第五章一元函数的导数及其应用DI WU ZHANG 5.1导数的概念及其意义变化率问题司圆阔圃昌暗（教师独具内容）课程标准：1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程2体会极限思想.教学重点：瞬时速度的求法.教学难点：求瞬时速度的极限方法.核心素养：通过学习平均速度、瞬时速度、抛物线切线的斜率，提升数学运算素养和数学抽象素养.掌握HE XIN GAI NIAN ZHANG WO「知识’「知识’写学知识点一高台跳水运动员的平均速度在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度/?（单位：m）与起跳后的时间，（单位:s）存在函数关系旭）=-4.9产+4.&+11.一般地，在这段时间里，_ft—I h（t2）h（11）|—I p二|。2|一4.9（.1+/2）+4.8.t2-t\_知识点二高台跳水运动员的瞬时速度为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.知识点三高台跳水运动员在，=1S时瞬时速度的求法△，是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为。.C.在，。到，I范围内甲的平均速度大于乙的平均速度在加到范围内甲的平均速度等于乙的平均速度答案BC—V0解析在。到免范围内甲、乙的平均速度均为初=-,所以A错误，B正确;S2一SO51一SO在ro到r.范围内甲的平均速度为京，乙的平均速度为厂加很明显S2-SO S1—SO顽＞7所以C正确，D错误.故选BC.二、填空题6.已知物体运动的速度与时间之间的关系是《。）=产+力+2,则在时间处的瞬时加速度为答案4解析由平均变化率的定义可知，该物体在［1,1+也］上的平均加速度为#（1+也）-"1）=也+4,当攵趋近于。时，Ar+4趋近于4,所以在时间1=1处的瞬时加速度为4.7.曲线必）=、-f在"1处的切线的斜率为答案2 1+Ax—-犬1+愆)一穴1)1+Ax解析.一二MAx AxAx+—1+Ax i一尽一=1+厂云所以灿-土1+Ax=2.贝U曲线/U）=x-!在工=1处的切线的斜率为2.8.一物体的位移s与时间，之间的关系为$=7产-13*8,且在，=仍时的瞬时速度为1,则而=.答案1解析V 7(to+Az)^—13(/o+Az)+8—7/6+13 to—8△t 14而・也一13*+7(2)2△t—14,o—13+7 Az.v=(14zo—13+7Az)=14/o—13=1,Zo=1.三、解答题9.某质点A从时刻?=0开始沿某方向运动的位移为s(t)=|?一6产+9£(054),〔户-10，+28(日)，比较质点人在时刻*与心的瞬时速度的大小.解当0W/V4时，5(0=r3-6z2+9z=z(/-3)2,所以当，=3时，_5(3+△，)-5(3)(3+A0(A02-3 X(3-3)2"1=K=At=At(3+A?).v\=^in^[A/(3+Az)]=0.当时，5(0=?-lOr+28,所以当2 5时,所以当2 5时,s(5+Az)-5(5)Ar(5+△伊一10(5+A?)+28—25+50—28(Ar)2 It=Ar=’*.所以D2=⑷)=0.所以质点A在时刻t=3与"5的瞬时速度都为0,故大小相等.10.航天飞机发射后的一段时间内,第rs时的高度7z(z)=5z3+30/2+45r+4)其中/z的单位为m,，的单位为s.(DM0),力(1)分别表示什么；(2)求第Is内航天飞机的平均速度；⑶求第1 s末航天飞机的瞬时速度，并说明它的意义.解(1)力(0)表示航天飞机未发射时的高度3(1)表示航天飞机发射Is后的高度.(2)版=二f°)=80(m/s),即第1 s内航天飞机的平均速度为80 m/s.(3”5 h(l+Ar)-/z(l)A?=蛔[5即)2+45攵+120]=120,即第1 s末航天飞机的瞬时速度为120m/s.它表示在第1 s末附近，航天飞机的高度大约以120 m/s的速度在增加.B级，i・子弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动.子弹运动的时间,与位移S满足s=2.5X105户，其中S的单位是m,t的单位是s.子弹从枪口射出所用的时间为1.6X10-3s,求子弹射出枪口时的瞬时速度.解设子弹从枪口射出时刻为如_2.5 XlO5Zo-2.5 X 105(/()-△讦2.5X105(2加一△，)△/△t=5X105九)一2.5X105△九/.p=L回(5X 105加一2.5X 105A0=5X1 O5Zo.又Zo=1.6XlO-3s,...#=5 X 1。5姑=8 X 1。2=800(m/s)...•子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.2.若抛物线犬*)=2/+4工在x=xo处的切线斜率为8,求在x=xo处的切线方程.解抛物线Ax)=2X2+4x在x=xo附近且通过该点的割线斜率为k=.伽+Ax)-,伽)Ax 2(xo+Ax)2+4(xo+Ax)一(2好+4xo)=Ax=2 Ax+4xo+4,所以(2Ax+4a：o+4)=4xo+4=8,即xo=l,所以>o)=/(1)=2X12+4X1=6.所以所求切线方程为y_6=83—1),艮［18x—y—2=0.当△，＜()时,在时间段［1+AU］内A介。时,在时间段［1,1+也］内△t_/z(l)—/z(l+△，)7)—1-(1+A0 4.9("+5Z_-Az=-4.9AZ-5△t_/?(1+AO-/z(l)V=(1+A/)-1-4.9("-5Z=At=-4.9A/-5数学中，我们把-5叫做“当也无限趋近于。时,At v=仰+"⑴的画极限”,记为网四些*"”⑴=-5.从物理的角度看，当时间间隔IM无限趋近于。时，平均速度和就无限趋近于yl时的瞬时速度.因此，运动员在"1 S时的瞬时速度#(1)=-5 m/s.知识点四抛物线fix)=x2在点Po(l,l)处的切线与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线母)=*在点Po(l,l)处的切线，我们通常在点Po(l,l)的附近任取一点P(x,X2),考察抛物线»=的割线PoF的变化情况.我们发现，当点P词无限趋近于点俭时,割线RP匝］无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线PoT称为抛物线»=在点R)(l,l)处的切线.y4 31 1 2知识点五抛物线在点Po(lJ)处的切线PoT的斜率k=01/U)-们)x-1=匝］(1+愆)2-1(1+A%)—1=|03|Ax+2.我们发现，当愆无限趋近于。时，即无论工从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线PoP的斜率*都无限趋近于2.事实上，由*=Ax=Ax+2可以直接看出,当或无限趋近于0时,Ax+2无限趋近于2.我们把2叫做“网当愆无限趋近于。时/彳/U+Ax)-们)Ax的极限”,记为匝虹/n+Ax)—〃1)Ax=2.因此，切线p（）r的斜率如=2.对瞬时速度的理解（1）瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率.（2）△，是时间的改变量，△，趋近于。是指时间间隔△，越来越短，能越过任意小的时间间隔，但始终不能为0.±1评价自测1.判一判（正确的打“广’，错误的打“X”）⑴自变量的改变量蚩是一个较小的量，蚩可正可负，但不能为。.（）（2）高台跳水运动员的瞬时速度是刻画跳水高度在时间区间［上切上变化快慢的物理量.（）（3）高台跳水运动员的平均速度可正可负・（）答案⑴"(2)X(3)V 2.做一做（请把正确的答案写在横线上）（1）若_3产+2,当，由1变为2时，/?的变化量为（2）—做直线运动的物体，其位移s（单位：m）与时间，（单位：s）的关系为s=5已则该物体从1 s到3 s这段时间内的平均速度是,则该物体从1 s到3 s这段时间内的平均速度是,m/s.（3）抛物线y=%2在尤=2处的切线斜率为（4）在高台跳水运动中3 s时相对于水面的高度（单位:m）是顷）=-4.9?+65+10,则该高台跳水运动员在Pls时的瞬时速度为答案(1)—9(2)20(3)4(4)-3.3 m/s形成HE XIN SU YANG XING CHENG题型一求平均速度与瞬时速度例1一做直线运动的物体，其位移S与时间，的关系是s(t)=3t-t2.⑴求y 0到y 2时的平均速度;(2)求物体的初速度;(3)求物体在2 2时的瞬时速度.阐⑴…华**4丹。-。2)=|=|.所以在，=0到，=2时的平均速度为1.(2)当，=0时的速度为初速度.在。时刻取一时间段［0,Ar］,则,¥3=33所以血,(3-Ar)=3.所以物体的初速度为3.(3)取一时间段［2,2+攵］,则成=心普-22)=土理=_］_也,则成=心普-22)=土理=_］_也,△t△t所以炬?)(一］_=_1・所以f=2时，物体的瞬时速度为-1.感悟提升要计算物体的瞬时速度，只要给时间一个改变量也，求出相应的_AcAc位移的改变量再求出平均速度旬=&最后计算当攵趋近于。时，瓦趋近于的常数，就是物体在该时刻的瞬时速度.［跟踪训练1］若一物体的位移s(单位：m)与时间，(单位：s)之间的关系为3户+2,《33,求■29+3(1-3)2,0W/v3,•(1)物体在t€［3,5］内的平均速度成;(2)物体的初速度；⑶物体在，二1时的瞬时速度.解⑴…也地=3心硕-少=302+，1)=3 X(5+3)=24 m/s.(2)求物体的初速度，即求物体在，=0时的瞬时速度.因为物体在，=0附近的平均速度为_29+3[(0+Ar)一3]2-29-3(0一3)2 v=rr=3A?—18.所以物体在，=0时的瞬时速度为li△四(3攵-18)=-即物体的初速度为-18m/s.(3)物体在t=1附近的平均速度为云A1+A0-A1)△t所以物体在t=1时的瞬时速度为liAm()(3*-12)=-题型二求抛物线在某一点处切线的斜率或方程18.3Ar-12,12 m/s.例2⑴已知函数y=M=X1+x,0Wiv2,2(x-I)2,求抛物线在x=l和x=4处的切线斜率・[解]抛物线在x=1附近割线的斜率为犬1+Ax)-y(l)(1+Ax)2+1+AX—2 k=E=甚3 Ax+(Ax?=Ax=3+官所以抛物线在工=1处的切线斜率为好丛(3+Ax)=3.抛物线在x=4附近割线的斜率为X4+Ax)一只4)2(4+Ax—1尸一2(4一I)2 k=E=12Ax+2(Ax)2=7T=12+2官所以抛物线在"4处的切线斜率为从吒(12+2Ar)=12.⑵求抛物线»=X2-2x+3在点(1,2)处的切线方程.［解］/(1+愆)”1)Ax=Ax,(1+Ax)2—2(1+Ax)+3—2Ax可得切线的斜率为k=^^x=O.所以切线的方程为y-2=。乂3-1),即y=2.求抛物线y=Ax)在某点处的切线斜率，可先表示出在此点附近通过该点的割线的斜率，再求此斜率的极限即可.求抛物线在某点处的切线方程的步骤:[跟踪训练2](1)求抛物线》=-必+3工在工=2处的切线斜率.解令J=»,则抛物线尸-x2+3%在"2处的切线斜率为从％"+斜一”),而犬2+k)-A2)=一(2+愆尹+3(2+k)—2=-(k)2—Ax,所以抛物线-*+3尤在工=2处的切线斜率为-(Ax)2_AxM&=蜘(-Ax-1)=-1.(2)求抛物线»=3^-4%-1在点(2,3)处的切线方程.解£±^=3(^=3Ax+8)Ax所以k=^(3Ax+8)=8,则切线方程为》一3=83-2),即8—-13=0.随堂水平』达标SUI TANG SHUI PING DA BIAO 1.已知抛物线y=f 2和这条曲线上的一点补1,北Q是曲线上点F附近的一点，则点。的坐标为()B.(k,|(Ax)2JC.1+Ax,C.1+Ax,+Ax)2 D.(AX,^(1+Ax)2答案c解析抛物线上在点/(1，J附近的。点的横坐标为1+*，则其纵坐标为*1+Ax)2.2.—质点做直线运动，其位移s与时间，之间的关系为s=3-2已则该质点在，=1时的瞬时速度是()A.-1 A.-1 B.-2 C.-3D.-4答案D_3-2(1+攵)2—(3—2X12)一2(*)2一4△/解析版=K=K—=-2攵-4.则血(-2A?-4)=一4.故选D.3.抛物线＞=2/-4的图象上一点(1,-2)处的切线斜率为()A.0B.1C.4 C.4 D.-2答案C解析解析Ax=一(一2)=^^=4+2k Ax愆一0时，4+2AX—4,所以抛物线"2X2-4的图象上一点(1,-2)处的切线斜率为4.4.某汽车启动阶段的位移函数为sQ)=2户-5Z2,其中位移s的单位为m,时间的单位为S,则当t=2s时，汽车的瞬时速度是・答案4m/s2(2+A?)3-5(2+AO2-(2X23-5X22)。解析。=舸K=回4+7山+2(*)2］=4(m/s).5.—质点做直线运动，其位移s与时间，之间的关系为s=8-4己(1)求质点在［1,1+Ar］这段时间内的平均速度；(2)求质点在y 1时的瞬时速度.解(1)质点在［1,1+&］这段时间内的平均速度为_8-4(1+攵)2-8+4X12希=K=一8-4里(2)由⑴知云=-8-4AZ,七成(-8-4Ar)=-8,所以质点在t=1时的瞬时速度为-8.课后课时」精练KE HOU KE SHI JING LIAN»四基”巩固训博―、选择题1.质点M的运动规律为$=4，+4已则质点肱在"姑时的瞬时速度为()A・4+4/()B.0 C.8to+4D.4zo+4z6答案C△sAs解析As=s“o+△，)一s(m)=4(*)2+4&+-^=4At+4+8to,上成亢=(4A?+4+8Zo)=4+8Zo.2.已知抛物线y=2j-1的图象上一点(1,1)及其邻近一点(l+Ax,l+3)，则这两点所在割线的斜率为()A・2+AxB.2—2 Ax C.4+2AxD.4答案C2（1+Ax）2-1-1解析这两点所在割线的斜率为,=疝=4+2官3.—质点沿直线运动，位移s与时间，之间的关系为s（O=E质点在而到为+△，之间的平均速度为板1,在to-At到之间的平均速度为云2,则云1,初2的大小关系是（）k.V\<V2 D.无法确定C.V]=V2答案D解析解析s(ft)+&)一5(?0)△t—2?o+s(lo)—s(/o—A?)可正可负，故分1,初2的大小关系不确定.4.—质点M沿直线运动，位移s（单位：m）与时间《单位：s）之间的关系为5。）=1户+1,若质点M在z=2s时的瞬时速度为8m/s,则常数。的值为（）A.1 B.2 C.4D.6答案B解析质点M在，=2时的瞬时速度即为函数在，=2处的瞬时变化率.•.•质_5（2+Ar）一5（2）q（2+Az）2一4a点M在y 2附近的平均速度分二K=2=%+Q M（4。+6zAr）=4a=8,艮［1 q=2.5.（多选）如图所示是物体甲、乙在时间。到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（）A.在。到姑范围内甲的平均速度小于乙的平均速度B.在。到而范围内甲的平均速度等于乙的平均速度。
