4.2.1第1课时等差数列的概念及通项公式新课程标准学业水平要求1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.3.体会等差数列与一元一次函数的关系.
1.借助教材实例理解等差数列、等差中项的概念.(数学抽象)2.借助教材实例了解等差数列与一次函数的关系.(数学抽象)3.会求等差数列的通项公式，并能利用等差数列的通项公式解决相关的问题・(数学运算)4.能利用等差数列的通项公式解决相关的实际问题.(数学运算、数学建模)【自主预习】导思1.什么是等差数列？2.等差数列的通项公式是什么？3.什么是等差中项？1.等差数列的定义⑴条件：①从第项起.②每一项与它的的差都等于常数.(2)结论：这个数列是等差数列.⑶相关概念：这个常数叫做等差数列的,常用—表示.［思考］为什么强调“从第2项起”？⑵如何理解“每一项与前一项的差”？2.等差中项前提：三个数sA,Z?成等差数列.(1)结论：—叫做。与人的等差中项.(2)满足的关系式：2A=・⑵由⑴知*=孑+(n—l)x|=?,故q〃=〃.3〃t,住N*.【课堂达标】【解析】设｛山｝的公差为d,根据题意知：。4=。2+(4—2)d,易知d=—l,所以。6=山+(6—4)d=0.【答案】B【解析】|妇=|70+(〃一1)乂(一9)|=|79-9〃|,所以〃=9时，|。〃|最小.【答案】C【解析】由题意知0z=2m+1,所以—。〃=2.【答案】A1+1 1.【解析】胃=*+气MS=3-塞：寸+审=*.【答案】吏【解析】设这三个数分别为a—d,sq+H,则3。=9,所以。=3.所以这三个数分别为3—d,3,3+d.由题意，得3(3—t/)=6(3+d),所以d=—1.所以这三个数分别为4,3,2.【答案】4,3,2［思考］等式“2A=o+ZT有哪些等价形式?3.等差数列的通项公式递推公式通项公式=d(〃£N*)an=(n仁N*)［思考］怎样从函数角度认识等差数列?1.由等差数列的通项公式可以看出，要求0”需要哪几个条件?【基础小测】辨析记忆(对的打“寸，错的打“X”).(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.()等差数列｛缶｝的单调性与公差d有关.()(2)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项・()若三个数sb,c满足2b=a+c,则sb,。一定是等差数列.()1.己知等差数列修〃｝的首项tzi=4,公差d=—2,则通项公式afl=()A.4—2nB.2〃—4C.6一2〃D.2n~6 2.等差数列一6,0,3,…的公差d=・在八ABC中，三内角A,B,C成等差数列，则B等于.【合作学习】类型一等差中项的应用（数学运算）【典例】1.若5,x,y,z,21成等差数列，则x+y+z的值为（）A.26B.29C.39D.52 2.设工是。与人的等差中项，％2是/与一朋的等差中项，则s人的关系是（）A.a=—bB.a=3b C・q=—Z?或。=3Z?D.a=b=O若m和In的等差中项为4,2m和〃的等差中项为5,则m和〃的等差中项为・［解题策略］等差中项的应用方法三数。，。，c成等差数列的条件是b=^（或2A=q+c）,可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.如若证｛。〃｝为等差数列，可证2"i=O〃+q〃+2（〃6N*）.【跟踪训练】在一1与7之间顺次插入三个数sb,。使这五个数成等差数列，求此数列.类型二等差数列的通项公式及其应用（数学运算）【典例】⑴在等差数列｛。〃｝中,己知。4=7,010=25,求通项公式如57（2）己知数列｛曲为等差数列，。3=言，。7=一：，求。15的值.［解题策略］基本量法求通项公式根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想.等差数列｛W中的每一项均可用小和刁表示，这里的小和H就称为基本量.有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关勿，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.【跟踪训练】已知在等差数列｛。〃｝中,。3+。8=22,6/6=7,则。5等于()A.15B.22C.7D.29(1)求等差数列8,5,2,...的第20项；(2)判断一401是不是等差数列一5,-9,—13,...的项，如果是，是第几项?类型三等差数列的判定与证明(数学运算、逻辑推理)【典例】己知数列｛时满足勿=2,。〃+|=籍=・数列｛土｝是否为等差数列？说明理由；(1)求an.【变式探究】将典例中的条件“。i=2,o〃+i=.［’2”换为“。1=1，。2=2,2q〃+i=2。〃+3(〃±2,N*)”试判断数列｛劣｝是否是等差数列.［解题策略］等差数列的判定方法(1)定义法：—。〃=d(常数)(〃EN*)o｛0j为等差数列；等差中项法：2为+\=an+。〃+2("仁N*)0｛0?｝为等差数列；(2)通项公式法：a〃=cm+b(a,。是常数,住N*)o｛W为等差数列.但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.【跟踪训练】41 1.已知数列｛。〃｝满足。1=4,an=4—记bn=.求证：数歹!J｛勿｝是等差数列.。〃一1z已知数列｛□〃｝满足。〃+1=3。〃+3〃，且a\=\.(1)证明：数列是等差数列；求数列｛前的通项公式.【课堂达标】1.在等差数列｛。〃｝中，若。2=4,04=2,则06=()A.-1B.0C.1D.6 2.等差数列｛。〃｝的首项为70,公差为一9,则这个数列中绝对值最小的一项为()A.ci\\B.QioC.。9D.。8 3.已知数列0J,对任意的住N*,点P〃(〃，a〃)都在直线y=2x+l上，则｛缶｝为()A.公差为2的等差数列B.公差为1的等差数列C.公差为一2的等差数列D.非等差数列已知,则a,b的等差中项为♦4.三个数成等差数列，其和为9,前两项之积为后一项的6倍，则这三个数为【参考答案】【自主预习】等差数列的定义⑴①2.②前一项同一个⑶公差d［思考］提示：①第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；②定义中包括首项这一基本量，且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差.(1)提示：它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻.1.等差中项⑵A⑶q+Z?［思考］上口一.ci+b提不：2A=a+h<^A—a=b~—.2.等差数列的通项公式Cln+\~Cl,i。1+(〃一l)d［思考］提示：若数列｛。〃｝是等差数列，首项为ai，公差为d,则S=K孔)=+(〃一l)d=一d).⑴点(〃，落在直线y=dx-\-(a\—d)_h；(2)这些点的横坐标每增加1,函数值增加d.1.提示：只要求出等差数列的首项勿和公差d,代入公式。〃=刃+(〃一项即可.【基础小测】提示：(l)x若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列.⑵寸当d>0时为递增数列；刁=0时为常数列；d<0时为递减数列.(3对只需将项数〃代入即可求出数列中的任意一项.(3)寸若①b,c满足2b=a-\~c9即b—a=c—b,故①b,c为等差数列.1.【解析】+（〃一l）d=4+（〃一1）x（—2）=4—2〃+2=6—2〃.【答案】C【解析】（一3）—（—6）=3,故d=3.【答案】3【解析】因为三内角A,B,C成等差数列，所以2B=A+C,又因为A+B+C=180。，所以38=180。，所以B=60°.【答案】60°【合作学习】类型一等差中项的应用(数学运算)【典例】1.【解析】因为5,x,y,z,21成等差数列,所以y既是5和21的等差中项也是工和z的等差中项.所以5+21—2y,所以y=13,x+z—2y—26,所以x+y+z—39.【答案】C【解析】由等差中项的定义知：工=罗,/=《磐，所以号2即cr—2ab—3b2—0.故a——b或a—3b.【答案】C【解析】由〃2和2〃的等差中项为4,得m+2n=8.又由2m和〃的等差中项为5,得2m+n=10.两式相加，得m+〃=6,所以m和〃的等差中项为飞一=3【答案】3【跟踪训练】【解】因为一1,sb,c,7成等差数列,—1+7所以力是一1与7的等差中项，所以b=—^—=3乂。是一1与3的等差中项，所以。—1+3=i・又。是3与7的等差中项，所以c3+7=5・所以该数列为一1,1,3,5,7.类型二等差数列的通项公式及其应用(数学运算)【典例】【解】(1)因为。4=7,血)=25,%+3d=7,得＜%+9d=25,%+3d=7,得＜%+9d=25,a=—2,d=3.所以—2+(〃一1)x3=3m—5,所以通项公式o〃=3〃一5(〃EN*).(2)方法一：由」5 7。7=二，a+2J=—,14 7 q+6d=_—,113解得益=乎，d=所以。15=。1+(15—1)』=¥+所以。15=。1+(15—1)』=¥+31 T■方法二：(利用cin—am+(n_m)d求解)方法二：(利用cin—am+(n_m)d求解)753由07=03+(7—3)d,即一彳=4+4d,解得。=一彳，所以。15=。3+(15—3)6?=^所以。15=。3+(15—3)6?=^31 T■【跟踪训练】1.【解析】设｛。〃｝的首项为。1，公差为d,根据题意得"3+%="1+2d+%+7d=22,%=。1+5日=7,解得。1=47,d=—8,所以。5=47+(5—1)x(—8)=15.【答案】A2.【解】设等差数列的首项为切，公差为d,(1)由。1=8,d=5—8=—3,〃=20,得您0=8+(20—1)x(—3)=-49.(2)由〃i=—5,d=—9—(~5)=—4,得这个数列的通项公式为an=—5+(n—1)x(—4)=—4/2—1.由题意，令一401=—4〃一1,得n—100,即一401是这个数列的第100项.类型三等差数列的判定与证明（数学运算、逻辑推理）【典例】【解】（1）数列｛日是等差数列，理由如下：因为。］=2,。〃+|=华，所以—L=守=++!，an+2an+\Zafl所以一」一』=|，即［J］是首项为!=|,公差为d=*的等差数列.q〃+ianz［an）a\z2IIc（2）由（1）可知/+（〃—l）d=5,所以。〃=二.ClnCl|乙rl【变式探究】3【解】当沦2时，由2sh=2q〃+3,得an^\—an=2，但。2—。1=1芸，故数列｛时不是等差数列.【跟踪训练】【证明】（定义法）因为。〃+】=—1—7 1z【证明】（定义法）因为。〃+】=—1—7 1z_2—2S—2)’所以。"+|_函=2二2）—Si=2斜；2）=2’为常数（住村）又仇=浩=|，所以数列｛妇是首项为§,公差为;的等差数列.（等差中项法）因为与=泠，所以仞”」=况土1［_I）—2=2（。二2）所以如2=2（岫_2）4-土2(4-—-2。〃一1an—2・|Q]。〃一2an~2。〃一2an~2所以bn+hn+2~2Z?n4-1=+:_c—2%(/二2)=°。所以Z?〃+/7〃+2=2Z?〃+i（"6N*）,所以数列｛勿｝是等差数列.【跟踪训练】【解】⑴由。〃+1=3。〃+3〃,两边同时除以3〃+\得捋=*+|,即斜ClnX预=3.由等差数列的定义知，数列On 3厂是以堂=3为首项，3为公差的等差数列・。
