<0，Sn有最大值，需n取正整数．例4(1)首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3＝S11，问n为何值时，Sn最大？(2)等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求{|an|}的前30项和及前n项和．解(1)设首项为a1，公差为d，则由题意知，d<0，点P(n，Sn)在抛物线y＝x2＋x上，其对称轴方程为x＝7(由S11＝S3知)，故(7，S7)是抛物线的顶点，∴n＝7时，Sn最大．(2)设公差为d，则由a1＋16d＝a17，得d＝3>0，因此an＝3n－63.点Q(n，an)在增函数y＝3x－63的图象上．令y＝0则得x＝21，故当n≥22时，an>0；当1≤n≤21且n∈N*时，an≤0，于是|a1|＋|a2|＋…＋|a30|＝－a1－a2－…－a21＋a22＋a23＋…＋a30＝a1＋a2＋…＋a30－2(a1＋a2＋…＋a21)＝765.记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，则由上面的求解过程知：当1≤n≤21，n∈N*时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－a1－a2－…－an＝＝－n2＋n.当n>21，n∈N*时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a20|＋|a21|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋a21)＋a22＋a23＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an)－2(a1＋a2＋…＋a21)＝n2－n＋1 260.∴数列{|an|}的前n项和Tn＝五、关于等差数列的探索性问题方法链接：对于与等差数列有关的探索性问题，先由前三项成等差数列确定参数后，再利用定义验证或证明所得结论．例5已知数列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解(1)∵a1＝5，∴a2＝2a1＋22－1＝13，a3＝2a2＋23－1＝33.(2)假设存在实数λ，使得数列为等差数列．则，，成等差数列，∴2×＝＋，∴＝＋.解得λ＝－1.当λ＝－1时，－＝[(an＋1－1)－2(an－1)]＝(an＋1－2an＋1)＝[(2an＋2n＋1－1)－2an＋1]＝×2n＋1＝1.综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列为等差数列，且首项是2，公差是1.六、关于等差数列的创新型问题方法链接：关于等差数列的创新型试题，常以图表、数阵、新定义等形式出现．解决此类问题时通过对图表的观察、分析、提炼，挖掘出题目蕴含的有用信息，利用所学等差数列的有关知识加以解决．例6下表给出一个“等差数阵”：47()()()…a1j…712()()()…a2j…()()()()()…a3j…()()()()()…a4j………………………ai1ai2ai3ai4ai5…aij………………………其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．(1)写出a45的值；(2)写出aij的计算公式．解(1)通过观察“等差数阵”发现：第一行的首项为4，公差为3；第二行首项为7，公差为5.归纳总结出：第一列(每行的首项)是以4为首项，3为公差的等差数列，即3i＋1，各行的公差是以3为首项，2为公差的等差数列，即2i＋1.所以a45在第4行，首项应为13，公差为9，进而得出a45＝49.(2)该“等差数阵”的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j＝4＋3(j－1)；第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j＝7＋5(j－1)；……第i行是首项为4＋3(i－1)，公差为2i＋1的等差数列，因此，aij＝4＋3(i－1)＋(2i＋1)(j－1)＝2ij＋i＋j＝i(2j＋1)＋j.区突破1．审题不细心，忽略细节而致错例1首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，求公差d的取值范围．[错解]a10＝a1＋9d＝－24＋9d>0，∴d>.[点拨]忽略了“开始”一词的含义，题目强调了第10项是该等差数列中的第一个正项，应有a9≤0.[正解]设an＝－24＋(n－1)d，由，解不等式得：<d≤3.2．忽略公式的基本特征而致错例2已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且对一切正整数n都有＝，试求的值．[错解]设Sn＝(5n＋3)k，Tn＝(2n＋7)k，k≠0，则a9＝S9－S8＝(5×9＋3)k－(5×8＋3)k＝5k，b9＝T9－T8＝(2×9＋7)k－(2×8＋7)k＝2k，所以＝.[点拨]此解答错在根据条件＝，设Sn＝(5n＋3)k，Tn＝(2n＋7)k，这是把等差数列前n项和误认为是关于n的一次函数，没有准确把握前n项和公式的特点．[正解]因为{an}和{bn}是公差不为0的等差数列，故设Sn＝n(5n＋3)k，Tn＝n(2n＋7)k，k≠0，则a9＝S9－S8＝9×(5×9＋3)k－8×(5×8＋3)k＝88k，b9＝T9－T8＝9×(2×9＋7)k－8×(2×8＋7)k＝41k，所以＝.温馨点评等差数列的前n项和Sn＝n2＋n，当d≠0时，是关于n的二次函数式，且常数项为零，当d＝0时，Sn＝na1，但是本题不属于这种情况(否则＝＝与＝矛盾)．3．对数列的特点考虑不周全而致错例3在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值．[错解]设公差为d，∵S10＝S15，∴10×20＋d＝15×20＋d，得120d＝－200，即d＝－，∴an＝20－(n－1)·，当an>0时，20－(n－1)·>0，∴n<13.∴n＝12时，Sn最大，S12＝12×20＋×＝130.∴当n＝12时，Sn有最大值S12＝130.[点拨]解中仅解不等式an>0是不正确的，事实上应解an≥0，an＋1≤0.[正解]由a1＝20，S10＝S15，解得公差d＝－.∵S10＝S15，∴S15－S10＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，∵a11＋a15＝a12＋a14＝2a13＝0，∴a13＝0.∵公差d<0，a1>0，∴a1，a2，…，a11，a12均为正数，而a14及以后各项均为负数．∴当n＝12或13时，Sn有最大值为S12＝S13＝130.4．忽略题目中的隐含条件而致错例4一个凸n边形的各内角度数成等差数列，其最小角为120°，公差为5°，求凸n边形的边数．[错解]一方面凸n边形的内角和为Sn，Sn＝120°n＋×5°.另一方面，凸n边形内角和为(n－2)×180°.所以120n＋×5＝(n－2)×180.化简整理得：n2－25n＋144＝0.所以n＝9或n＝16.即凸n边形的边数为9或16.[点拨]凸n边形的每个内角都小于180°.当n＝16时，最大内角为120°＋15°×5°＝195°>180°应该舍掉．[正解]凸n边形内角和为(n－2)×180°，所以120n＋×5＝(n－2)×180，解得：n＝9或n＝16.当n＝9时，最大内角为120°＋8°×5°＝160°<180°；当n＝16时，最大内角为120°＋15×5°＝195°>180°舍去．所以凸n边形的边数为9.题多解例一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．分析本题可从基本方法入手，先求a1，d，再求前110项之和，为了简化计算，也可利用等差数列前n项和的性质．解方法一设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则Sn＝na1＋d.由已知得①×10－②整理得d＝－，代入①，得a1＝，∴S110＝110a1＋d＝110×＋×＝110＝－110.故此数列的前110项之和为－110.方法二设Sn＝an2＋bn.∵S10＝100，S100＝10，∴解得∴Sn＝－n2＋n.∴S110＝－×1102＋×110＝－110.方法三设等差数列的首项为a1，公差为d，则①－②得(p－q)a1＋d＝－(p－q)．又p≠q，∴a1＋d＝－1，∴Sp＋q＝(p＋q)a1＋d＝(p＋q)(－1)，∴S110＝－110.方法四数列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列，设其公差为D.前10项的和10S10＋·D＝S100＝10，解得D＝－22，∴S110－S100＝S10＋(11－1)D＝100＋10×(－22)＝－120.∴S110＝－120＋S100＝－110.方法五∵S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100＝＝.又S100－S10＝10－100＝－90，∴a1＋a110＝－2.∴S110＝＝－110.题赏析1．(2009·全国Ⅱ)已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}的前n项和Sn.解设{an}的公差为d，则即解得或因此Sn＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9)，或Sn＝8n－n(n－1)＝－n(n－9)．2．(2009·江苏)设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a＋a＝a＋a，S7＝7.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；(2)试求所有的正整数m，使得为数列{an}中的项．解(1)由题意，设等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，d≠0.由a＋a＝a＋a得a－a＝a－a，由性质得－3d(a4＋a3)＝d(a4＋a3)，因为d≠0所以a4＋a3＝0，即2a1＋5d＝0.①又因为S7＝7，所以a1＋3d＝1.②由①②可得a1＝－5，d＝2.所以数列{an}的通项公式an＝2n－7，Sn＝na1＋d＝n2－6n.(2)因为＝＝am＋2－6＋为数列{an}中的项，故为整数．又由(1)知am＋2为奇数，所以am＋2＝2m－3＝±1，即m＝1,2.经检验，符合题意的正整数只有m＝2.赏析试题考查了等差数列的有关知识，起点较低，落点较高，难度控制得恰到好处．第(2)问要求考生有一定的分析问题解决问题的能力．。