2020年福建省普通高中数学毕业班质量检查文科试题.doc

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福建省2020年普通高中毕业班质量检查数学(文科)试题本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，共8页，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)．如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)．如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=．球的表面积公式S=4πR2，其中R表示球的半径．球的体积公式V=πR3，其中R表示球的半径．第I卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把正确答案填在题目后面的括号内．1．已知集合A={x|-2，-1，0,1，2}，B={2，3}，则A∪B为()A．{2}B．{2，3}C．{-2，-1，0,1，2}D．{-2，-1，0,1，2，3}2．不等式的解集是()A．(-3,2)B．(2，+∞)C．(-∞，-3)∪(2，+∞)D．(-∞，-2)∪(3,+∞)3．双曲线4x2-y2=1的渐近线方程是()A．4x±y=0 B．x±4y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0 4．已知函数则f(f(-2))的值为()A．-1 B．C．2 D．4 5．已知A、B为球面上的两点，O为球心，且AB=3，∠AOB=120°，则球的体积为()A．B．C．36πD．6．已知二次函数y=x2-2ax+1在区间(2，3)内是单调函数，则实数a的取值范围是()A．a≤2或a≥3 B．2≤a≤3 C．a≤-3或a≥-2 D．-3≤a≤-2 7．已知条件p:k=，条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．已知数列的前n项和为Sn，且Sn是an与1的等差中项，则an等于()A．1 B．-1 C．(-1)n D．(-1)n-1 9．若m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是()A．若m∥α，mβ，α∩β=n，则m∥n B．若m∥α，nα，则m∥n C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若α∩β=m，m⊥n，则n⊥α10．函数y=Asin(ωx+φ)图象的一部分如图所示，则此函数的解析式可以写成()A．y=sin(x+)B．y=sin(2x+)C．y=sin(2x+)D．y=sin(2x-)11．某小组有12名学生，其中男生8名，女生4名，从中随机抽取3名学生组成一兴趣小组，则这3名学生恰好是按性别分层抽样得到的概率为()A．B．C．D．12．若函数f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(2)=0，则＜0的解集为()A．(-2,0)∪(0,2)B．(-∞，-2)∪(0,2)C．(-∞，-2)∪(2，+∞)D．(-2,0)∪(2，+∞)第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分。共16分．请把正确答案填在题目后面的横线上．13．二项式()6的展开式中，常数项为_____________.14．椭圆的焦点及其短轴端点都在以原点为圆心的同一个圆上，则此椭圆的离心率为____．15．已知向量a=(1，1)，b=(sinx，-cosx)，x∈(0，π)，若a∥b，则x的值是_______．16．阅读下面材料，并回答问题：设D和D1是两个平面区域，且D1 D．在区域D内任取一点M，记“点M落在区域D1内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)=.已知区域E={(x，y)|0≤x≤3，0≤y≤2}，F={(x，y)|0≤x≤3，0≤y≤2，x≥y}，若向区域E内随机投掷一点，则该点落入区域F内的概率为________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知函数f(x)=cos2x+sinxcosx(x∈R)(I)求f()的值；(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间．18．(本小题满分12分)在数列中，a1=1，an+1=an+c(c为常数，n∈N*)，且a1，a2，a5成公比不等于1的等比数列．(Ⅰ)求c的值；(Ⅱ)设bn=，求数列的前n项和Sn．19．(本小题满分12分)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AA1，和CC1的中点．(I)求证：EF∥平面ACD，；(Ⅱ)求异面直线EF与AB所成的角；(Ⅲ)设点P在棱BB1上，且BP=求二面角P-AC-B的大小．20．(本小题满分12分)国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值υ(美元)与其重量ω(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元．(I)写出υ关于ω的函数关系式；(Ⅱ)若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石，求价值损失的百分率；(Ⅲ)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试用你所学的数学知识证明：当m=n时，价值损失的百分率最大．(注：价值损失的百分率=×100％；在切割过程中的重量损耗忽略不计)21．(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax3+bx2-x(x∈R，a、b是常数，a≠0)，且当x=1和x=2时，函数f(x)取得极值．(I)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)若曲线y=f(x)与g(x)=-3x-m(-2≤x≤0)有两个不同的交点，求实数m的取值范围.22．(本小题满分14分)已知定点A(a，O)(a>0)，直线l1：y=-a交y轴于点B，记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C．(I)求动点C的轨迹E的方程；(Ⅱ)设倾斜角为α的直线l2过点A，交轨迹E于两点P、Q，交直线l1于点R．(1)若tanα=1，且ΔPQB的面积为，求a的值；(2)若α∈[，]，求|PR|·|QR|的最小值．2020年福建省普通高中毕业班质量检查数学(文科)试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．1．D 2．C 3．D 4．C 5．B 6．A 7．A 8．D 9．A 10．C 11．B 12．A二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分．13．15；14．；15．；16．三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查三角函数的倍角公式、和角公式，三角函数的图象与-眭质等基础知识；考查理解能力和运算能力．满分12分.解：……………………………………………………(4分)………………………………………(6分)…………………………………………………(8分)…………………………………………(10分)即时，f(x)单调递增.∴f(x)单调递增区间为[，]……………………(12分)18．本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识；考查化归与转化的思想方法：考查推理与运算能力．满分12分．解：(Ⅰ)∵an+1=an+c,a1=1,c为常数,∴an=1+(n-1)c.………………………………………………………………(2分)∴a2=1+c,a5=1+4c.又a1,a2,a5成等比数列,∴(1+c)2=1+4c,解得c=0或c=2……………………………………………(4分)当c=0,an+1=an不合题意,舍去.∴c=2.………………………………………………………………………(6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知,an=2n-1,∴，……………(10分)∴Sn=b1+b2+…+bn===.……………………………………………………………(12分)19．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识；考查空间想象能力，逻辑思维能力和探索问题、解决问题的能力．满分12分．解法一：如图，分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，由已知得D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、Bl(2,2,2)、Dl(0,0,2)、E(1,0,2)、F(0,2,1)．…………………………………………(2分)(Ⅰ)易知平面ACD1的一个法向量是=(2,2,2)．………………………(4分)又∵=(-1,2,-1)，由·=-2+4-2=0，∴⊥，而EF平面ACD1，∴EF∥平面ACD1……………………(6分)(Ⅱ)∵=(0,2，0)，cos<,>=∴异面直线EF与AB所成的角为arccos……………………(8分).(Ⅲ)∵BP=，∴P(2，2，).设=(x，y，z)是平面PAC的一个法向量，则∵=(0，2，),=(-2，2，0)，∴取.易知是平面ACB的一个法向量，∴cos<，>=…………(10分)∴二面角P-AC-B的大小为30°.………………………………(12分)解法二：(Ⅰ)同解法一知(Ⅰ)同解法一知=(-1,2，-1)，=(-2,0，2)，=(-2,2，0)，∴-=，∴、、共面.又∵EF平面ACD1，∴EF∥平面ACD1.……………………………(4分)(Ⅱ)、(Ⅲ)同解法一．解法三：(Ⅰ)取AD1的中点K，连结EK、KC，在△AA1D1中，EK∥AA1，且EK=AA1，∵FC=CC1，CC1∥AA1，∴FC EK，∴四边形EKCF为平行四边形，∴EF∥CK．又∵CK平面ACD1，EF平面ACD1，∴EF∥平面ACD1.(4分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知EF∥CK，又AB∥CD，∴∠DCK就是异面直线AB和EF所成的角(或补角)．连DK，∵CD⊥平面AD1，DK平面AD1，∴CD⊥DK，在Rt△CDK中，DC=2，DK=，∴tan∠DCK=，∴异面直线AB和EF所成的角为arctan．…………………(8分)(Ⅲ)连结BD交AC于O，连OP，∵四边形ABCD为正方形，∴BO⊥AC，而OB是PO在平面ABCD上的射影，由三垂线定理得OP⊥AC，∴∠BOP为二面角P—AC—B的平面角．…………………………(10分)在RtΔPBO中，tan∠BOP=∴二面角P-AC-B的大小为30°．…………………(12分)解法四：(Ⅰ)取D1C1的中点H，连结EH，FH，A1C1，∵E为A1D1的中点，∴EH∥AlCl，而A1C1∥AC，∴EH∥AC，又∵F为CC1的中点，∴HF∥D1C．∵EH与HF相交，D1C与AC相交，∴平面EHF∥平面ACD1，EF平面EHF，∴EF∥平面ACD1．………………(4分)(Ⅱ)、(Ⅲ)同解法三．20．本小题主要考查函数与不等式等基础知识；考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分12分．解：(Ⅰ)依题意设v=kω2，……………………………………………………(2分)又当ω=3时，v=54000，∴k=6000，…………………………………(3分)故v=6000ω2．………………………………………………………(4分)(Ⅱ)设这颗钻石的重量为a克拉，由(Ⅰ)可知，按重量比为l∶3切割后的价值为6000(a)2+6000(a)2．……………………………………………(6分)价值损失为6000a2一[6000(a)2+6000(a)2]．…………………………………(7分)价值损失的百分率为答：价值损失的百分率为37.5％．……………………………………(8分)(Ⅲ)证明：价值损失的百分率应为，等号当且仅当m=n时成立.即把一颗钻石切割成两颗钻石，当两颗钻石的重量相等时，价值损失的百分率达到最大………………(12分)21．本小题主要考查导数、函数的极值、方程与不等式等基础知识；考查化归及数形结合的思想方法；考查分析问题、解决问题的能力．满分12分．解：(Ⅰ)=3ax2+2bx-1，……………………………………………………………(2分)依题意，==0，即解得a=，b=，经检验a=，b=符合题意.∴.…………………………………………(4分)(Ⅱ)曲线y=f(x)与g(x)=-3x-m(-2≤x≤0)有两个不同的交点，即在[-2，0]有两个不同的实数解.………………(5分)设φ(x)=，则，……………(7分)由，得x=4或x=-1，∵x∈[-2，0]，∴当x(-2,-1)时，，于是φ(x)在[-2,-1]上递增；当x(-1,0)时，，于是φ(x)在[-1,0]上递减.……………………(9分)依题意有………………(11分)解得0≤m<………(12分)22．本小题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查解析几何的基本思想方法；考查分析问题、解决问题的能九满分14分．解法一：(Ⅰ)连CA，过C作CD⊥l1，垂足为D，由已知可得|CA|=|CD|，∴点C的轨迹是以A为焦点，l1为准线的抛物线，∴轨迹E的方程为x2=4ay……………………………………………(4分)(Ⅱ)直线l2的方程为y=kx+a，与抛物线方程联立消去y得x2-4akx-4a2=0．记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1+x2=4ak，x1x2=-4a2<0.……………(6分)(1)若tanα=1,即k=1,此时x1+x2=4a,x1x2=-4a2.∴SΔBPQ=SΔABP+SΔABQ=a|x1|+a|x2|=a|x2-x1|=a=a=a=4a2.…………………………………………(8分)∴4a2=，注意到a>0,∴a=………………………………(9分)(2)因为直线PA的斜率k≠O，易得点R的坐标为(,-a).……(10分)|PR|·|QR|=·＝（x1+，y1+a）·（x2+，y2+a）=（x1+）（x2+）+（kx1+2 a）（kx2+2a）=(1+k2)x1 x2+(+2 ak)(x1+x2)++4a2=-4a2(1+k2)+4ak(+2ak)++4a2=4a2(k2+)+8a2，∵k2+≥2，当且仅当k2=1时取到等号．……………………(12分)又α∈[,],k∈[,1],∴上述不等式中等号能取到．…(13分)从而|PR|·|QR|的最小值为16a2.………………………………(14分)解法二：(I)同解法一．(Ⅱ)设直线l2的方程为y=kx+a，把直线方程与抛物线方程联立消去y得x2-4akx-4a2=0.………………………(6分)记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1+x2=4ak，x1x2=-4a2<0.………………………(6分)(1)∵tanα=1，即k=1，此时x1+x2=4a，x1x2=-4a2，过P、Q引直线l1的垂线，垂足为M、N，则|PQ|=|PM|+|QN|=y1+y2+2a=x1+x2+4a=8a,又点B到直线l2的距离d==a.∴SΔBPQ=d·|PQ|=4a2,………………………………………………(8分)4a2=，注意到a>0，∴a=.………………………………………(9分)(2)|PR|·|QR|=|x1-xR|·|x2-xR|=(1+k2)·(x1+)(x2+)，下同解法一．。