高中数学《抛物线》同步练习1 新人教A版选修1-1.doc

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抛物线同步测试一、选择题1．抛物线的焦点坐标是（）A．B．C．D．2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点到焦点的距离为5，则抛物线方程为（）A．B．C．D．3．抛物线截直线所得弦长等于（）A．B．C．D．15 4．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是（）A．或B．或C．D．5．点到曲线（其中参数）上的点的最短距离为（）A．0 B．1 C．D．2 6．抛物线上有三点，是它的焦点，若成等差数列，则（）A．成等差数列B．成等差数列C．成等差数列D．成等差数列7．若点A的坐标为（3，2），为抛物线的焦点，点是抛物线上的一动点，则取得最小值时点的坐标是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（2，2）D．8．已知抛物线的焦点弦的两端点为,,则关系式的值一定等于（）A．4p B．－4p C．p2 D．－p 9．过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别是，则（）A．B．C．D．10．若AB为抛物线y2=2px(p>0)的动弦，且|AB|=a(a>2p)，则AB的中点M到y轴的最近距离是（）A．a B．p C．a＋p D．a－p二、填空题11．抛物线上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为______________．12．已知圆，与抛物线的准线相切，则___________．13．如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数a的取值范围是．14．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件；（1）焦点在y轴上；（2）焦点在x轴上；（3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；（4）抛物线的通径的长为5；（5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．其中适合抛物线y2=10x的条件是(要求填写合适条件的序号）______．三、解答题15．已知点A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；（2）求线段BC中点M的坐标；（3）求BC所在直线的方程.16．已知抛物线y=ax2－1上恒有关于直线x+y=0对称的相异两点，求a的取值范围.17．抛物线x2=4y的焦点为F，过点(0，－1)作直线L交抛物线A、B两点，再以AF、BF为邻边作平行四边形FARB，试求动点R的轨迹方程.18．已知抛物线C：，过C上一点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线．（1）若C在点M的法线的斜率为，求点M的坐标（x0，y0）；（2）设P（－2，a）为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P？若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由.19．已知抛物线y2=4ax(0＜a＜1＝的焦点为F，以A(a+4,0)为圆心，｜AF｜为半径在x轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M和N，设P为线段MN的中点．（1）求｜MF｜+｜NF｜的值；（2）是否存在这样的a值，使｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等差数列?如存在，求出a的值，若不存在，说明理由.20．如图,直线y=x与抛物线y=x2－4交于A、B两点,线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时,求ΔOPQ面积的最大值.参考答案一、选择题题号12345678910答案CDABBACBCD二、填空题11．12．2 13．14．（2），（5）三、解答题15．[解析]：（1）由点A（2，8）在抛物线上，有，解得p=16.所以抛物线方程为，焦点F的坐标为（8，0）.（2）如图，由于F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且，设点M的坐标为，则，解得，所以点M的坐标为（11，－4）．（3）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为：由消x得，所以，由（2）的结论得，解得因此BC所在直线的方程为：16．[解析]：设在抛物线y=ax2－1上关于直线x+y=0对称的相异两点为P(x,y),Q(－y,－x)，则，由①－②得x+y=a(x+y)(x－y),∵P、Q为相异两点，∴x+y≠0，又a≠0，∴，代入②得a2x2－ax－a+1=0，其判别式△=a2－4a2(1－a)＞0，解得．17．[解析]：设R(x,y),∵F(0,1),∴平行四边形FARB的中心为，L:y=kx－1,代入抛物线方程得x2－4kx+4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=4，且△=16k2－16＞0，即|k|＞1①，，∵C为AB的中点.∴，消去k得x2=4(y+3),由①得，，故动点R的轨迹方程为x2=4(y+3)()．18．[解析]：（1）由题意设过点M的切线方程为：，代入C得，则，，即M（－1，）．（2）当a＞0时，假设在C上存在点满足条件．设过Q的切线方程为：，代入，则，且．若时，由于，∴或；若k=0时，显然也满足要求．∴有三个点（－2＋，），（－2－，）及（－2，－），且过这三点的法线过点P（－2，a），其方程分别为：x＋2y＋2－2a＝0，x－2y＋2＋2a＝0，x＝－2.当a≤0时，在C上有一个点（－2，－），在这点的法线过点P（－2，a），其方程为：x＝－2.19．[解析]：（1）F（a,0）,设，由，，（2）假设存在a值，使的成等差数列，即①，∵P是圆A上两点M、N所在弦的中点，∴由①得，这是不可能的．∴假设不成立．即不存在a值，使的成等差数列．20．[解析]：【解】(1)解方程组得或即A(－4,－2),B(8,4),从而AB的中点为M(2,1).由kAB==,直线AB的垂直平分线方程y－1=(x－2).令y=－5,得x=5,∴Q(5,－5)．(2)直线OQ的方程为x+y=0,设P(x,x2－4).∵点P到直线OQ的距离d==,,∴SΔOPQ==.∵P为抛物线上位于线段AB下方的点,且P不在直线OQ上,∴－4≤x<4－4或4－4<x≤8.∵函数y=x2+8x－32在区间[－4,8]上单调递增,∴当x=8时,ΔOPQ的面积取到最大值30．。