高中数学《任意角的三角函数-三角问题》文字素材3 苏教版必修4（通用）.doc

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数形结合思想三角问题中的妙用解答某些三角问题时，如能依据题设条件及所给式子的结构特征，适时构设单位圆，数形结合，可使这些问题简捷、明快地获解。现举例解析如下：例1：求的值。解析：构设如图1所示的单位圆，显然点在此单位圆上，设线段的中点为，连，则垂直平分，注意到，所以，而，所以由可得，即。例2：求函数的值域。解析：构设如图2所示的单位圆，显然点是单位圆上任意一点，点是单位圆外的一定点，则，设为过的动直线与单位圆相切的两切点，显然有，所以，而，所以，即所求函数的值域为。例3：已知，求的值。解析：构设如图3所示的单位圆，显然点均在此单位圆上，设线段的中点为，连，则垂直平分，不妨假设，并注意到，所以，而，所以由三角函数的定义可得：，即，所以。例4：设是方程的两不等的实根，求。解析：构设如图4所示的单位圆，显然点是该单位圆上任意一点，则是直线与单位圆的两交点，设线段的中点为，连，则垂直平分，不妨假设，并注意到，所以，而，所以由可得：，。通过以上几例的解析可以看出：解答某些三角问题时，如能构设出单位圆，数形结合，不仅能使这些问题的解答简捷明快，而且还能使这些问题的解答独辟蹊径，强化数形结合的意识。三角函数线的应用例举O A M P T x yα的终边以原点为圆心、半径为1的圆称为单位圆，它与x轴正半轴的交点是A（1，0）。设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴于M。再过A点作单位圆的切线交角α的终边（或终边的反向延长线）于T。右边的四个图中分别讨论了角α的终边在第一、二、三、四的情形。由于sinα=MP，cosα=OM，tanαx y O A M T Pα的终边x y O A M T Pα的终边=AT，我们把有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，它们统称为三角函数线。关于三角函数线，要注意以下几点：（1）正弦线、余弦线、正切线都是有向线段，利用它们的数量来表示三角函数值，是数形结合的典型体现。三角函数线表示三角的函数值的符号规定如下：正弦线MP、正切线AT方向与y轴平行，向上为正，向下为负；余弦线OM在x轴上，向右为正，向左为负。（2）作三角函数线时，所用字母一般都是固定的，书写顺序也不能颠倒。特别要注意正切线必在过A（1，0）的单位圆的切线上（其中二、三象限角需作终边的反向延长线）。（3）对于终边在坐标轴上的角，有时三角函数线退化为一个点，有时又为整个半径。当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在。（4）当时，正弦线、余弦线、正切线与角α并不是一一对应的。一般地，每一个确定的MP、OM、AT都对应两个α的值。以下通过事例来谈谈三角函数线的应用。例1．比较下列两个值的大小：（1）sin7900与sin(-1900)；（2）cos880与cos(-4600)；（3）tan(-3400)与tan2500。x y O P1 M1 P2 M2 700 1700分析：先在00到3600的范围内找出与这些角终边相同的角，确定终边的位置，再借助于正弦线、余弦线、正切线的长度及方向来比较同名三角函数值的大小。解：（1），，由图知，正弦线M1P1与M2P2均为正，M1P1>M2P2，∴，M2 x y O P2 M1 P1 2600 1600即sin7900>sin(-1900)。（2），，由图知，余弦线OM1与OM2均为负，且OM1的长度大于OM2的长度，故OM1<OM2，A T2 O x y T1 2500 200∴，即cos880<cos(-4600)。（3），由图知，200与2500的正切线分别为AT1和AT2，AT1和AT2均为正，且AT1<AT2，∴,即tan(-3400)<tan2500。点评：利用三角函数线比较同名三角函数值的大小，需要准确地作出三角函数线，并且在比较时既要注意三角函数线的长短，又要注意它们的符号，最终得出结论。例2．根据条件，分别写出角θ的范围：x y M1 M2 P2 P1 O（1）；（2）。解：（1）∵，∴θ角终边所在区域如右图所示，即角θ的范围为。P2 M P1 x y O（2）∵，∴θ角终边所在区域如右图所示，∴∴角θ的范围为。点评：利用三角函数线（特别是正弦线、余弦线）来求解简单的三角不等式，方便实用。先作满足条件的边界θ的终边，具体作法如下：若，则取点（0，，过该点作x轴平行线交单位圆于P1、P2两点，则终边过P1、P2的角θ即满足，向上区域表示，向下区域表示。若，则取点，过该点作y轴平行线交单位圆于P1、P2两点，则终边过P1、P2的角θ即满足，向左区域表示，向右区域表示。另外，表示θ的范围时应按照逆时针方向顺序，并且注意结果是否包括边界位置的角。例3．若，则x的取值范围是（）A B C D O x y解：∵，∴，当，即时，角x的终边在一、三象限角平分线或二、四象限角平分线上。当时，角x的取值范围如图阴影部分所示。所以，所求的角x的集合为：=因此，正确答案为（D）。点评：作为选择题，本题也可通过赋值法来解决，即通过给角x取不同的值进行分析而得出正确结果。但相比较而言，以上方法更为形象直观，结果一目了然。O A M P T x yα例4．已知，求证：（1）；（2）。证明：设锐角α的终边与单位圆交于点P，作出角α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，（如图）∵，∴正弦线MP、余弦线OM、正切线AT均为正，（1）在Rt⊿OMP中，∵OM+MP>OP,∴OM+MP>1，即。（2）连结AP，则，而，,,∴，即。点评：本题是利用正弦线、余弦线、正切线推出的关于锐角的两个典型结论。