高中数学一轮复习第3讲定积分与微积分基本定理（通用）.doc

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第3讲定积分与微积分基本定理1.设连续函数f(x)>0,则当a<b时,定积分∫dx的符号()A.一定是正的B.一定是负的C.当0<a<b时是正的,当a<b<0时是负的D.以上结论都不对【答案】A【解析】由∫dx的几何意义及f(x)>0,可知∫dx表示x=a,x=b,y=0与y=f(x)围成的曲边梯形的面积.∴∫dx>0.2.∫(1+cosx)dx等于()A.B.2 C.-2 D.+2【答案】D【解析】∫(1+cosx)dx=(x+sinx)|sinsin.3.用S表示图中阴影部分的面积,则S的值是()A.∫dx B.|∫dx|C.∫dx+∫dx D.∫dx-∫dx【答案】D【解析】由定积分的几何意义知选项D正确.4.(2020山东荷泽模拟)设函数的导函数f′(x)=2x+1,则∫dx的值等于()A.B.C.D.【答案】A【解析】由于的导函数为f′(x)=2x+1,所以于是∫dx=∫dx=|.5.直线y=2x+3与抛物线所围成的图形面积为.【答案】【解析】由得.∴面积S=∫dx-∫dx||.1.∫dx等于()A.-2ln2 B.2ln2 C.-ln2 D.ln2【答案】D【解析】∫dx=lnx|ln4-ln2=ln2.2.(2020福建高考,理5)∫edx等于()A.1 B.e-1 C.e D.e+1【答案】C【解析】∵被积函数e的一个原函数为e∴∫edx=(e|ee0)=e.3.已知f(x)=则∫dx的值为()A.B.C.D.【答案】D【解析】∫dx=∫dx+∫dx||.4.函数f(x)=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为()A.B.1 C.2 D.【答案】A【解析】根据定积分的几何意义结合图形可得所求的封闭图形的面积为∫cosxdx sinx|sinsin0.5.函数y=∫cosdt()A.是奇函数B.是偶函数C.是非奇非偶函数D.以上都不正确【答案】A【解析】y=(sin|sin为奇函数.6.(2020湖南高考,理6)由直线与曲线y=cos x所围成的封闭图形的面积为()A.B.1 C.D.【答案】D【解析】结合图形可得:S=∫cosxdx=sin x|=sinsin.7.由曲线围成的封闭图形的面积为()A.B.C.D.【答案】A【解析】因为与的交点为(0,0),(1,1),故所求封闭图形的面积为∫dx-∫d||选A.8.曲线与直线y=x,x=2所围成的图形面积为.【答案】ln2【解析】S=∫dlnx)|ln2.9.如果∫dx=1,∫dx=-1,则∫dx=.【答案】-2【解析】∵∫dx=∫dx+∫dx,∴∫dx=∫dx-∫dx=-1-1=-2.10.由曲线和直线x=0,x=1,y=所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为.【答案】【解析】围成图形的阴影部分的面积∫dx+∫dx.令S′解得或t=0(舍去).可判断当时S最小.11.计算下列定积分.(1)∫dx;(2)∫dx;(3)∫(sinx-sin2x)dx.【解】(1)∫dlnx)|lnln2.(2)∫dx=∫dx lnx+2x)|ln3+6)-(2+ln2+4)=ln.(3)∫(sinx-sin2x)dx=(-coscos2x)|.12.已知f(x)为二次函数,且f(-1)=2,f′(0)=0,∫dx=-2.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值.【解】(1)设则f′(x)=2ax+b.由f(-1)=2,f′(0)=0,得即∴.又∫dx=∫dx|.∴a=6,c=-4.从而.(2)∵∴当x=0时;当时,.13.如图所示,直线y=kx分抛物线与x轴所围图形为面积相等的两部分,求k的值.【解】抛物线与x轴两交点的横坐标为所以,抛物线与x轴所围图形的面积S=∫d|.又由可得抛物线与y=kx两交点的横坐标为所以,∫d|.又知所以于是.14.一条水渠横断面为抛物线型,如图,渠宽AB=4米,渠深CO=2米,当水面距地面0.5米时,求水的横断面的面积.【解】如图,建立直角坐标系,设抛物线方程为代入(2,2)得2p=2,∴.将点(x,1.5)代入得∴水的横断面的面积为S=∫.dx=(1.|.∴水的横断面的面积为平方米.