广东省云浮市新兴实验中学2022年高二数学文期末试卷含解析.docx

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广东省云浮市新兴实验中学2022年高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.用数学归纳法证明不等式的过程中，从到时左边需增加的代数式是()A．B．C．D．参考答案：B 2.若有极大值和极小值，则的取值范围是（）A.B.或C．或D．参考答案：B略3..已知集合P={0,1,2}，，则P∩Q=（）A.{0}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,2}参考答案：B【分析】根据集合交集的概念，可直接得出结果.【详解】因为集合，，所以.故选B【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可，属于基础题型.4.点到圆上的点的最短距离是A．B．C．D．参考答案：B略5.在等比数列中，若，是方程的两根，则的值是（）A.B.C.D.参考答案：D 6.满足条件|z－i|=|3+4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是A.一条直线B.两条直线C.圆D.椭圆参考答案：C 7.下面几种推理过程是演绎推理的是（）A．在数列中，由此归纳数列的通项公式；B．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质；C．两条直线平行，同旁内角互补，如果和是两条平行直线的同旁内角，则D．某校高二共10个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人。参考答案：C 8.设集合，则集合（）A B C D参考答案：B 9.若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为()A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0参考答案：A略10.若函数满足：，则的最小值为()A.B.C.D.参考答案：Ｂ二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下列说法中正确的是________.（填序号）①若，其中，，则必有；②；③若一个数是实数，则其虚部不存在；④若，则在复平面内对应的点位于第一象限.参考答案：④【分析】①根据已知可得，{虚数}，利用复数相等的概念，可判断①的正误；②利用虚数不能比大小，可判断②的正误；③由实数的虚部为0，可判断③的正误；④由，知，可判断④的正误.【详解】对于①，，，即{虚数}，所以不成立，故①错误；对于②，若两个复数不全是实数，则不能比大小，由于均为虚数，故不能比大小，故②错误；对于③，若一个数是实数，则其虚部存在，为0，故③错误；对于④，若，则，在复平面内对应点为，在第一象限，故④正确.故答案为:④.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查复数的概念和应用，熟练掌握复数概念是解题的关键，属于基础题.12.设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是▲参考答案：略13.在一次数学考试中，某班学生的分数服从X～且知满分为150分，这个班的学生共56人，求这个班在这次数学考试中130分以上的人数大约是参考答案：9 14.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于．参考答案：【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】直接利用双曲线方程求出渐近线方程，求出顶点坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：双曲线的一个顶点（，0）到其一条渐近线的距离为：=．故答案为：．15.把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：设（i、j∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如＝8．则为参考答案：2007 16.在三棱锥中，三条侧棱两两垂直，且侧棱长都是1，则点P到平面ABC的距离为．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】判断三棱锥是正三棱锥，要求点P到平面ABC的距离，可根据等体积求解，即VA﹣PBC=VP﹣ABC，根据正三棱锥P﹣ABC中，三条侧棱两两垂直，且侧棱长为1，即可求得．【解答】解：设点P到平面ABC的距离为h，∵三条侧棱两两垂直，且侧棱长为1，所以三棱锥是正三棱锥，∴AB=BC=AC=，∴S△ABC=，根据VA﹣PBC=VP﹣ABC，可得××13=××h，∴h=，即点P到平面ABC的距离为．故答案为：．17.沿矩形的对角线折起，形成空间四边形，使得二面角为，若，则此时四面体的外接球的体积为.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元.(Ⅰ)问第几年开始获利？（Ⅱ）若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船.问哪种方案最合算？参考答案：解析：由题设知每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列。设纯收入与年数的关系为f（n），则…………………2分（I）由f（n）＞0得又∵n∈N*，∴n=3，4，……17。即从第3年开始获利…………………………4分（II）①年平均收入为当且仅当n=7时，年平均获利最大，总收益为12×7+26=110（万元）…………7分②∵当n=10时，，总收益为102+8=110（万元）………………10分但7＜10∴第一种方案更合算。…………………………………………12分19.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n，数列{bn}满足3n﹣1bn=a2n﹣1（I）求an，bn；（Ⅱ）设Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）当n≥2时利用an=Sn﹣Sn﹣1计算即得结论，再代入得到bn=，（Ⅱ）通过错位相减法即可求出前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵Sn=n2+2n，∴当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2+2n）﹣（n﹣1）2﹣2（n﹣1）=2n+1（n≥2），又∵S1=1+2=3即a1=1满足上式，∴数列{an}的通项公式an=2n+1；∴3n﹣1bn=a2n﹣1=2（2n﹣1）+1=4n﹣1，∴bn=，（Ⅱ）Tn=+++…++，∴Tn=+++…++，∴Tn=3+4（++…+）﹣=3+4?﹣=5﹣∴Tn=﹣20.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°．（1）求证：PC⊥BC；（2）求点A到平面PBC的距离．参考答案：(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴PD⊥BC．由∠BCD＝90°，得CD⊥BC．又PD∩DC＝D，PD，DC平面PCD，∴BC⊥平面PCD．∵PC平面PCD，故PC⊥BC．-------------------4分(2)解：(方法一)分别取AB，PC的中点E，F，连DE，DF，则易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D，E到平面PBC的距离相等．又点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离的2倍，由(1)知，BC⊥平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD．∵PD＝DC，PF＝FC，∴DF⊥PC．又∴平面PBC∩平面PCD＝PC，∴DF⊥平面PBC于F．易知DF＝，故点A到平面PBC的距离等于．--12分(方法二)：连接AC，设点A到平面PBC的距离为h．∵AB∥DC，∠BCD＝90°，∴∠ABC＝90°．由AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S△ABC＝1．由PD⊥平面ABCD，及PD＝1，得三棱锥P-ABC的体积V＝S△ABC·PD＝．∵PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，∴PD⊥DC．又∴PD＝DC＝1，∴PC＝＝．由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面积S△PBC＝．∵VA-PBC＝VP-ABC，∴S△PBC·h＝V＝，得h＝．故点A到平面PBC的距离等于．----------12分21.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=﹣，Q为C2上的动点，求线段PQ的中点M到直线C3：ρcosθ﹣ρsinθ=8+2距离的最小值．参考答案：【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由cos2θ+sin2θ=1，能求出曲线C1，C2的普通方程，并能说明它们分别表示什么曲线．（Ⅱ）当t=时，P（4，﹣4），设Q（6cosθ，2sinθ），则M（2+3cosθ，﹣2+sinθ），直线C3的直角坐标方程为：﹣（8+2）=0，由此能求出线段PQ的中点M到直线C3：ρcosθ﹣距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C1：（t为参数），∴曲线C1的普通方程为：（x﹣4）2+（y+3）2=1，…∵曲线C2：（θ为参数），∴曲线C2的普通方程为：，…曲线C1为圆心是（4，﹣3），半径是1的圆．…曲线C2为中心在坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是6，短半轴长是2的椭圆．…（Ⅱ）当t=时，P（4，﹣4），…设Q（6cosθ，2sinθ），则M（2+3cosθ，﹣2+sinθ），…∵直线C3：ρcosθ﹣，∴直线C3的直角坐标方程为：﹣（8+2）=0，…M到C3的距离d=…===3﹣．…从而当cos（）=1时，d取得最小值3﹣．…22.如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.(Ⅰ)证明：平面PQC⊥平面DCQ；(Ⅱ)求二面角Q－BP－C的余弦值．参考答案：解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz.(Ⅰ)证明：依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，则＝(1,1,0)，＝(0,0,1)，＝(1，－1,0)．所以·＝0，·＝0.即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.故PQ⊥平面DCQ.又PQ?平面PQDC，所以平面PQC⊥平面DCQ.(Ⅱ)依题意有B(1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(－1,2，－1)．设n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，则即因此可取n＝(0，－1，－2)．设m是平面PBQ的法向量，则可取m＝(1,1,1)，所以cos〈m，n〉＝－.故二面角Q－BP－C的余弦值为－.略。