2014-2015学年高一数学北师大版必修3素材第三章概率几何概型典例剖析.doc

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几何概型典例剖析一、几何概型的基本特性解决几何概型的求概率间题，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率．几何概型的两个特征：(1)试验结果有无限多，(2)每个结果的出现是等可能的．事件A可以理解为区域的某一子区域，事件A的概率只与区域A的度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关．事件A若满足几何概型，则事件A的概率计算公式是：.与古典概率一样，几何概率也具有非负性（对任意事件A，有0≤P（A）≤1）、规范性（必然事件概率为1，不可能事件概率为0）和有限可加性（当事件A1、A2、…、An互斥时，P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）．另外几何概率还具有完全可加性，即当事件A1、A2、A3、……互斥时，则.值得注意的是：如果随机事件所在区域是一个单点，因其长度、面积、体积均为0，所以其出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则其出现的概率为1，但它不是必然事件．二、几何概型的应用2.1与(时间)长度有关的几何概型例1．国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30min长的磁带上，从开始30s处起，有l0s长的一段内容含两间谍犯罪的信息，后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了，那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？分析:包含两个间谋谈话录音的部分在30s到40s之间，当按错健的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉，当按错健的时刻在0到40s之间时全部被擦掉，即在Os到40s之间，也即Omin到min之间的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而Omin到30min之间的时间段内任一时刻按错健的可能性是相等的，所以按错健使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关，符合几何概型的条件．解析:设事件A"按错健使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉”，事件A发生就是在Omin到min时间段内按错键，所以点评:此题有两个难点:一是等可能的判断;二是事件A对应的区域是Omin到min的时间段,而不是min到min的时间段.2.2与面积有关的几何概型例2．射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环，从外向内：白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”，奥运会的比赛靶面直径是122cm,靶心直径12.2cm，运动员在70米外射箭，假设都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，那么射中“黄心”的概率是多少？分析：由于箭都能中靶，且对中靶面的任一点是等可能的，因此符合几何极型的特征，可用几何概型的求概率公式求解．解：记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面积为π×1222cm2的大圆内，而当中靶点满在面积为π×12.22cm2的黄心时，事件B发生，于是事件B发生的概率:答：“射中靶心”的概率是0.01.点评:在几何区域D内随机取一点,记事件“该点落在其内部的一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率:.2.3与体积有关的几何概型例3.在1L高产下麦种子里中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随即取出10mL，含有麦锈病种子的概率是多少？点拨:病种子在这1L种子中的分布可以看作是随机的,取得10mL种子可以看作区域d,所有种子可视为区域D.解：取出10mL麦种，其中“含有麦锈病种子”这一事件记为A，则P（A）=点评:本题事件A的度量是用种子的体积,应用问题的度量视具体情况而定.2.4创新应用型几何概型O x y 60 60 15 15例4.（会面问题）热恋中的甲、乙两人约定在7时到8时之间在某处见面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．解析：以x和y分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的充要条件是：|x-y|≤15，在平面上建立直角坐标系如图，则（x，y）的所有可能结果是边长为60的正方形，而可能会面的时间由图中的阴影部分所表示．这是一个几何概率问题，由等可能性知两人能会面的概率是P（A）=几何概型中有无限多个试验结果，只要明确几何概型的定义，掌握几何概型中事件的概率计算公式，问题是不难解决的．几何概型中的三种基本度量为长度、面积和体积，在解题时要准确把握，要把问题向它们作合理地转化．。