线段垂直平分线与角平分线的“证”与“用”数学教学论文.doc

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线段垂直平分线与角平分线的“证”与“用”_数学教学论文线段的垂直平分线和角平分线在北师大教材中是学习“证明二”的两大载体，简称“两线”.这部分内容除了在完整局部公理化体系、培养学生演绎推理能力方面功不可没之外，在解决相关证明和计算问题时，还体现出基本几何图形特有的解题价值.具体如下：一、线段垂直平分线的证与用定义垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.

性质线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等.

判定到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.a例１（全国数学竞赛广东初赛试题）在等边三角形ＡＢＣ所在平面内，存在着一点Ｐ，使△ＰＡＢ，△ＰＢＣ，△ＰＡＣ都是等腰三角形，具有这样性质的点Ｐ共有（）.

Ａ．３个Ｂ．６个Ｃ．１０个Ｄ．１２个点拨与解析欲使△ＰＡＢ，△ＰＢＣ，△ＰＡＣ都是等腰三角形，则满足条件的Ｐ点只能在三边的垂直平分线上，而后再以所作等腰三角形顶点为标准分类讨论，运用圆规的辅助功能，不难得出结果.具体如下：分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径作圆，交垂直平分线的交点就是满足要求的点．每条垂直平分线上得３个交点，再加三角形的外心，一共１０个．归纳与提炼１.线段的垂直平分线在应用时具有摆脱全等，直接得出线段相等的功能.

２.补全线段垂直平分线基本图形的残缺线，往往是解决相关问题的关键.

二、角平分线的证与用定义由一个角的顶点出发，在角的内部将这个角平分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线.

性质角平分线上的点到这个角两边的距离相等.三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三角形三边的距离相等.

判定在一个角的内部，到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.

例２（北师大课本变式题）已知：△ＡＢＣ外角∠ＣＢＤ与∠Ａ的平分线交于点Ｆ.求证：点Ｆ在∠ＢＣＥ的平分线上.

点拨与解析由在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上可知，欲证结论，只要说明点Ｆ到ＣＢ和ＣＥ的距离相等即可.具体如下：过Ｆ分别作ＢＤ，ＢＣ，ＣＥ的垂线段ＦＧ，ＦＨ，ＦＩ，则由角平分线性质定理可得ＦＧ＝ＦＩ，ＦＧ＝ＦＨ，∴ＦＨ＝ＦＩ，∴点Ｆ在∠ＢＣＥ的平分线上.

例３（黑龙江哈尔滨）如图１，在正方形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ与ＢＤ相交于点Ｅ，ＡＦ平分∠ＢＡＣ，交ＢＤ于点Ｆ．（１）求证：EF AC=AB.

（２）点Ｃ１从点Ｃ出发，沿着线段ＣＢ向点Ｂ运动（不与点Ｂ重合），同时点Ａ１从点Ａ出发，沿着ＢＡ的延长线运动，点Ｃ１与Ａ１的运动速度相同，当动点Ｃ１停止运动时，另一动点Ａ１也随之停止运动．如图２，Ａ１Ｆ１平分∠ＢＡ１Ｃ１，交ＢＤ于点Ｆ１，过点Ｆ１作Ｆ１Ｅ１⊥Ａ１Ｃ１，垂足为Ｅ１，请猜想Ｅ１Ｆ１，A1C1与ＡＢ三者之间的数量关系，并证明你的猜想.

（３）在（２）的条件下，当Ａ１Ｅ１＝３，Ｃ１Ｅ１＝２时，求ＢＤ的长．点拨与解析本题是一道较为复杂的中考压轴题，由于考生对题目隐含条件破译不够，再加上对角平分线基本图形的构造缺乏自信，致使解答本题时障碍重重，无从着手.倘若看到ＡＦ和Ａ１Ｆ１分别是相应三角形的角平分线，并利用正方形的性质得到ＢＥ和ＢＥ１分别是相应三角形的另一条角平分线，于是点Ｆ和Ｆ１分别是△ＡＢＣ和△Ａ１ＢＣ１的两条角平分线的交点，从而构造角平分线性质定理基本图形，即将本题化繁为简，变难到易.

归纳与提炼１.角平分线的性质在运用时也具有摆脱全等，直接得出线段相等的功能.

２.补全角平分线基本图形的残缺线，常常是“架桥过河”，是解决相关几何问题的关键.

三、线段的垂直平分线与角平分线“珠联璧合”例4（北师大课本习题新证）如图，已知Ｅ是∠ＡＯＢ的平分线上一点，ＥＣ⊥ＯＡ，ＥＤ⊥ＯＢ，垂足分别为点Ｃ，Ｄ.求证：（１）ＯＣ＝ＯＤ；（２）ＯＥ是ＣＤ的垂直平分线.

点拨与解析两次利用角平分线的性质证得ＥＣ＝ＥＤ，ＯＣ＝ＯＤ，再根据线段垂直平分线的判定证得ＯＥ是ＣＤ的垂直平分线.具体如下：∵Ｅ是∠ＡＯＢ的平分线上一点，ＥＣ⊥ＯＡ，ＥＤ⊥ＯＢ，∴ＥＣ＝ＥＤ，又∠ＥＤＯ＝∠ＥＣＯ＝９０°，∴∠ＥＯＤ＝∠ＥＯＣ，∴∠ＯＥＤ＝∠ＯＥＣ，且有ＯＤ⊥ＥＤ，ＯＣ⊥ＥＣ，∴ＯＣ＝ＯＤ，综上可知，点Ｅ和点Ｏ都在线段ＣＤ的垂直平方线上，∴ＯＥ是ＣＤ的垂直平分线.例5（陈题新编）如图，△ＡＢＣ的边ＢＣ的中垂线ＤＦ交△ＢＡＣ的外角平分线ＡＤ于Ｄ，Ｆ为垂足，ＤＥ⊥于Ｅ，且ＡＢ＞ＡＣ，求证：ＢＥ－ＡＣ＝ＡＥ.

点拨与解析补全线段垂直平分线和角平分线性质定理的两个残缺基本图形，问题即可迎刃而解.具体如下：连接ＤＢ，ＤＣ，作ＤＧ⊥ＣＡ于点Ｇ．则由题意易得ＤＢ＝ＤＣ，ＤＥ＝ＤＧ，顺便还可得到ＡＧ＝ＡＥ，进而可得出△ＤＢＥ≌△ＤＣＧ（ＨＬ），于是有ＢＥ＝ＧＣ＝ＡＧ＋ＡＣ＝ＡＥ＋ＡＣ，所以ＢＥ－ＡＣ＝ＡＥ.

归纳与提炼１.线段的垂直平分线和角平分线基本图形往往构成复合体，形成崭新的考查亮点.

２.线段的垂直平分线是一条直线，判定一条直线是已知线段的垂直平分线时，只得出一个点到线段两个端点的距离相等是不够的.由“两点确定一条直线”可知，还必须找到符合到该条线段两端点距离相等的另一个点.而角平分线是一条射线，判定一条射线是已知角的角平分线时，只要在这个角的内部找到符合到该角两边距离相等的一个点，就可以断定以该角顶点为端点，并且过这一点的射线就是已知角的角平分线.