2020年高考数学经典题题精选代数推理题（通用）.doc

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2020年高考数学经典题题精选代数推理题1.已知函数满足且f(1)=，①当n∈N*时，求f(n)的表达式；②设an=nf(n)，n∈N*，求证：a1+a2+…+an<2;③设,n∈N*，sn=b1+b2+…+bn,求++…+2.已知函数对任意实数x、y都有（1）若t为自然数，试求f(t)的表达式；（2）满足条件f(t)=t的所有整数t能否成等差数列若能构成等差数列，求出此数列；若不能构成等差数列，请说明理由；（3）若t为自然数，且t≥4时，恒成立，求m的最大值.3.设函数f(x)=|x－a|－ax，其中0<a<1为常数.（I）解不等式f(x)<0;（II）试推断函数f(x)是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，说明理由.4.已知a>0，函数f(x)=x3－a,x∈设x1>0,记曲线y=f(x)在点M(x1,f(x1))处的切线为l.（I）求切线l的方程；（II）设l与x轴的交点是(x2,0).证明：5.设f(x)是定义在[－1,1]上的偶函数，f(x)与g(x)的图象关于x=1对称，且当xÎ[2,3]时，g(x)=a(x－2)－2(x－2)3（a为常数）.(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)在[0,1]上是增函数，求实数a的取值范围；若aÎ(一6,6)，问能否使f(x)的最大值为4？请说明理由.6．对于任意实数x，若成立，（1）证明f(x)是以2m为周期的函数；（2）若f(x)在上的解析式是，写出f(x)在区间及R上的解析式(不必写过程)。7.已知f（x）=x3+ax+b定义在区间[-1，1]上，且f（0）=f（1），又P（x1，y1），Q（x2，y2）是其图象上的任意两个点（x1≠x2），（1）求证：函数f（x）的图象关于点（0，b）成中心对称图形。（2）设直线PQ的斜率为k，求证：|k|＜2.（3）若0≤x1＜x2≤1，求证：|y1-y2|＜1.8.已知，P1、P2是函数图象上两点，，为坐标原点，P点横坐标是。（1）求P点的纵坐标（2）若数列的通项公式为求：①数列的前项的和；②若时，不等式恒成立，求实数的取值范围。9.设函数（a、b、c、d∈R）图象关于原点对称，且x=1时，取极小值（1）求a、b、c、d的值；（2）当时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；（3）若时，求证：10．设函数为常数,,若,且只有一个实根.(1)求的解析式；(2)若数列满足关系式且,又,求的通项公式；(3)设,求的最大值与最小值,以及相应的的值.11.已知的图象关于直线对称的图象的函数式为，求证：对任意定义域中的总有【分析】先求出反函数后，利用“分子有理化”对不等式放缩。1.①由已知得：或在已知式中令即是首项为公比为的等比数列……………………………………………………4分②由①知则…………（1）…………（2）（1）－（2）得……………………………………9分③则故……14分2.解：（1）……1分当t为自然数时，让t从1，2，3，……t－1取值有当t为自然数时，f(t)的解析式为……5分（2）当当t=0时，在中，令知综上所述，当……8分成等差数列，此数列为1，－1，－3或－3，－1，1…10分（3）当时，，由恒成立知恒成立∴m的最大值是3……14分3.（I）由f(x)<0得，|x－a|<ax，即－ax<x－a<ax,∴不等式的解集是.（II）内是增函数，内是减函数.4.（I）求由此得切线l的方程为（II）在切线方程中令y=0，得5.(I)∵f(x)与g(x)的图象关于直线x=1对称，∴f(x)=g(2－x)．1分∴当xÎ[－1,0]时，2－xÎ[2,3]，∴f(x)=g(2－x)=－a x+2x 3．2分又∵f(x)为偶函数，∴xÎ[0,1]时，－xÎ[－1,0]，∴f(x)=f(－x)=a x－2x 3．3分∴f(x)=．4分(II)∵f(x)为[0,1]上的增函数，∴f’(x)=a－6x 2≥0Þa≥6x 2在区间[0,1]上恒成立.6分∵xÎ[0,1]时，6x 2≤6，7分∴a≥6，即aÎ[6,+¥).8分(III)由f(x)为偶函数，故只需考虑xÎ[0,1]，由f’(x)=0得x=，9分由f()=4Þa=6，10分此时x=1，11分当aÎ(－6,6)时，f(x)的最大值不可能为4.12分6.（1）证明：对任意实数x，因为f(x+2m)=f[(x+m)+m]=，所以，f(x)是以2m为周期的函数。（7分）（2）在区间上的解析式是；在R上的解析式是（14分）7.证明：（1）∵f（0）=f（1）∴b=1+a+b∴a=-1∴f（x）=x3-x+b设（x0，y0）是y=f（x）的图象上的任意一点，则y0=f（x0）=x03-x0+b∴-y0=-x03+x0-b=（-x03）-（-x0）-b∴2b-y0=（-x03）-（-x0）+b故点（-x0，2b-y0）也在y=f（x）的图象上又点（x0，y0）与点（-x0，2b-y0）关于点（0，b）对称，进而有点（x0，y0）的任意性，得函数f（x）的图象关于点（0，b）成中心对称图形所以函数f（x）的图象是中心对称图形，且对称中心为点（0，b）（5分）解法二：（1）∵f（0）=f（1）∴b=1+a+b∴a=-1∴f（x）=x3-x+b易知y=x3-x是奇函数，它的图象关于原点对称；而函数f（x）=x3-x+b的图象可由y=x3-x的图象向上平移b个单位得到，故函数f（x）=x3-x+b的图象关于（0，b）对称所以函数f（x）的图象是中心对称图形，且对称中心为点（0，b）（5分）（2）∵y1=x13-x1+b，y2=x23-x2+b∴y1-y2=（x13-x1）-（x23-x2）=（x1-x2）（x12+x22+x1x2-1）∵x1≠x2∴k==x12+x22+x1x2-1∵x1，x2∈[-1，1]，x1≠x2∴3＞x12+x1x2+x22＞0，-1＜x12+x1x2+x22-1＜2∴|x12+x1x2+x22-1|＜2即|k|＜2（10分）（3）∵∴0≤x1＜x2≤1且|y1-y2|＜2|x1-x2|=-2（x1-x2）(1)又|y1-y2|=|f（x1）-f（x2）|=f（x1）-f（0）+f（1）-f（x2）|≤f（x1）-f（0）|+|f（1）-f（x2）|≤2|x1-0|+2|x2-1|=2（x1-0）+2（1-x2）=2（x1-x2）+2(2)(1)+(2)得：2|y1-y2|＜2，∴|y1-y2|＜1（14分）8.（1）易知，设，，则，，故的纵坐标为（2）①由（1）知时，，于是两式相加得②即恒成立（ⅰ）当时，由得，，而是偶数时，不成立，所以不合题意。（ⅱ）当时，因为，因此即恒成立，于是综上，所求9.解（1）∵函数图象关于原点对称，∴对任意实数，，即恒成立……1分…………2分，时，取极小值，解得…4分（2）当时，图象上不存在这样的两点使结论成立.…………5分假设图象上存在两点、，使得过此两点处的切线互相垂直，则由知两点处的切线斜率分别为，且…………（*）…………7分、，此与（*）相矛盾，故假设不成立.………………8分证明（3），或，上是减函数，且…10分∴在[－1，1]上，时，.…………12分10.(1)由,可得,又由,得.---2分∵方程只有一个实数根,∴,得,则.---2分(2)由,得,可化得,又,∴{}是等差数列，且,∴.---4分(3)∴bn==1–,当n£1002时，bn单调递增且大于1，n>1002时，bn单调递增且不于1，∴n=1002时，bn最大值为3；n=1003时，bn最小为–1.----4分11.【解】的反函数为∴，=，∵，∴∴同理，也有∴∴即【点悟】对两根号差的形式对其实施“分母有理化”和“放缩”是行之有效的方法。类似的问题还有：已知，对于在定义域中的任意且，求证。