广东省湛江市东海区中学高三数学理期末试卷含解析.docx

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广东省湛江市东海区中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知F1，F2是双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，且F2是抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，P是双曲线C1与抛物线C2在第一象限内的交点，线段PF2的中点为M，且|OM|=|F1F2|，其中O为坐标原点，则双曲线C1的离心率是（）A．2+B．1+C．2+D．1+参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】设P在抛物线准线的射影为A，在直角△F1AP中．利用勾股定理，结合双曲线、抛物线的定义，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：设点P（x0，y0），F2（c，0），设P在抛物线准线的射影为A，由双曲线定义可得|PF2|=|PF1|﹣2a，由抛物线的定义可得|PA|=x0+c=2c﹣2a，∴x0=c﹣2a，在直角△F1AP中，|F1A|2=8ac﹣4a2，∴y02=8ac﹣4a2，∴8ac﹣4a2=4c（c﹣2a），∴c2﹣4ac+a2=0，∴e2﹣4e+1=0，∵e＞1，∴e=2+，故选：A．2.若a，b都是实数，则“a－b＞0”是“a2－b2＞0”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件参考答案：D略3.一个人骑车以米/秒的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车,当他离汽车米时，交通信号灯由红变绿,汽车开始做变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同),若汽车在时刻的速度米/秒，那么此人（）A．可在秒内追上汽车B．不能追上汽车,但其间最近距离为16米C．不能追上汽车,但其间最近距离为米D．不能追上汽车,但其间最近距离为米参考答案：D试题分析：由题可知，汽车在时刻t的速度为v（t）=t米/秒，所以加速度M/S，由此判断为匀加速运动，再设人于x秒追上汽车，有，解得，方程无解，因此不能追上汽车，此一元二次方程，最小值为，故最近距离为7米。考点：二次函数的性质4.已知集合，，则为（）A．B.C.D.参考答案：A略5.若函数()，则是()A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为的偶函数参考答案：D略6.若是的对称轴，则的初相是（）A.B.C.D.参考答案：C略7.函数f（x）=lnx+x2﹣bx+a（b＞0，a∈R）的图象在点（b，f（b））处的切线斜率的最小值是（）A．2 B．C．1 D．2参考答案：D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x=b时的导数值，利用基本不等式求最值得答案．【解答】解：由f（x）=lnx+x2﹣bx+a，得f′（x）=+2x﹣b（x＞0），∴f′（b）=+b（b＞0）∴f′（b）=+b≥2，当且仅当b=，即b=1时上式取“=”，切线斜率的最小值是2．故选：D．8.已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2参考答案：D【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】根据集合的基本运算进行求解．【解答】解：A={x|x=3n+2，n∈N}={2，5，8，11，14，17，…}，则A∩B={8，14}，故集合A∩B中元素的个数为2个，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．9.二项式的展开式中有理项共有（）A．1项B．2项C．3项D．4项参考答案：B略10.若,则函数的两个零点分别位于区间()A.和内B.和内C.和内D.和内参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，网格纸上正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为．参考答案：12.对于定义域内的任意实数x，函数的值恒为正数，则实数a的取值范围是．参考答案：－7＜a≤0或a＝2 13.已知定义在R上的函数f(x)满足:①在[1,+∞)上为增函数;若时，成立，则实数a的取值范围为．参考答案：(0,2)根据题意，可知函数的图像关于直线对称，因为其在上为增函数，则在上是减函数，并且距离自变量离1越近，则函数值越小，由可得，，化简得，因为，所以，所以该不等式可以化为，即不等式组在上恒成立，从而有，解得，故答案为.14.已知函数f（x）=，那么不等式f（x）≥1的解集为．参考答案：（﹣∞，0]∪[3，+∞）【考点】函数单调性的性质．【分析】利用特殊函数的单调性，分步讨论【解答】解：∵函数在x＞0时为增函数，且故当[3，+∞）时，f（x）≥1∵函数在x≤0时为减函数，又知=1，故当（﹣∞，0]时，f（x）≥1故答案为（﹣∞，0]∪[3，+∞）15.（几何证明选做题）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF=CF=，AF：FB：BE=4：2：1，若CE与圆相切，则线段CE的长为___．参考答案：16.设函数，若的图象关于直线x=l对称，则a的值为_________．参考答案：2 17.给出下列四个命题：①半径为2，圆心角的弧度数为的扇形面积为②若α，β为锐角，，则③是函数y=sin（2x+φ）为偶函数的一个充分不必要条件④函数的一条对称轴是其中正确的命题是．参考答案：②③④考点：命题的真假判断与应用；两角和与差的正切函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：①利用弧度制的定义可得公式：s扇形=Lr，L=αr，求解即可；②tan（α+2β）=tan（α+β+β）==1，再判断α+2β＜180°，得出答案；③考查了周期函数，+2kπ都能使函数y=sin（2x+φ）为偶函数，④考查三角函数对称轴的特征：过余弦函数的最值点都是对称轴，把代入得：y=cosπ=﹣1，是对称轴，解答：解：①s扇形=Lr，L=αr∴s=1，故错误；②tan（α+2β）=tan（α+β+β）==1∵α，β为锐角，，∴α+2β＜180°∴，故②正确；③+2kπ都能使函数y=sin（2x+φ）为偶函数，故③正确；④把代入得：y=cosπ=﹣1，是对称轴，故正确；故答案为：②③④．点评：考查了弧度制的定义和三角函数的周期性，对称轴和和角公式，属于基础题型，应熟练掌握．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，又知．（１）求证：平面；（２）求二面角的大小．参考答案：解析：（１）取的中点，则，因为，所以，又平面，以为轴建立空间坐标系，则，，，，，，，，由，知，又，从而平面．…………………………………………6分（２）由，得．设平面的法向量为，，，所以，设，则．再设平面的法向量为，，，所以，设，则．根据法向量的方向，可知二面角的大小为．……………12分几何法（略）19.（12分）某公园有甲、乙两个相邻景点，原拟定甲景点内有2个A班同学和2个B班同学；乙景点内有2个A班同学和3个B班同学，后由于某种原因，甲、乙两景点各有一个同学交换景点观光。（1）求甲景点恰有2个A班同学的概率；（2）求甲景点A班同学数的分布列及数学期望。参考答案：17.解析：（1）甲、乙两景点各有一个同学交换景点后，甲景点恰有2个A班同学有两种情况①互换的是A班同学，此时甲景点恰有2个A班的同学的事件记为.②②互换的是B班同学，此时甲景点恰有2个A班的同学的事件记为..所以甲景点恰有2个A班的同学的概率.(2)甲景点内A班的同学数为，则，，所以。20.（12分）如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，AB=2EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直．（I）证明：OF∥平面BEC；（Ⅱ）证明：平面ADF⊥平面BCF．参考答案：见解析【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；转化思想；演绎法；空间位置关系与距离．【分析】（I）先证四边形OBEF为平行四边形，可得OF∥BE，即可证明OF∥平面BEC；（Ⅱ）由面面垂直可得AD⊥平面ABEF，从而得到AD⊥BF，由直径的性质得BF⊥AF，故得出BF⊥平面ADF，从而得出平面DAF⊥平面CBF．【解答】证明：（I）∵AB为圆O的直径，AB=2EF，AB∥EF，∴BO=EF，BO∥EF，∴四边形OBEF为平行四边形，∴OF∥BE，又BE?平面BEC，OF?平面BEC，∴OF∥平面BEC；（Ⅱ）∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AD⊥AB，AD?平面ABCD∴AD⊥平面ABEF，∵BF?平面ABE，∴AD⊥BF，∵AB是圆O的直径，∴BF⊥AF，又AD?平面ADF，AF?平面ADF，AD∩AF=A，∴BF⊥平面ADF，∵BF?平面BCF，∴平面DAF⊥平面CBF．【点评】本题考查了线面平行、垂直的判定，考查面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21.[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．【分析】（Ⅰ）当a=0时，由不等式可得|2x+1|≥|x|，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解此一元二次不等式求得原不等式的解集．（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令h（x）=|2x+1|﹣|x|，则h（x）=，求得h（x）的最小值，即可得到从而所求实数a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，由f（x）≥g（x）得|2x+1|≥|x|，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解得x≤﹣1或x≥﹣，∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[﹣，+∞）．（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令h（x）=|2x+1|﹣|x|，即h（x）=，故h（x）min=h（﹣）=﹣，故可得到所求实数a的范围为[﹣，+∞）．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，求函数的最值，属于中档题．22.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线的交点为Q，求线段PQ的长．参考答案：。