【课堂新坐标】2020年高考数学二轮滚动检测集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数试卷理（含解析）（通用）.doc

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集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2020·山东高考)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝()A．－2B．0C．1D．2【解析】当x＞0时，f(x)＝x2＋，∴f(1)＝12＋＝2.∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.【答案】A 2．(2020·北京高考)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当φ＝π时，y＝sin(2x＋φ)＝sin(2x＋π)＝－sin 2x，此时曲线y＝sin(2x＋φ)必过原点，但曲线y＝sin(2x＋φ)过原点时，φ可以取其他值，如φ＝0.因此“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．【答案】A 3．(2020·韶关模拟)设a＝log0.32，b＝log0.33，c＝20.3，d＝0.32，则这四个数的大小关系是()A．a＜b＜c＜d B．b＜a＜d＜c C．b＜a＜c＜d D．d＜c＜a＜b【解析】由函数y＝log0.3x是减函数知，log0.33＜log0.32＜0.又20.3＞1,0＜0.32＜1，所以b＜a＜d＜c.【答案】B 4．下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为()A．y＝cos 2x，x∈R B．y＝log2|x|，x∈R且x≠0 C．y＝，x∈R D．y＝x3＋1，x∈R【解析】A中，y＝cos 2x在(0，)上递减，A不满足题意．C中函数为奇函数，D中函数非奇非偶．对于B：y＝log2|x|(x≠0)是偶函数，在(1,2)内是增函数．【答案】B 5．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y＋1的最大值为()A．11 B．10 C．9 D．8.5【解析】作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．又z＝2x＋3y＋1可化为y＝－x＋－，结合图形可知z＝2x＋3y＋1在点A处取得最大值．由得故A(3,1)．此时z＝2×3＋3×1＋1＝10.【答案】B 6．设f(x)＝则不等式f(x)＜2的解集为()A．(，＋∞)B．(－∞，1)∪[2，)C．(1,2]∪(，＋∞)D．(1，)【解析】原不等式等价于或即或解得2≤x＜或x＜1.【答案】B 7．(2020·孝感模拟)已知符号函数sgn(x)＝则函数f(x)＝sgn(ln x)－ln2x的零点个数为()A．1 B．2 C．3 D．4【解析】当x>1时，ln x>0，sgn(ln x)＝1，∴f(x)＝1－ln2x，令f(x)＝0，得x＝e.当x＝1时，ln x＝0，sgn(ln x)＝0，∴f(x)＝－ln2x，令f(x)＝0，得x＝1满足．当0<x<1时，ln x<0，sgn(ln x)＝－1，∴f(x)＝－1－ln2x<0，f(x)＝0无解．∴函数f(x)的零点为x＝1与x＝e.【答案】B 8．(2020·山东高考)函数y＝xcos x＋sin x的图象大致为()【解析】函数y＝xcos x＋sin x为奇函数，则排除B；当x＝时，y＝1＞0，排除C；当x＝π时，y＝－π＜0，排除A，故选D.【答案】D 9．(2020·潍坊模拟)定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，已知f(x＋1)是偶函数，(x－1)f′(x)＜0.若x1＜x2，且x1＋x2＞2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是()A．f(x1)＜f(x2)B．f(x1)＝f(x2)C．f(x1)＞f(x2)D．不确定【解析】由(x－1)f′(x)＜0可知，当x＞1时，f′(x)＜0函数递减，当x＜1时，f′(x)＞0函数递增，因为函数f(x＋1)是偶函数，所以f(x＋1)＝f(1－x)，f(x)＝f(2－x)，即函数的对称轴为x＝1.所以若1＜x1＜x2，则f(x1)＞f(x2)．若x1＜1，则必有x2＞1，则x2＞2－x1＞1，此时由f(x2)＜f(2－x1)，即f(x2)＜f(2－x1)＝f(x1)，综上f(x1)＞f(x2)，选C.【答案】C 10．(2020·江西高考)若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()A．S1<S2<S3 B．S2<S1<S3 C．S2<S3<S1 D．S3<S2<S1【解析】S1＝x2dx＝x3＝×23－＝，S2＝dx＝ln x＝ln 2，S3＝exdx＝ex＝e2－e＝e(e－1)，ln 2<ln e＝1，且<2.5<e(e－1)，所以ln 2<<e(e－1)，即S2<S1<S3.【答案】B 11．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则()A．a<v<B．v＝C.<v<D．v＝【解析】设甲、乙两地之间的距离为s.∵a<b，∴v＝＝＝<＝.又v－a＝－a＝>＝0，∴v>a.【答案】A 12．(2020·重庆高考)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图1－1所示，则下列结论中一定成立的是()图1－1 A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)【解析】当x＜－2时，y＝(1－x)f′(x)＞0，得f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，y＝(1－x)f′(x)＜0，得f′(x)＜0；当1＜x＜2时，y＝(1－x)f′(x)＞0，得f′(x)＜0；当x＞2时，y＝(1－x)f′(x)＜0，得f′(x)＞0，∴f(x)在(－∞，－2)上是增函数，在(－2,1)上是减函数，在(1,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，∴函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)．【答案】D第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．(2020·烟台模拟)已知第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1＝0上，则代数式＋的最小值为________．【解析】由题意知2a＋3b＝1，a＞0，b＞0，则＋＝(2a＋3b)＝4＋9＋＋≥13＋2＝25，当且仅当a＝b＝时取等号，即＋的最小值为25.【答案】25 14．已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.【解析】∵y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1，∴f(－1)＋(－1)2＝－[f(1)＋12]，∴f(－1)＝－3.因此g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.【答案】－1 15．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(2 013)＝________.【解析】当x＞0时，∵f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，∴f(x＋1)＝－f(x－2)，即f(x＋3)＝－f(x)，∴f(x＋6)＝f(x)，即当x＞0时，函数f(x)的周期是6.又∵f(2 013)＝f(335×6＋3)＝f(3)，由已知得f(－1)＝log22＝1，f(0)＝0，f(1)＝f(0)－f(－1)＝0－1＝－1，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1－0＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－(－1)＝0，∴f(2 013)＝0.【答案】0 16．已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取得极大值，则a的取值范围是________．【解析】若a＝0，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在极值；若a＝－1，则f′(x)＝－(x＋1)2≤0，函数f(x)不存在极值；若a＞0，当x∈(－1，a)时，f′(x)＜0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值；若－1＜a＜0，当x∈(－1，a)时，f′(x)＞0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在x＝a处取得极大值；若a＜－1，当x∈(－∞，a)时，f′(x)＜0，当x∈(a，－1)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值，所以a∈(－1,0)．【答案】(－1,0)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A＝{y|y2－(a2＋a＋1)y＋a(a2＋1)＞0}，B＝{y|y＝x2－x＋，0≤x≤3}．(1)若A∩B＝∅，求a的取值范围；(2)当a取使不等式x2＋1≥ax恒成立的a的最小值时，求(∁RA)∩B.【解】A＝{y|y＜a或y＞a2＋1}，B＝{y|2≤y≤4}．(1)当A∩B＝∅时，∴≤a≤2或a≤－.∴a的取值范围是(－∞，－]∪[，2]．(2)由x2＋1≥ax，得x2－ax＋1≥0，依题意Δ＝a2－4≤0，∴－2≤a≤2.∴a的最小值为－2.当a＝－2时，A＝{y|y＜－2或y＞5}．∴∁RA＝{y|－2≤y≤5}．∴(∁RA)∩B＝{y|2≤y≤4}．18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x＋k·2－x，k∈R.(1)若函数f(x)为奇函数，求实数k的值；(2)若对任意的x∈[0，＋∞)都有f(x)＞2－x成立，求实数k的取值范围．【解】(1)∵f(x)＝2x＋k·2－x是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，x∈R，即2－x＋k·2x＝－(2x＋k·2－x)，∴(1＋k)＋(k＋1)·22x＝0对一切x∈R恒成立，∴k＝－1.(2)∵x∈[0，＋∞)，均有f(x)＞2－x，即2x＋k·2－x＞2－x成立，∴1－k＜22x对x≥0恒成立，∴1－k＜(22x)min，∵y＝22x在[0，＋∞)上单调递增，∴(22x)min＝1，∴k＞0.∴实数k的取值范围是(0，＋∞)．19．(本小题满分12分)(2020·北京高考)设L为曲线C：y＝在点(1,0)处的切线．(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方．【解】(1)设f(x)＝，则f′(x)＝.所以f′(1)＝1，所以L的方程为y＝x－1.(2)证明：令g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(∀x>0，x≠1)．g(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝.当0<x<1时，x2－1<0，ln x<0，所以g′(x)<0，故g(x)单调递减；当x>1时，x2－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，故g(x)单调递增．所以，g(x)>g(1)＝0(∀x>0，x≠1)．所以除切点之外，曲线C在直线L的下方．20．(本小题满分12分)(2020·济南模拟)已知函数f(x)＝ax3＋(a－2)x＋c的图象如图1－2所示．图1－2(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)若g(x)＝－2ln x在其定义域内为增函数，求实数k的取值范围．【解】(1)∵f′(x)＝ax2＋a－2，由图可知函数f(x)的图象过点(0,3)，且f′(1)＝0.得即∴f(x)＝x3－x＋3.(2)∵g(x)＝－2ln x＝kx－－2ln x，∴g′(x)＝k＋－＝.∵函数y＝g(x)的定义域为(0，＋∞)，∴若函数y＝g(x)在其定义域内为单调增函数，则函数g′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，即kx2＋k－2x≥0在区间(0，＋∞)上恒成立．即k≥在区间(0，＋∞)上恒成立．令h(x)＝，x∈(0，＋∞)，则h(x)＝＝≤1(当且仅当x＝1时取等号)．∴k≥1.∴实数k的取值范围是[1，＋∞)．21．(本小题满分12分)(2020·烟台模拟)某幼儿园准备建一个转盘，转盘的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算，转盘上的每个座位与支点相连的钢管的费用为3k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为k元．假设座位等距分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记转盘的总造价为y元．(1)试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；(2)当k＝50米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？【解】(1)设转盘上总共有n个座位，则x＝即n＝，y＝＋，定义域.(2)y＝f(x)＝k2，y′＝k2，令y′＝0得x＝.当x∈时，f′(x)＜0，即f(x)在x∈上单调递减，当x∈时，f′(x)＞0，即f(x)在x∈上单调递增，y的最小值在x＝时取到，此时座位个数为＝32个．22．(本小题满分12分)(2020·鄂州模拟)已知函数f(x)＝x3－ax＋1.(1)求x＝1时，f(x)取得极值，求a的值；(2)求f(x)在[0,1]上的最小值；(3)若对任意m∈R，直线y＝－x＋m都不是曲线y＝f(x)的切线，求a的取值范围．【解】(1)因为f′(x)＝x2－a，当x＝1时，f(x)取得极值，所以f′(1)＝1－a＝0，a＝1.又当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在x＝1处取得极小值，即a＝1符合题意．(2)当a≤0时，f′(x)＞0对x∈(0,1)成立，所以f(x)在[0,1]上单调递增，f(x)在x＝0处取最小值f(0)＝1，当a＞0时，令f′(x)＝x2－a＝0，x1＝－，x2＝，当0＜a＜1时，＜1，x∈(0，)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，x∈(，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝处取得最小值f()＝1－.当a≥1时，≥1，x∈[0,1]时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝－a.综上所述，当a≤0时，f(x)在x＝0处取最小值f(0)＝1；当0＜a＜1时，f(x)在x＝处取得最小值f()＝1－；当a≥1时，f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝－a.(3)因为∀m∈R，直线y＝－x＋m都不是曲线y＝f(x)的切线，所以f′(x)＝x2－a≠－1对x∈R成立，只要f′(x)＝x2－a的最小值大于－1即可，而f′(x)＝x2－a的最小值为f(0)＝－a，所以－a＞－1，即a＜1.所以a的取值范围是(－∞，－1)．。