一数列的概念(20分钟35分)1.已知数列-1,,-,…,(-1)n,…,它的第5项的值为()A.B.-C.D.-【解析】选D.a5=(-1)5×=-.2.下列四个数中,哪一个是数列{n(n+1)}中的一项()A.380 B.391 C.352 D.23【解析】选A.由n(n+1)=380得n=19.可验证其他项不符合.3.数列,,,,…的第10项是()A.B.C.D.【解题指南】由数列,,,,…可得一个通项公式an=,即可得出.【解析】选C.由数列,,,,…可得一个通项公式an=,所以a10==.4.数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式是an等于()A.B.C.cosπD.cosπ【解析】选D.A项,展开可得数列为0,1,0,1,…不符合题意.B项,展开可得数列为0,-1,0,1,…不符合题意.C项,展开可得数列为-1,0,1,0,…不符合题意.D项,展开可得数列为0,1,0,-1,…符合题意.5.(2020·上海高一检测)已知数列满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*),则a5=.【解题指南】根据数列的首项及递推公式依次求出a2,a3,…a5即可.【解析】因为a1=1,an+1=2an+1,所以a2=2a1+1=3,a3=2a2+1=7,a4=2a3+1=15,a5=2a4+1=31,答案:31 6.写出下列数列的一个通项公式:(1)0,3,8,15,24,…(2)1,2,3,4,…(3)1,11,111,1 111,…【解析】(1)观察数列中的数,可以看到0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,…所以它的一个通项公式是an=n2-1.(2)此数列的整数部分1,2,3,4,…恰好是序号n,分数部分与序号n的关系为,故所求的数列的一个通项公式为an=n+=.(3)原数列的各项可变为×9,×99,×999,×9 999,…易知数列9,99,999,9 999,…的一个通项公式为an=10n-1.所以原数列的一个通项公式为an=(10n-1).(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.有下列一列数:,1,1,1,(),,,,,…,按照规律,括号中的数应为()A.B.C.D.【解析】选B.把数列变为,,,,(),,,,,…可得分子为连续的奇数,分母为连续的质数,故括号中的数应该为.【易错提醒】本题中不知道对第2,3,4项进行变形,使整个数列遵循同样的规律是解不出题的主要原因.2.数列2,5,11,20,32,x,…中的x等于()A.28 B.32 C.33 D.47【解析】选D.由5-2=3,11-5=6,20-11=9,32-20=12,则x-32=15,所以x=47.3.已知数列{an}满足an+2=an+1-an,若a1=1,a3=3,则a17=()A.-4 B.-3 C.3 D.4【解析】选A.因为数列满足an+2=an+1-an,故有an+3=an+2-an+1=-an+1=-an,所以an+6=-an+3=an,故数列是以6为周期的周期数列,所以a17=a5=-a2,又因为a1=1,a3=3,a3=a2-a1得a2=4,故a17=-4.4.若一个数列的前三项依次为6,18,54,则此数列的一个通项公式为()A.an=4n-2 B.an=2n+4 C.an=2×3n D.an=3×2n【解题指南】6=1×6=30×6,18=3×6=31×6,54=9×6=32×6,可以归纳出数列的通项公式.【解析】选C.依题意,6=1×6=30×6,18=3×6=31×6,54=9×6=32×6,所以此数列的一个通项公式为an=6×3n-1=2×3n.5.(2020·贵阳高一检测)数列,,,,…的递推公式可以是()A.an=B.an=C.an+1=an D.an+1=2an【解题指南】观察数列,数列从第二项起,可知每一项是前一项的,由此可以得到递推公式,得出结果.【解析】选C.由题意可知,数列从第二项起,后一项是前一项的,所以递推公式为an+1=an.二、填空题(每小题5分,共15分)6.正整数列满足a1=a,且对于n∈N*有an+1=,若a6=1,则a的所有可能取值为.【解析】因为正整数列满足a1=a,且对于n∈N*有an+1=,由a6=1,得a5=2或a5=0(舍),则a4=4,则a3=1,a2=2,a1=4或a3=8,a2=16,a1=5或a3=8,a2=16,a1=32,即a的所有可能取值为4,5或32.答案:4,5或32 7.将正偶数按下表排列第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468第2行16141210第3行18202224……2826则2 010在第行第列.【解析】由题意可知,2 010是第1 005个正偶数,因为1 005÷4=251……1,所以2 010在第252行.观察表格知,第偶数行的四个数字从第4列开始从右至左排列,所以2 010在第252行,第4列.答案:2524 8.如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案,会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图2中的直角三角形继续作下去,记OA1,OA2,…,OAn,…的长度构成数列{an},则此数列的通项公式为an=.【解析】因为OA1=1,OA2=,OA3=,…,OAn=,…,所以a1=1,a2=,a3=,…,an=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知数列的通项公式为an=.(1)求a10.(2)是否是这个数列中的项?(3)这个数列中有多少整数项?【解析】(1)a10==.(2)由an==,解得,n=100.即是这个数列中的项,且是第100项.(3)由an=为整数项可知,n=1,n=2,n=3,n=6,即数列中有4个整数项.10.写出数列的一个通项公式,使它的前几项分别为下列各数.(1)3,5,9,17,33;(2)4,-4,4,-4,4;(3)1,0,1,0;(4),,,.【解析】(1)每项都可以看成2的n次幂加1的形式,所以an=2n+1.(2)数列中的每一项的绝对值均等于4,只有各项的系数的符号正负相间,所以an=4(-1)n+1(答案不唯一).(3)原数列可改写为+,-,+,…,所以an=+(-1)n+1(答案不唯一).(4)可将分子、分母分别求其通项,再合并,分子通项为2n-1,分母通项为2n+1,所以an=.1.已知f(1)=2,f(n+1)=(n∈N+),则f(4)=.【解析】因为f(1)=2,f(n+1)=,所以f(2)==,f(3)===,f(4)===.答案:2.如图,下列四个图形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项,求这个数列的一个通项公式.【解析】4个图形中着色三角形的个数依次为1,3,9,27,都是3的指数幂,猜想数列的通项公式为an=3n-1.
