2015届高考数学理复习配套训练第3章第2节同角3角函数的基本关系与诱导公式含答案.doc

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第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式考纲传真1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x．2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．(见学生用书第48页)1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：tanα＝(α≠＋kπ，k∈Z)．2．六组诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sinα－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cosα－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tanαtan_α－tan_α－tan_α口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是角α是锐角()(2)cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，则cosθ＝()(3)若α≠(k∈Z)，则tan＝－()(4)若sinα＋cosα＝1，那么有sinnα＋cosnα＝1()【解析】由诱导公式，知(1)(2)不正确．当α≠时，tan＝＝＝－，(3)正确．由sinα＋cosα＝1，知α＝2kπ或α＝2kπ＋(k∈Z)，∴sinnα＋cosnα＝1，(4)正确．【答案】(1)×(2)×(3)√(4)√2．(人教A版教材习题改编)已知cos(α－π)＝－，且α是第四象限角，则sinα＝()A．－B.C.D．±【解析】∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－，∴cosα＝，又α是第四象限角，∴sinα＜0，则sinα＝－＝－.【答案】A 3．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，则θ等于()A．－B．－C.D.【解析】由sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)得－sinθ＝－cosθ，∴tanθ＝，又|θ|＜，∴θ＝.【答案】D 4．(2013·广东高考改编)已知sin＝，则sinα＝________.【解析】由sin＝cosα＝，∴sinα＝±＝±.【答案】±5．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝________.【解析】sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝＝＝＝.【答案】(见学生用书第48页)考向1同角三角函数关系式的应用【例1】(1)已知α为第二象限角，sinα＝，则sin 2α＝________.(2)已知＝5，则sin2α－sinαcosα的值是()A.B．－C．－2D．2【思路点拨】(1)由平方关系，求cosα，进而利用二倍角公式求值．(2)先根据已知条件求得tanα，再将待求式变形为分子、分母关于“弦函数”的二次齐次求解．【尝试解答】(1)∵α为第二象限角且sinα＝，∴cosα＝－＝－，∴sin 2α＝2sinα·cosα＝2××(－)＝－.(2)由＝5，得＝5，解之得tanα＝2.所以sin2α－sinαcosα＝＝＝.【答案】(1)－(2)A,规律方法11.利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化．2．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.变式训练1(2013·课标全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan＝，则sinθ＋cosθ＝________.【解析】∵tan＝，∴＝，解得tanθ＝－.∴(sinθ＋cosθ)2＝＝＝＝.∵θ为第二象限角，tanθ＝－，∴2kπ＋＜θ＜2kπ＋π，∴sinθ＋cosθ＜0，∴sinθ＋cosθ＝－.【答案】－考向2诱导公式的应用【例2】已知f(α)＝，(1)化简f(α)；(2)若cos(α－)＝，且α是第三象限角，求f(α)的值．【思路点拨】(1)直接利用诱导公式化简约分．(2)利用α在第三象限及同角三角函数关系的变形式得f(α)．【尝试解答】(1)f(α)＝＝＝－cosα.(2)∵cos＝cos＝－sinα，∴－sinα＝，即sinα＝－.又α为第三象限角，∴cosα＝－＝－，∴f(α)＝－cosα＝.,规律方法21.利用诱导公式应注意已知角或函数名称与所求角或函数名称之间存在的关系，选择恰当的公式，向所求角和三角函数进行化归．2．诱导公式的应用原则：负化正、大化小、小化锐、锐求值．变式训练2(2014·郑州质检)已知cos＝2sin，则的值为________．【解析】∵cos＝2sin，∴－sinα＝－2cosα，则sinα＝2cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝.＝＝＝cos2α－＝.【答案】考向3sinα±cosα与sinα·cosα的关系【例3】(2014·扬州模拟)已知－π＜x＜0，sin x＋cos x＝.(1)求sin x－cos x的值；(2)求的值．【思路点拨】(1)利用平方关系，设法沟通sin x－cos x与sin x＋cos x的关系；(2)先利用倍角公式、商数关系式化为角x的弦函数，再设法将所求式子用已知表示出来．【尝试解答】(1)由sin x＋cos x＝，平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，整理得2sin xcos x＝－.∵(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝.由－π＜x＜0，知sin x＜0，又sin x＋cos x＞0，∴cos x＞0，sin x－cos x＜0，故sin x－cos x＝－.(2)＝＝＝＝－.,规律方法31.第(1)问应注意x的范围对sin x－cos x的符号的影响．事实上根据条件可进一步判定x∈(－，0)．2．(1)对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，知一可求二，转化公式为(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，体现了方程思想的应用；(2)关于sinα，cosα的齐次式，往往化为关于tanα的式子．变式训练3(1)已知sinα－cosα＝，α∈(0，π)，则tanα＝()A．－1B．－C.D．1(2)(2013·青岛评估)若△ABC的内角A满足sin 2A＝，则sin A＋cos A＝________.【解析】(1)∵sinα－cosα＝，α∈(0，π)，∴1－2sinαcosα＝2，则sin 2α＝－1.因此2α＝π，则tanα＝tanπ＝－1.(2)在△ABC中，sin 2A＝2sin Acos A＝>0.∴A∈，则sin A＋cos A>0.又(sin A＋cos A)2＝1＋2sin Acos A＝，故sin A＋cos A＝.【答案】(1)A(2)一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．两个防范1.利用诱导公式进行化简求值时，要注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要注意判断三角函数值的符号．三种方法(1)弦切互化法：主要利用公式tanα＝进行弦、切互化．(2)和积转换法：利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝tan等.(见学生用书第50页)从近两年高考试题看，同角三角函数关系与诱导公式的考查以化简、求值为主，题型为选择、填空题的形式，试题不超过中等难度；并注重与倍角、两角和、两角差等公式渗透，考查基本运算和转化思想，求解时常见错误是忽视三角函数值符号的判断．易错辨析之三忽视三角函数值符号的判断致误(2012·大纲全国卷)已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos 2α＝()A．－B．－C.D.【错解】∵sinα＋cosα＝，∴(sinα＋cosα)2＝，∴2sinαcosα＝－，即sin 2α＝－.又∵α为第二象限角，∴2kπ＋＜α＜2kπ＋π(k∈Z)．∴4kπ＋π＜2α＜4kπ＋2π(k∈Z)．∴cos 2α＝＝.【答案】D错因分析：(1)忽视隐含条件sinα＋cosα＝＞0这一隐含条件．(2)忽视三角函数值符号的判断．防范措施：(1)由sinα＋cosα＝，隐含着sinα＋cosα＞0，即sinα＞－cosα，结合α为第二象限角可进一步约束角α的范围．(2)利用平方关系求三角函数值，开方时应注意三角函数值符号的判断．【正解】∵sinα＋cosα＝，∴(sinα＋cosα)2＝，∴2sinαcosα＝－，即sin 2α＝－.又∵α为第二象限角且sinα＋cosα＝>0，∴2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)，∴4kπ＋π<2α<4kπ＋π(k∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos 2α＝－＝－.【答案】A 1．(2013·大纲全国卷改编)已知α是第二象限角，sinα＝，则tanα的值是()A.B．－C.D．－【解析】∵sinα＝，且α是第二象限角，∴cosα＝－＝－，则tanα＝＝－.【答案】B 2．(2013·浙江高考改编)已知sinα＋2cosα＝(α∈R)，则tan 2α＝________.【解析】由sinα＋2cosα＝，平方得sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝，整理，3sin2α－8sinαcosα－3cos2α＝0，∴3tan2α－8tanα－3＝0，则tanα＝3或tanα＝－.代入tan 2α＝，得tan 2α＝－.【答案】－。