高考数学(理)一轮复习讲义3.3定积分与微积分基本定理.docx

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§3.3定积分与微积分全然定理最新考纲考情考向分析1.了解定积分的理论背景，了解定积分的全然思想，了解定积分的不雅念．2.了解微积分全然定理的含义.

运用定积分求破体图形的面积，定积分的计确实是高考调查的重点.1．定积分的不雅念设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上用分点a＝x0<x1<x2<…<xn＝b.把区间[a，b]分为n个小区间，其长度依次为Δxi＝xi＋1－xi，i＝0,1,2，…，n－1.记λ为这些小区间长度的最大年夜者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点ξi，作跟式In＝f(ξi)Δxi.当λ→0时，假设跟式的极限存在，我们把跟式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作ʃf(x)dx，即ʃf(x)dx＝f(ξi)Δxi.其中f(x)叫做被积函数，a叫积分上限，b叫积分上限．f(x)dx叫做被积式．现在称函数f(x)在区间[a，b]上可积．2．定积分的性质(1)ʃcf(x)dx＝c·ʃf(x)dx(c为常数)．(2)设f(x)，g(x)可积，那么ʃ[f(x)＋g(x)]dx＝ʃf(x)dx＋ʃg(x)dx.3．微积分全然定理假设F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，那么ʃf(x)dx＝F(b)－F(a)．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．不雅念方法微思索ʃf(x)dx是否总等于曲线f(x)跟直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积？提示不是．函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒有f(x)≥0时，定积分ʃf(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0跟曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．题组一思索辨析1．揣摸以下结论是否精确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，那么ʃf(x)dx＝ʃf(t)dt.(√)(2)假设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒正，那么ʃf(x)dx>0.(√)(3)假设ʃf(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形肯定在x轴下方．(×)(4)曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积是ʃ(x2－x)dx.(×)题组二讲义改编2．ʃdx＝________.答案1分析ʃdx＝ln(x－1)|＝lne－ln1＝1.3．ʃdx＝________.答案分析ʃdx表示由直线x＝0，x＝－1，y＝0以及曲线y＝所围成的图形的面积，∴ʃdx＝.4．汽车以v＝(3t＋2)m/s作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内通过的位移是______m.答案分析s＝ʃ(3t＋2)dt＝＝×4＋4－＝10－＝(m)．题组三易错自纠5.如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1订交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，那么该闭合图形的面积是()A．1 B.C.D．2答案B分析所求面积＝ʃ(－x2＋2x)dx＝＝－＋4＝.6.一物体作变速直线运动，其v－t曲线如以下列图，那么该物体在s～6s间的运动行程为____m.答案分析由题图可知，v(t)＝由变速直线运动的行程公式，可得s＝+ʃ2dt＋ʃdt==(m).因而物体在s～6s间的运动行程是m.7．＝________.答案2分析由题意得＝＝－(sin0－cos0)＝2.题型一定积分的打算运用微积分全然定理求以下定积分：(1)ʃ(x2＋2x＋1)dx；(2)ʃ(sinx－cosx)dx；(3)ʃ|1－x|dx；(4)ʃdx；(5)ʃe|x|dx；(6)假设ʃ(x2＋mx)dx＝0，求m.解(1)ʃ(x2＋2x＋1)dx＝ʃx2dx＋ʃ2xdx＋ʃ1dx＝＋x2|＋x|＝.(2)ʃ(sinx－cosx)dx＝ʃsinxdx－ʃcosxdx＝＝2.(3)ʃ|1－x|dx＝ʃ(1－x)dx＋ʃ(x－1)dx＝＝－0＋－＝1.(4)ʃdx＝ʃe2xdx＋ʃdx＝＝e4－e2＋ln2－ln1＝e4－e2＋ln2.(5)ʃe|x|dx＝ʃe－xdx＋ʃexdx＝＝－1＋e＋e－1＝2e－2.(6)∵ʃ(x2＋mx)dx＝＝＋＝0，∴m＝－.思想升华打算定积分的解题步伐(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的跟或差．(2)把定积分变形为求被积分函数为上述函数的定积分．(3)分不必求导公式的逆运算寻到一个呼应的原函数．(4)运用微积分全然定理求出各个定积分的值，然后求其代数跟．题型二定积分的几多何意思命题点1运用定积分的几多何意思打算定积分例1设f(x)＝那么ʃf(x)dx的值为________．答案＋分析按照定积分性质可得ʃf(x)dx＝ʃdx＋ʃ(x2－1)dx，按照定积分的几多何意思可知，ʃdx是以原点为圆心，以1为半径的圆面积的，∴ʃdx＝，∴ʃf(x)dx＝＋＝＋.命题点2求破体图形的面积例2(1)曲线y＝与直线y＝x－1，x＝1所围成的封闭图形的面积为________．答案2ln2－分析解方程组得那么曲线y＝与直线y＝x－1，x＝1所围成的封闭图形如以下列图，所求的面积S＝ʃdx＝＝(2ln2－2＋2)－＝2ln2－.(2)曲线y＝x2跟曲线在点(2,1)处的切线以及x轴围成的封闭图形的面积为________．答案分析设曲线y＝x2在点(2,1)处的切线为l，∵y′＝x，∴直线l的歪率k＝y′|x＝2＝1，∴直线l的方程为y－1＝x－2，即y＝x－1.当y＝0时，x－1＝0，即x＝1，所围成的封闭图形如以下列图，∴所求面积S＝ʃx2dx－×1×1＝－＝.思想升华(1)按照定积分的几多何意思可打算定积分．(2)运用定积分求破体图形面积的四个步伐①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大年夜抵图象；②借助图形判定出被积函数，求出交点坐标，判定积分的上、上限；③把曲边梯形的面积表示成假设干个定积分的跟；④打算定积分，写出答案．跟踪训练1(1)定积分ʃdx的值为________．答案分析由定积分的几多何意思知，ʃdx是由曲线y＝，直线x＝0，x＝3，y＝0围成的封闭图形的面积．故ʃdx＝＝.(2)(2018·赤峰模拟)曲线y＝2sinx(0≤x≤π)与直线y＝1围成的封闭图形的面积为________．答案2－分析令2sinx＝1，得sinx＝，当x∈[0，π]时，得x＝或x＝，因而所求面积S＝＝(－2cosx－x)＝题型三定积分在物理中的运用例3一辆汽车在高速公路下行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至进展．在现在期汽车接着行驶的距离是________m.答案4＋25ln5分析令v(t)＝0，得t＝4或t＝－(舍去)，∴汽车行驶距离s＝ʃdt＝＝28－24＋25ln5＝4＋25ln5(m)．思想升华定积分在物理中的两个运用(1)变速直线运动的位移：假设变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所通过的行程s＝ʃv(t)dt.(2)变力做功：一物体在变力F(x)的感染下，沿着与F(x)一样倾向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝ʃF(x)dx.跟踪训练2一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)感染下，沿与F(x)成30°倾向作直线运动，那么由x＝1运动到x＝2时，F(x)做的功为()A.J B.J C.J D．2J答案C分析ʃF(x)cos30°dx＝ʃ(5－x2)dx＝＝，因而F(x)做的功为J.1．ʃ(1－x)dx等于()A．1B．－1C.D．－答案C分析ʃ(1－x)dx＝＝.2．ʃ|sinx|dx等于()A．1B．2C．3D．4答案D分析ʃ|sinx|dx＝2ʃsinxdx＝2(－cosx)|＝2×(1＋1)＝4.3．(2018·丹东质检)ʃ(＋x)dx等于()A．πB.C．π＋1D．π－1答案B分析ʃ(＋x)dx＝ʃdx＋ʃxdx＝＝.应选B.4．(2018·大年夜连双基测试)等于()A．0 B.－C.－D.－1答案B分析＝＝－.5．(2018·大年夜连调研)假设ʃdx＝3＋ln2(a>1)，那么a的值是()A．2B．3C．4D．6答案A分析由题意知ʃdx＝(x2＋lnx)|＝a2＋lna－1＝3＋ln2，解得a＝2(舍负)．6．设f(x)＝(其中e为自然对数的底数)，那么ʃf(x)dx的值为()A.B.C.D.答案A分析ʃf(x)dx＝ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx＝ʃx2dx＋ʃdx＝＋lnx|＝＋1＝.应选A.7．设a＝ʃcosxdx，b＝ʃsinxdx，那么以下关系式成破的是()A．a>b B．a＋b<1 C．a<b D．a＋b＝1答案A分析∵(sinx)′＝cosx，∴a＝ʃcosxdx＝sinx|＝sin1.∵(－cosx)′＝sinx，∴b＝ʃsinxdx＝(－cosx)|＝1－cos1.∵sin1＋cos1>1，∴sin1>1－cos1，即a>b.应选A.8.已经清楚函数y＝f(x)的图象为如以下列图的折线ABC，那么ʃ[(x＋1)f(x)]dx等于()A．2 B．－2 C．1 D．－1答案D分析由题图易知f(x)＝因而ʃ[(x＋1)f(x)]dx＝ʃ(x＋1)(－x－1)dx＋ʃ(x＋1)(x－1)dx＝ʃ(－x2－2x－1)dx＋ʃ(x2－1)dx＝＋＝－－＝－1，应选D.9．ʃdx＝________.答案ln2＋分析ʃdx＝＝ln2＋－＝ln2＋.10．(2018·锦州调研)由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为________．答案分析所求面积S＝＝sin－＝.11．设a>0，假设曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，那么a＝________.答案分析封闭图形如以下列图，那么解得a＝.12．(2018·包头模拟)设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，假设ʃf(x)dx＝3f(x0)，x0>0，那么x0＝________.答案分析∵f(x)＝ax2＋b，ʃf(x)dx＝3f(x0)，∴ʃ(ax2＋b)dx＝＝9a＋3b，那么9a＋3b＝3ax＋3b，∴x＝3，又x0>0，∴x0＝.13.由曲线y＝x2跟曲线y＝围成的一个叶形图如以下列图，那么图中阴影部分的面积为()A.B.C.D.答案A分析由题意得，所求阴影部分的面积应选A.14．(2018·呼跟浩特质检)假设S1＝ʃx2dx，S2＝ʃdx，S3＝ʃexdx，那么S1，S2，S3的大小关系为()A．S1<S2<S3 B．S2<S1<S3 C．S2<S3<S1 D．S3<S2<S1答案B分析方法一S1＝＝－＝，S2＝lnx|＝ln2<lne＝1，S3＝ex|＝e2－e≈2.72－2.7＝4.59，因而S2<S1<S3.方法二S1，S2，S3分不表示曲线y＝x2，y＝，y＝ex与直线x＝1，x＝2及x轴围成的图形的面积，通过作图(图略)易知S2<S1<S3.15．假设函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2xf′(1)，那么ʃf(x)dx＝________.答案－分析由于f(x)＝x2＋2xf′(1)，因而f′(x)＝2x＋2f′(1)．因而f′(1)＝2＋2f′(1)，解得f′(1)＝－2，因而f(x)＝x2－4x.故ʃf(x)dx＝ʃ(x2－4x)dx＝＝－.16．在破体直角坐标系xOy中，将直线y＝x与直线x＝1及x轴所围成的图形绕x轴改变一周掉掉落一个圆锥，圆锥的体积V圆锥＝ʃπx2dx＝＝.据此类比：将曲线y＝2lnx与直线y＝2及x轴、y轴所围成的图形绕y轴改变一周掉掉落一个改变体，该改变体的体积V＝________.答案π(e2－1)分析类比已经清楚结论，将曲线y＝2lnx与直线y＝2及x轴、y轴所围成的图形绕y轴改变一周掉掉落改变体的体积应为肯定积分，被积函数为，积分变量为y，积分区间为[0,2]，即V＝ʃπeydy＝πey|＝π(e2－1)．。