公务员招聘考试复习资料-数量关系之容斥问题解题原理及方法 2011行测备考技巧.docx

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公务员招聘考试复习资料-数量关系之容斥问题解题原理及方法2011行测备考技巧一、知识点1、集合与元素：把一类事物的全体放在一起就形成一个集合。每个集合总是由一些成员组成的，集合的这些成员，叫做这个集合的元素。如：集合A={0，1，2，3，……，9}，其中0，1，2，…9为A的元素。2、并集：由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集，记作A B，记号""读作"并"。A B读作"A并B"，用图表示为图中阴影部分表示集合A，B的并集A B。例2某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人；语文得90分以上的有21人；两科中至少有一科在90分以上的有38人。问两科都在90分以上的有多少人？解：设A={数学成绩90分以上的学生}B={语文成绩90分以上的学生}那么，集合A B表示两科中至少有一科在90分以上的学生，由题意知，∣A∣=25，∣B∣=21，∣A B∣=38现要求两科均在90分以上的学生人数，即求∣A B∣，由容斥原理得∣A B∣=∣A∣+∣B∣-∣A B∣=25+21-38=8点评：解决本题首先要根据题意，设出集合A，B，并且会表示A B，A B，再利用容斥原理求解。例3某班同学中有39人打篮球，37人跑步，25人既打篮球又跑步，问全班参加篮球、跑步这两项体育活动的总人数是多少？解：设A={打篮球的同学}；B={跑步的同学}则A B={既打篮球又跑步的同学}A B={参加打篮球或跑步的同学}应用容斥原理∣A B∣=∣A∣+∣B∣-∣A B∣=39+37-25=51（人）例4求在不超过100的自然数中，不是5的倍数，也不是7的倍数有多少个？分析：这个问题与前几个例题看似不相同，不能直接运用容斥原理，要计算的是"既不是5的倍数，也不是7的倍数的数的个数。"但是，只要同学们仔细分析题意，这只需先算出"100以内的5的倍数或7的倍数的数的个数。"再从100中减去就行了。解：设A={100以内的5的倍数}B={100以内的7的倍数}A B={100以内的35的倍数}A B={100以内的5的倍数或7的倍数}则有∣A∣=20，∣B∣=14，∣A B∣=2由容斥原理一有：∣A B∣=∣A∣+∣B∣-∣A B∣=20+14-2=32因此，不是5的倍数，也不是7的倍数的数的个数是：100-32=68（个）点评：从以上的解答可体会出一种重要的解题思想：有些问题表面上看好象很不一样，但经过细心的推敲就会发现它们之间有着紧密的联系，应当善于将一个问题转化为另一个问题。例5某年级的课外学科小组分为数学、语文、外语三个小组，参加数学小组的有23人，参加语文小组的有27人，参加外语小组的有18人；同时参加数学、语文两个小组的有4人，同时参加数学、外语小组的有7人，同时参加语文、外语小组的有5人；三个小组都参加的有2人。问：这个年级参加课外学科小组共有多少人？解1：设A={数学小组的同学}，B={语文小组的同学}，C={外语小组的同学}，A B={数学、语文小组的同学}，A C={参加数学、外语小组的同学}，B C={参加语文、外语小组的同学}，A B C={三个小组都参加的同学}由题意知：∣A∣=23，∣B∣=27，∣C∣=18∣A B∣=4，∣A C∣=7，∣B C∣=5，∣A B C∣=2根据容斥原理二得：∣A B C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A B∣-∣A C-∣B C+A B C∣=23+27+18-（4+5+7）+2=54（人）解2：利用图示法逐个填写各区域所表示的集合的元素的个数，然后求出最后结果。例6学校教导处对100名同学进行调查，结果有58人喜欢看球赛，有38人喜欢看戏剧，有52人喜欢看电影。另外还知道，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧（但不喜欢看电影）的有6人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧（但不喜欢看球赛）的有4人，三种都喜欢的有12人。问有多少同学只喜欢看电影？有多少同学既喜欢看球赛又喜欢看电影（但不喜欢看戏剧）？（假定每人至少喜欢一项）解法1：画三个圆圈使它们两两相交，彼此分成7部分（如图）这三个圆圈分别表示三种不同爱好的同学的集合，由于三种都喜欢的有12人，把12填在三个圆圈的公共部分内（图中阴影部分），其它6部分填上题目中所给出的不同爱好的同学的人数（注意，有的部分的人数要经过简单的计算）其中设既喜欢看电影又喜欢看球赛的人数为，这样，全班同学人数就是这7部分人数的和，即16+4+6+（40-）+（36-）+12=100解得=14只喜欢看电影的人数为36-14=22。