（江苏专用）2020年高考数学二轮复习（热点命题探究）专题1 开放探究问题学案.doc

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专题1开放探究问题探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备，要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括.它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求，它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程.高考中主要考查学生对条件和结论的探索、猜想、归纳以及对存在性问题的探索、判断.1．已知平面α，β和直线，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β.(1)当满足条件________时，有m∥β；(2)当满足条件______时，有m⊥β.(填所选条件的序号)解析：由线面平行关系知：m⊂α，α∥β，可得m∥β；由线面垂直关系得：m⊥α，α∥β，可得m⊥β.答案：(1)③⑤(2)②⑤2．在约束条件下，当3≤s≤5时，目标函数z＝3x＋2y的最大值的变化范围是________．解析：画出可行域如图所示，当3≤s≤4时，目标函数z＝3x＋2y在点B(4－s,2s－4)处取得最大值，即zmax＝3(4－s)＋2(2s－4)＝s＋4∈[7,8)；当4≤s≤5时，目标函数z＝3x＋2y在点E(0,4)处取得最大值，即zmax＝3×0＋2×4＝8，故z∈[7,8]．答案：[7,8]3．观察sin2 20°＋cos2 50°＋sin 20°cos 50°＝，sin2 15°＋cos2 45°＋sin 15°·cos 45°＝，写出一个与以上两式规律相同的等式________．解析：由50°－20°＝(45°－15°)＝30°，可得sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝.答案：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝4．集合A＝，B＝{x||x－b|<a}，若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则b的取值范围是________．解析：由“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，得A＝{x|－1<x<1}与B＝{x|b－1<x<1＋b}交集不为空集．所以－2<b<2.答案：(－2,2)5．如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1和面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的投影可能是________(要求把所有可能的图形都填上)解析：在前、后、上、下四个面上的投影为平行四边形，在左、右两个面上的投影为线段．答案：平行四边形、线段问题1：条件追溯型这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断．解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件．在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意．(2020·江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．[解](1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x>0，k>0，故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a>0，所以炮弹可击中目标⇔存在k>0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇔a≤6.所以当a不超过6千米时，可击中目标．本题(2)要确定炮弹可击中目标的条件，属条件探索性问题，解题过程把结论看作条件，合理转化，有利于培养学生的逆向思维能力．如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC.(1)求证：OD∥平面PAB；(2)当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？解：(1)证明：∵O，D分别为AC，PC的中点：∴OD∥PA，又PA⊂平面PAB，OD⊄平面PAB，∴OD∥平面PAB.(2)∵AB⊥BC，OA＝OC，∴OA＝OC＝OB，又∵OP⊥平面ABC，∴PA＝PB＝PC.取BC中点E，连结PE，OE，则BC⊥平面POE，作OF⊥PE于F，则OF⊥平面PBC.∴F是O在平面PBC内的射影．∵D是PC的中点，若F是△PBC的重心，则B，F，D三点共线，直线OB在平面PBC内的射影为直线BD.∵OB⊥PC，∴PC⊥BD，∴PB＝BC，即k＝1.反之，当k＝1时，三棱锥O－PBC为正三棱锥，∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心．问题2：结论探索型这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定．解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论．在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论．若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{an}是公比为q的无穷等比数列，下列{an}的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第________组．(写出所有符合要求的组号)．①S1与S2；②a2与S3；③a1与an；④q与an.(其中n为大于1的整数，Sn为{an}的前n项和)[解析]①由S1和S2，可知a1和a2.由＝q可得公比q，故能确定数列是该数列的“基本量”．②由a2与S3，设其公比为q，首项为a1，可得a2＝a1q，a1＝，S3＝a1＋a1q＋a1q2.∴S3＝＋a2＋a2q，∴a2q2＋(a2－S3)q＋a2＝0.满足条件的q可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列{an}的基本量．③由a1与an，可得an＝a1qn－1，qn－1＝，当n为奇数时，q可能有两个值，故不一定能确定数列，所以也不一定是数列的一组基本量．④由q与an，由an＝a1qn－1，可得a1＝，故数列{an}能够确定，是数列{an}的一组基本量．[答案]①④本题考查确定等比数列的条件，要求正确理解等比数列和新概念“基本量”的意义．求解时应全面考察问题的各个方面，这样不仅可以训练自己的思维，而且可以纵观全局，从整体上对知识的全貌有一个较好的理解．某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)从第几年开始，该机床开始盈利(盈利额为正值)；(3)使用若干年后，对机床的处理方案有两种：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由．解：(1)y＝50x－－98＝－2x2＋40x－98.(2)解不等式－2x2＋40x－98>0，得10－<x<10＋.∵x∈N，∴3≤x≤17.故从第3年工厂开始盈利．(3)①∵＝－2x＋40－＝40－≤40－2＝12，当且仅当2x＝时，即x＝7时，等号成立．∴x＝7时，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7＋30＝114万元．②y＝－2x2＋40x－98＝－2(x－10)2＋102，当x＝10时，ymax＝102.故x＝10时，盈利额达到最大值，工厂共获利102＋12＝114万元．综合上述可知：方案①7年的总利润与方案②10年的总利润相等，故选择方案①较为合算．问题3：存在判断型这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立．解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．其中反证法在解题中起着重要的作用．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆＋＝1的右顶点，点D(1,0)，点P，B在椭圆上，＝.(1)求直线BD的方程；(2)求直线BD被过P，A，B三点的圆C截得的弦长；(3)是否存在分别以PB，PA为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．[解]因为＝，且A(3,0)，D(1,0)，所以BP＝DA＝2，且B，P关于y轴对称，所以点P的横坐标为1，从而得P(1,2)，B(－1,2)，所以直线BD的方程为x＋y－1＝0.(2)由(1)可知线段BP的垂直平分线方程为x＝0，线段AP的垂直平分线方程为y＝x－1，所以圆C的圆心坐标为(0，－1)，且圆C的半径为r＝.又圆心(0，－1)到直线BD的距离为d＝＝，所以直线BD被圆C截得的弦长为2＝4.(3)假设存在这样的两个圆M与圆N，其中PB是圆M的弦，PA是圆N的弦，则点M一定在y轴上，点N一定在线段PA的垂直平分线y＝x－1上，当圆M和圆N是两个相外切的等圆时，一定有P，M，N在一条直线上，且PM＝PN.设M(0，b)，则N(2,4，－b)，根据N(2,4，－b)在直线y＝x－1上，解得b＝3.所以M(0,3)，N(2,1)，PM＝PN＝，故存在这样的两个圆，且方程分别为x2＋(y－3)2＝2，(x－2)2＋(y－1)2＝2.“存在”就是有，或者给予证明或者找出一个．“不存在”就是没有，找不到．这类问题常用反证法加以认证．“是否存在”的问题，结论有两种：如果存在，找出来；如果不存在，需说明理由．这类问题常用“肯定顺推”．已知函数f(x)＝－x2＋8x，g(x)＝6ln x＋m.(1)求f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值h(t)；(2)是否存在实数m，使得y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)f(x)＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16.当t＋1<4，即t<3时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，h(t)＝f(t＋1)＝－(t＋1)2＋8(t＋1)＝－t2＋6t＋7；当t≤4≤t＋1，即3≤t≤4时，h(t)＝f(4)＝16；当t>4时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，h(t)＝f(t)＝－t2＋8t.综上，h(t)＝(2)函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数φ(x)＝g(x)－f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点．∵φ(x)＝x2－8x＋6 ln x＋m，∴φ′(x)＝2x－8＋＝＝(x>0)，当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)是增函数；当x∈(1,3)时，φ′(x)<0，φ(x)是减函数；当x∈(3，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)是增函数；当x＝1或x＝3时，φ′(x)＝0.φ(x)极大值＝φ(1)＝m－7，φ(x)极小值＝φ(3)＝m＋6ln 3－15.当x充分接近0时，φ(x)<0，当x充分大时，φ(x)>0.∴要使φ(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只需即7<m<15－6ln 3.∴存在实数m，使得函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为(7,15－6ln 3)．问题4：规律探究型这类问题的基本特征是：未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论．解决这类问题的基本策略是：通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高．已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d的等差数列；a20，a21，…，a30是公差为d2的等差数列(d≠0)．(1)若a20＝40，求d；(2)试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；(3)续写已知数列，使得a30，a31，…，a40是公差为d3的等差数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例)，并进行研究，你能得到什么样的结论？[解](1)a10＝10，a20＝10＋10d＝40，∴d＝3.(2)a30＝a20＋10d2＝10(1＋d＋d2)(d≠0)，a30＝10，当d∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，a30∈.(3)所给数列可推广为无穷数列{an}，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列，当n≥1时，数列a10n，a10n＋1，a10(n＋1)是公差为dn的等差数列．研究的问题可以是：试写出a10(n＋1)关于d的关系式，并求a10(n＋1)的取值范围．研究的结论可以是：由a40＝a30＋10d3＝10(1＋d＋d2＋d3)，依次类推可得a10(n＋1)＝10(1＋d＋…＋dn)＝当d>0时，a10(n＋1)的取值范围为(10，＋∞)．本题以数列为依托考察学生对等差数列基本知识的理解应用．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立．类比上述性质，相应地在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式________________________________________成立．解析：首先等差数列{an}具有性质：所给等式两边为和式，项数之和为n＋(19－n)＝19(定值)，19与a10的序号关系为：2×10－1＝19；类比上述性质，等比数列{bn}应有：等式两边为积式，项数之和为x(定值)，由于b9＝1，x与b9的序号关系为2×9－1＝17＝x，故应填入的等式为：b1b2·…·bn＝b1b2·…·b17－n(n<17，n∈N*)．答案：b1b2·…·bn＝b1b2·…·b17－n(n<17，n∈N*)1．条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可变换思维方向，将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理，推导出所需寻求的条件．2．结论探索型问题，先探索结论而后去论证结论．在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论．3．存在判断型问题，以探究“是否存在”为目标的开放性问题是高考的一个热点，此类问题的探究，常以假设推理为基础．当得到存在性的结论时，需要检查逆向推理是否正确；当得出矛盾时，形成反证法，得出不存在的结论，对于不存在的问题，也可举反例说明．4．规律探究型问题，从已知条件出发，寻找共性，总结出一般性结论，是从具体到抽象的认识过程．1．写出一个满足f(xy)＝f(x)＋f(y)－1(x>0，y>0)的函数f(x)＝________.解析：满足性质f(xy)＝f(x)＋f(y)－1(x>0，y>0)的函数可以是f(x)＝logax＋1.答案：logax＋1 2．设直线l：2x＋y＋2＝0关于原点对称的直线为l′，若l′与椭圆x2＋＝1的交点为A，B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为的点P的个数为________．解析：直线l：2x＋y＋2＝0关于原点对称的直线为l′：2x＋y－2＝0，该直线与椭圆相交于A(1,0)和B(0,2)，P为椭圆上的点，且△PAB的面积为，则点P到直线l′的距离应为，与l′平行且与l′之间距离为的直线方程为2x＋y－3＝0或2x＋y－1＝0，而2x＋y－1＝0与椭圆有两个交点，2x＋y－3＝0与椭圆没有交点，所以满足条件的点有2个．答案：2 3．设α，β，γ为平面，m，n，l为直线，则m⊥β的一个充分条件是________．①α⊥β，α∩β＝l，m⊥l；②α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ③α⊥γ，β⊥γ，m⊥α；④n⊥α，n⊥β，m⊥α解析：①中，缺少条件m⊂α；②中，当α∥β，β⊥γ时，m∥β；③中，当α，β，γ两两垂直，β∩γ＝m时，m⊂β；④中，同时垂直于同一条直线的两个平面平行，即α∥β，又m⊥α，则m⊥β为真命题．答案：④4．已知平面区域D由以A(1,3)，B(5,2)，C(3,1)为顶点的三角形内部和边界组成．若在区域D上有无穷多个点(x，y)可使目标函数z＝x＋my取得最小值，则m＝________.解析：由A(1,3)，B(5,2)，C(3,1)的坐标位置知，△ABC所在的区域在第一象限，故x>0，y>0.由z＝x＋my得y＝－x＋，它表示斜率为－，截距为的直线．(1)若m>0，则要使z＝x＋my取得最小值，必须使最小，此时需－＝kAC＝，即m＝1；(2)若m<0，则要使z＝x＋my取得最小值，必须使最大，此时在区域D上只有A点可使z取得最小值，不合题意．综上可知，m＝1.答案：1 5．已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0，－>0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是________．解析：∵－＝，∴ab，bc－ad，中有两个大于零时，第三个也大于零．故三个命题均为真命题．答案：3 6．已知点P到点A，B(a,2)及到直线x＝－的距离都相等，如果这样的点P恰好只有一个，则实数a的值为________．解析：由题意知，点P在抛物线y2＝2x上，故可设P，则有2＝2＋(y－2)2，化简，得y2－4y＋a2＋＝0.因为满足题意的P点只有一个，所以，(1)若a＝，符合题意；(2)若a≠，则Δ＝0，即a3－a2＋a＋＝0，即＝0，所以a＝－.综上可知，a的值为或－.答案：或－7．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是________(只需写出一个可能的值)．解析：根据“三角形中两边之和大于第三边”，可知每个面的三条边为{1,1,1}，{1,2,2}，{2,2,2}三种形态，再由这三类面构造满足题设条件的四面体，最后计算出这三个四面体的体积分别为：，，.答案：8．设f(x)是定义在R上的可导函数，且满足f(x)＋xf′(x)＞0.则不等式f()＞·f()的解集为________．解析：记g(x)＝xf(x)，则有g′(x)＝xf′(x)＋f(x)＞0，故g(x)在R上是增函数．不等式f()＞·f()等价于f()＞.f()，即g()＞g()．由于g(x)在R上是增函数，于是有＞，x＋1＞x2－1≥0，即解得1≤x＜2.综上所述，不等式f()＞f()的解集是{x|1≤x＜2}．答案：{x|1≤x＜2}9.给定正整数n(n≥2)，按右图方式构成倒立的三角形数表，第一行依次写上数1,2,3，…，n，在第一行的每相邻两个数的正中间的下方写上这两个数的和，得到第二行的数(比上一行少一个数)，依次类推，最后一行(第n行)只有一个数，例如n＝6时数表如图所示，则当n＝2 012时最后一行的数是________．解析：设最后一行(第n行)的一个数为an，则通过计算，容易得到：a2＝3＝3×20，a3＝8＝4×21，a4＝20＝5×22，a5＝48＝6×23，a6＝112＝7×24……由此，可得an＝(n＋1)×2n－2，所以当n＝2 012时，最后一行的数a2 012＝2 013×22 010.答案：2 013×22 010 10．在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，A(x，y)，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：条件。