高中数学第一章三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系学案（无答案）新人教A版必修4（通用）.docx

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1．2.2同角三角函数的基本关系学习目标1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．知识点同角三角函数的基本关系式思考1计算下列式子的值：(1)sin230°＋cos230°；(2)sin245°＋cos245°；(3)sin290°＋cos290°.由此你能得出什么结论？尝试证明它．答案3个式子的值均为1.由此可猜想：对于任意角α，有sin2α＋cos2α＝1，下面用三角函数的定义证明：设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则由三角函数的定义，得sinα＝y，cosα＝x.∴sin2α＋cos2α＝x2＋y2＝|OP|2＝1.思考2由三角函数的定义知，tanα与sinα和cosα间具有怎样的等量关系？答案∵tanα＝(x≠0)，∴tanα＝(α≠＋kπ，k∈Z)．梳理(1)同角三角函数的基本关系式①平方关系：sin2α＋cos2α＝1.②商数关系：tanα＝.(2)同角三角函数基本关系式的变形①sin2α＋cos2α＝1的变形公式sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α.②tanα＝的变形公式sinα＝cosαtanα；cosα＝.1．sin2α＋cos2β＝1.(×)提示在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin2α＋cos2α＝1.2．sin2＋cos2＝1.(√)提示在sin2α＋cos2α＝1中，令α＝可得sin2＋cos2＝1.3．对任意的角α，都有tanα＝成立．(×)提示当α＝＋kπ，k∈Z时就不成立.类型一利用同角三角函数的关系式求值命题角度1已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值例1(1)若sinα＝－，且α为第四象限角，则tanα的值为()A.B．－C.D．－考点同角三角函数的基本关系式题点同角三角函数的商数关系答案D解析∵sinα＝－，且α为第四象限角，∴cosα＝，∴tanα＝＝－，故选D.(2)已知sinα＋cosα＝，α∈(0，π)，则tanα＝.考点同角三角函数的基本关系式题点同角三角函数的商数关系答案－解析∵sinα＋cosα＝，∴(sinα＋cosα)2＝，即2sinαcosα＝－<0，又α∈(0，π)，则sinα>0，cosα<0，∴α∈，故sinα－cosα＝＝，可得sinα＝，cosα＝－，tanα＝－.反思与感悟(1)同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sinα，cosα，tanα三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负．(2)已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα的等价转化，分析解决问题的突破口．跟踪训练1已知tanα＝，且α是第三象限角，求sinα，cosα的值．考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值解由tanα＝＝，得sinα＝cosα.①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.又α是第三象限角，∴cosα＝－，sinα＝cosα＝－.命题角度2已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值例2已知cosα＝－，求sinα，tanα的值．考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值解∵cosα＝－<0，且cosα≠－1，∴α是第二或第三象限角．(1)当α是第二象限角时，则sinα＝＝＝，tanα＝＝＝－.(2)当α是第三象限角时，则sinα＝－＝－，tanα＝.反思与感悟利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解．跟踪训练2已知cosα＝，求sinα，tanα的值．考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值解∵cosα＝>0且cosα≠1，∴α是第一或第四象限角．(1)当α是第一象限角时，则sinα＝＝＝，tanα＝＝＝.(2)当α是第四象限角时，则sinα＝－＝－，tanα＝－.类型二齐次式求值问题例3已知tanα＝2，求下列代数式的值．(1)；(2)sin2α＋sinαcosα＋cos2α.考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值解(1)原式＝＝.(2)原式＝＝＝＝.反思与感悟(1)关于sinα，cosα的齐次式，可以通过分子、分母同除以cosα或cos2α转化为关于tanα的式子后再求值．(2)假如代数式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin2α＋cos2α代换后，再同除以cos2α，构造出关于tanα的代数式．跟踪训练3已知＝2，计算下列各式的值．(1)；(2)sin2α－2sinαcosα＋1.考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值解由＝2，化简，得sinα＝3cosα，所以tanα＝3.(1)原式＝＝＝.(2)原式＝＋1＝＋1＝＋1＝.类型三三角函数式的化简与证明例4(1)化简：sin2αtanα＋＋2sinαcosα.考点运用基本关系式化简和证明题点运用基本关系式化简解原式＝sin2α·＋cos2α·＋2sinαcosα＝＝＝.(2)求证：＝.考点运用基本关系式化简和证明题点运用基本关系式证明证明∵右边＝＝＝＝＝＝左边，∴原等式成立．反思与感悟(1)三角函数式的化简技巧①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．(2)证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．③比较法：即证左边－右边＝0或＝1(右边≠0)．④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．跟踪训练4化简tanα，其中α是第二象限角．考点运用基本关系式化简和证明题点运用基本关系式化简解因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0.故tanα＝tanα＝tanα＝＝·＝－1.1．若sinα＝，且α是第二象限角，则tanα的值为()A．－B.C．±D．±考点同角三角函数的基本关系式题点同角三角函数的商数关系答案A解析∵α为第二象限角，sinα＝，∴cosα＝－，tanα＝－.2．已知sinα－cosα＝－，则sinαcosα等于()A.B．－C．－D.考点同角三角函数的基本关系式题点同角三角函数的平方关系答案C解析由题意得(sinα－cosα)2＝，即sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝，又sin2α＋cos2α＝1，∴1－2sinαcosα＝，∴sinαcosα＝－.故选C.3．化简的结果是()A．cos B．sin C．－cos D．－sin考点同角三角函数的基本关系式题点同角三角函数的平方关系答案C解析＝＝，∵<<π，∴cos<0，∴＝－cos，即＝－cos，故选C.4．若tanα＝2，则的值为()A．0B.C．1D.考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案B解析＝＝＝.5．求证：＝.考点运用基本关系式化简和证明题点运用基本关系式证明证明方法一(比较法——作差)∵－＝＝＝0，∴＝.方法二(比较法——作商)∵＝＝＝＝＝1.∴＝.1．利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值．2．利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值．3．在三角函数的变换求值中，已知sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值．4．在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点．利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法．5．在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.一、选择题1．已知α是第二象限角，tanα＝－，则cosα等于()A．－B．－C．－D．－考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案C解析∵α是第二象限角，∴cosα<0.又sin2α＋cos2α＝1，tanα＝＝－，∴cosα＝－.2．(2020·阜阳检测)等于()A．sinB．cosC．－sinD．－cos考点同角三角函数的基本关系式题点同角三角函数的平方关系答案A解析∵0<<，∴sin>0，∴＝＝sin.3．已知＝2，则sinθcosθ的值是()A.B．±C.D．－考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案C解析由题意得sinθ＋cosθ＝2(sinθ－cosθ)，∴(sinθ＋cosθ)2＝4(sinθ－cosθ)2，解得sinθcosθ＝.4．函数y＝＋的值域是()A．{0,2}B．{－2,0}C．{－2,0,2}D．{－2,2}考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案C解析y＝＋.当x为第一象限角时，y＝2；当x为第三象限角时，y＝－2；当x为第二、四象限角时，y＝0.5．(2020·四川成都树德中学期中)已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sinθcosθ的值为()A.B．－C.D．－考点同角三角函数的基本关系式题点同角三角函数的平方关系答案A解析由sin4θ＋cos4θ＝，得(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝，∴sin2θcos2θ＝，∵θ是第三象限角，∴sinθ<0，cosθ<0，∴sinθcosθ＝.6．若π<α<，则＋的化简结果为()A.B．－C.D．－考点运用基本关系式化简和证明题点运用基本关系式化简答案D解析原式＝＋＝＋＝，∵π<α<，∴原式＝－.7．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于()A．－B.C．－D.考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案D解析sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝＝，又tanθ＝2，故原式＝＝.二、填空题8．已知cosα＝－，且tanα>0，则＝.考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案－解析由cosα<0，tanα>0知α是第三象限角，且sinα＝－，故原式＝＝＝sinα(1＋sinα)＝×＝－.9．已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tanα＝.考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案3或－解析因为sinα＋2cosα＝，又sin2α＋cos2α＝1，联立解得或故tanα＝＝－或3.10．在△ABC中，sinA＝，则角A＝.考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案解析由题意知cosA>0，即A为锐角．将sinA＝两边平方得2sin2A＝3cosA.∴2cos2A＋3cosA－2＝0，解得cosA＝或cosA＝－2(舍去)，∴A＝.11．若tanα＋＝3，则sinαcosα＝，tan2α＋＝.考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案7解析∵tanα＋＝3，∴＋＝3，即＝3，∴sinαcosα＝，tan2α＋＝2－2tanα·＝9－2＝7.12．已知sinα－cosα＝－，则tanα＋＝.考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值解tanα＋＝＋＝＝.∵sinα－cosα＝－，∴1－2sinαcosα＝，∴sinαcosα＝－，∴＝－8，∴tanα＋＝－8.三、解答题13．已知＝，求下列各式的值．(1)；(2)1－4sinθcosθ＋2cos2θ.考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值解由已知＝，∴＝，解得tanθ＝2.(1)原式＝＝＝1.(2)原式＝sin2θ－4sinθcosθ＋3cos2θ＝＝＝－.四、探究与拓展14．若sinα＋cosα＝1，则sinnα＋cosnα(n∈Z)的值为．考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案1解析∵sinα＋cosα＝1，∴(sinα＋cosα)2＝1，又sin2α＋cos2α＝1，∴sinαcosα＝0，∴sinα＝0或cosα＝0.当sinα＝0时，cosα＝1，此时有sinnα＋cosnα＝1；当cosα＝0时，sinα＝1，也有sinnα＋cosnα＝1，∴sinnα＋cosnα＝1.15．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋2m＝0的两根为sinθ和cosθ(θ∈(0，π))，求：(1)m的值；(2)＋的值；(3)方程的两根及此时θ的值．考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值解(1)由根与系数的关系可知，sinθ＋cosθ＝，①sinθ·cosθ＝m.②将①式平方得1＋2sinθ·cosθ＝，所以sinθ·cosθ＝，代入②得m＝.(2)＋＝＋＝＝sinθ＋cosθ＝.(3)由(1)得m＝，所以原方程化为2x2－(＋1)x＋＝0，解得x1＝，x2＝.所以或又因为θ∈(0，π)，所以θ＝或.