2021年天津中西学校高一数学理月考试题含解析.docx

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2021年天津中西学校高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上有单调性，且f（﹣2）＜f（1），则下列不等式成立的是（）A．f（﹣1）＜f（2）＜f（3）B．f（2）＜f（3）＜f（﹣4）C．f（﹣2）＜f（0）＜f（）D．f（5）＜f（﹣3）＜f（﹣1）参考答案：D【考点】抽象函数及其应用；奇偶性与单调性的综合．【分析】由已知可得函数f（x）在（﹣∞，0]上为增函数，结合函数f（x）是定义在R上的偶函数，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上有单调性，且f（﹣2）＜f（1）=f（﹣1），故函数f（x）在（﹣∞，0]上为增函数，则f（5）=f（﹣5）＜f（﹣3）＜f（﹣1），故选：D 2.如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD=2DC，若，则=（）A．B．C．2 D．参考答案：A【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据向量加减的几何意义可得，λ=，μ=，问题得以解决．【解答】解：∵BD=2DC，∴=+=+=+（﹣）=+，∵，∴λ=，μ=，∴=，故选：A【点评】本题考查了向量的加减的几何意义，属于基础题．3.若，则函数的最大值是（）A．B．C．D．参考答案：A 4.已知，则的大小关系是（）A．B．C．D．参考答案：C解析：5.两个等差数列和,其前项和分别为，且则等于（）A.B.C.D.参考答案：D 6.（5分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若+=，则实数λ等于（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：C考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的平行四边形法则、向量共线定理即可得出．解答：∵在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∴，∵+=，∴λ=2．故选：C．点评：本题考查了向量的平行四边形法则、向量共线定理，属于基础题．7.已知平面向量=（1，﹣2），=（2，m），且∥，则3+2=（）A．（7，2）B．（7，﹣14）C．（7，﹣4）D．（7，﹣8）参考答案：B【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】通过向量平行的坐标表示求出m的值，然后直接计算3+2的值．【解答】解：因为平面向量=（1，﹣2），=（2，m），且∥，所以1×m﹣（﹣2）×2=0，解得m=﹣4，所以=（2，﹣4），所以3+2=3（1，﹣2）+2（2，﹣4）=（7，﹣14）．故选：B．8.已知函数.构造函数，定义如下：当时，；当时，.那么（）A．有最大值3，最小值-1 B．有最大值3，无最小值C．有最大值，无最小值D．有最大值，最小值参考答案：C 9.若抛物线在点（a,a2）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为16，则a=A．4 B．±4 C．8 D．±8参考答案：B，所以在点处的切线方程为：，令，得；令，得.所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积，解得.10.函数的零点所在的大致区间是A．(4,5)B．(3,4)C．(2,3)D．(1,2)参考答案：C∵，∴函数的零点所在的大致区间是．选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设实数，如果函数y=xα是定义域为R的奇函数，则α的值的集合为．参考答案：{1，3}【考点】幂函数的性质．【专题】计算题；数形结合；定义法；函数的性质及应用．【分析】讨论α的取值，得出函数y=xα是定义域R上的奇函数时α的取值范围．【解答】解：∵实数α∈{﹣2，﹣1，，1，3}，∴当α=﹣1时，函数y=x﹣1是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，不满足题意；当α=1时，函数y=x是定义域R上的奇函数，满足题意；当α=3时，函数y=x3是定义域R上的奇函数，满足题意；∴α的取值集合为{1，3}．【点评】本题考查了幂函数的定义与单调性质的应用问题，是基础题目．12.已知集合，那么集合。参考答案：13.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若，，则．参考答案：因为，，所以,因为，所以=.14.已知随机变量X的概率分布为P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，则P(2<X≤4)＝▲．参考答案：；15.函数，的单调增区间为_________.参考答案：16.已知sinα=2sinβ，tanα=3tanβ，则cos2α=．参考答案：或1【考点】GT：二倍角的余弦．【分析】由条件可得sinβ=sinα①，cosβ=cosα②，或sinα=0③．把①、②平方相加即可求得cos2α的值；由③再得到一个cos2α的值，进而利用二倍角公式可得结论．【解答】解：∵已知sinα=2sinβ，∴sinβ=sinα①．∵tanα=3tanβ，∴=，可得cosβ=cosα②，或sinα=0③．若②成立，则把①、②平方相加可得1=sinα2+cos2α=+2cos2α，解得cos2α=．可得：cos2α=2cos2α﹣1=，若③成立，则有cos2α=1．可得：cos2α=2cos2α﹣1=1，综上可得，cos2α=，或cos2α=1．故答案为：，或1．17.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则的最大值为__________。参考答案：由已知及正弦定理，得，即，，从而，当时，取最大值，故答案为.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，数列的前项和为，点(，)()均在函数的图像上．（12分）(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和；(3)令，证明：.参考答案：略19.(本小题满分16分)已知数列的各项均为正数，表示该数列前项的和，且对任意正整数，恒有，设．（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）求数列的最小项．参考答案：解：（1）时，，，，解得……2分（2）时，，，，作差得，整理得，………5分∵，∴，∴，对时恒成立，………7分因此数列是首项为1，公差为1的等差数列，故；…………………9分（3）∵,∴－=…………11分=，…………………………13分对任意正整数恒成立，∴数列为递增数列，…………………………15分∴数列的最小项为．………………………………16分略20.已知平面内两点A（8，﹣6），B（2，2）．（Ⅰ）求过点P（2，﹣3）且与直线AB平行的直线l的方程；（Ⅱ）求线段AB的垂直平分线方程．参考答案：见解析【考点】直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】计算题；规律型；方程思想；定义法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）求出直线的斜率，利用点斜式方程求解即可．（Ⅱ）求出线段AB的中点坐标，求出斜率然后求解垂直平分线方程．【解答】解：（Ⅰ）因为，…所以由点斜式得直线l的方程4x+3y+1=0…（Ⅱ）因为AB的中点坐标为（5，﹣2），AB的垂直平分线斜率为…所以由点斜式得AB的中垂线方程为3x﹣4y﹣23=0…【点评】本题考查直线与直线的位置关系，直线方程的求法，考查计算能力．21.若对定义域内任意x，都有（为正常数），则称函数为“a距”增函数.（Ⅰ）若，，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由；（Ⅱ）若，，其中，且为“2距”增函数，求k的取值范围.参考答案：（Ⅰ）是；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）利用“1距”增函数的定义证明即可；（Ⅱ）由题得时，恒成立，再对x分类讨论得解.【详解】（Ⅰ）任意，，故是“1距”增函数；（Ⅱ）因为，，其中，且为“2距”增函数，即时，恒成立，所以，当时，即，当时，，所以.综上所述，得.【点睛】本题主要考查新定义和函数的单调性，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22.函数的部分图象如图所示，求（Ⅰ）函数f（x）的解析式；（Ⅱ）函数y=Acos（ωx+?）的单调递增区间．参考答案：【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由已知图象确定最值、周期以及初相，得到函数f（x）的解析式；（Ⅱ）利用Ⅰ的结论，结合余弦函数的性质求单调增区间．【解答】解：（Ⅰ）由五点作图法知，A=1，，解得ω=2，φ=，所以函数解析式为；（Ⅱ）令，解得，所以y=Acos（ωx+?）的单调增区间为．。