【课堂新坐标】2020届高三数学一轮复习 2-11 导数在研究函数中的应用知能训练文（广东专用）.doc

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课时知能训练一、选择题1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)2．(2020·梅州调研)若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是()A．(0,1)B．(－∞，1)C．(0，＋∞)D．(0，)3．对于在R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－a)f′(x)≥0，则必有()A．f(x)≥f(a)B．f(x)≤f(a)C．f(x)＞f(a)D．f(x)＜f(a)4．(2020·浙江高考)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是()5．(2020·东莞调研)函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上一定()A．有最小值B．有最大值C．是减函数D．是增函数二、填空题6．函数f(x)＝x(ex－1)－x2的单调增区间是________．7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则f(2)＝________.8．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在(0，)上是凸函数的是________．(把你认为正确的序号都填上)①f(x)＝sin x＋cos x；②f(x)＝ln x－2x；③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝xex.三、解答题9．已知函数f(x)＝ex－ax－1.(1)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围；(2)是否存在a，使f(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．10．(2020·肇庆调研)已知函数f(x)＝ax2＋bln x在x＝1处有极值.(1)求a，b的值；(2)判断函数y＝f(x)的单调性并求出单调区间．11．已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．答案及解析1．【解析】f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)＞0，解得x＞2.【答案】D 2．【解析】f′(x)＝3x2－6b，且f(x)在(0,1)内有极小值．∴f′(x)＝0在(0,1)内有解，易知b＞0且0＜＜1，解之得0＜b＜.【答案】D 3．【解析】由(x－a)f′(x)≥0知，当x＞a时，f′(x)≥0；当x＜a时，f′(x)≤0.∴当x＝a时，函数f(x)取得最小值，则f(x)≥f(a)．【答案】A 4．【解析】设h(x)＝f(x)ex，则h′(x)＝(2ax＋b)ex＋(ax2＋bx＋c)ex＝(ax2＋2ax＋bx＋b＋c)ex.由x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点．因此ax2＋2ax＋bx＋b＋c＝c－a＝0，∴c＝a.∴f(x)＝ax2＋bx＋a.若方程ax2＋bx＋a＝0有两根x1，x2，则x1x2＝＝1，D中图象一定不满足该条件．【答案】D 5．【解析】由函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，可得a的取值范围为a＜1，∴g(x)＝＝x＋－2a，则g′(x)＝1－.易知在x∈(1，＋∞)上g′(x)＞0，所以g(x)为增函数．【答案】D 6．【解析】易知f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(x＋1)(ex－1)，令f′(x)＞0，得x＞0或x＜－1.【答案】(－∞，－1)和(0，＋∞)7．【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由题意即消去b，得a＝4或a＝－3.但当a＝－3时，f′(x)＝3x2－6x＋3≥0，故不存在极值．∴a＝4，b＝－11，f(2)＝18.【答案】18 8．【解析】在定义域(0，)内，由f″(x)＝－sin x－cos x＜0，得①是凸函数；由f″(x)＝－＜0，得②是凸函数；由f″(x)＝－6x＜0，得③是凸函数；由f″(x)＝2ex＋xex＞0，得④不是凸函数．【答案】①②③9．【解】(1)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.∵f(x)在R上单调递增∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，即a≤ex，x∈R恒成立．∵x∈R时，ex∈(0，＋∞)，∴a≤0.(2)由已知f(x)在(－∞，0]上单调递减，在区间[0，＋∞)上单调递增可知，f(0)是f(x)的极小值．∴f′(0)＝e0－a＝0⇒a＝1，经检验，a＝1符合要求．∴存在a＝1满足条件．10．【解】(1)f′(x)＝2ax＋，又f(x)在x＝1处有极值.∴即解之得a＝且b＝－1.(2)由(1)可知f(x)＝x2－ln x，其定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝x－＝.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值所以函数y＝f(x)的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，＋∞)．11．【解】(1)由f′(x)＝3ax2＋2x＋b.得g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.又g(x)是奇函数，则g(－x)＝－g(x)．∴－ax3＋(3a＋1)x2－(b＋2)x＋b＝－[ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b]，从而3a＋1＝0且b＝0，∴b＝0，a＝－，因此f(x)＝－x3＋x2.(2)由(1)知，g(x)＝－x3＋2x∴g′(x)＝2－x2＝(＋x)(－x)，当x∈[1,2]时，令g′(x)＝0，x＝是极值点．又g()＝，g(1)＝，g(2)＝.因此g(x)在[1,2]上的最大值为g()＝，最小值g(2)＝.