届高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第讲圆的方程配套练习文北师大版.doc

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第3讲圆的方程一、选择题1．点A(1，－1)，B(－1,1)，那么以线段AB为直径的圆的方程是()A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4解析AB的中点坐标为(0,0)，|AB|＝＝2，∴圆的方程为x2＋y2＝2.答案A 2．(2022·合肥模拟)圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1 C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1解析圆的圆心C(1,2)关于直线y＝x对称的点为C′(2,1)，∴圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，应选A.答案A 3．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，那么实数a的取值范围是()A．(－∞，－2)∪B.C．(－2,0)D.解析方程为2＋(y＋a)2＝1－a－表示圆，那么1－a－＞0，解得－2＜a＜.答案D 4．(2022·淄博调研)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1解析设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，那么解得因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.答案A 5．(2022·全国Ⅱ卷)三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，那么△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.B.C.D.解析由点B(0，)，C(2，)，得线段BC的垂直平分线方程为x＝1，①由点A(1,0)，B(0，)，得线段AB的垂直平分线方程为y－＝，②联立①②，解得△ABC外接圆的圆心坐标为，其到原点的距离为＝.应选B.答案B二、填空题6．假设圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，那么圆C的方程是________．解析设圆心C坐标为(2，b)(b<0)，那么|b|＋1＝.解得b＝－，半径r＝|b|＋1＝，故圆C的方程为：(x－2)2＋2＝.答案(x－2)2＋2＝7．(2022·广州模拟)圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为________．解析圆C的方程可化为2＋(y＋1)2＝－k2＋1.所以，当k＝0时圆C的面积最大．答案(0，－1)8．点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．解析过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)，∵kCM＝＝1，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.答案x＋y－1＝0三、解答题9．三条直线l1：x－2y＝0，l2：y＋1＝0，l3：2x＋y－1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程．解l2平行于x轴，l1与l3互相垂直．三交点A，B，C连线构成直角三角形，经过A，B，C三点的圆就是以AB为直径的圆．解方程组得所以点A的坐标是(－2，－1)．解方程组得所以点B的坐标是(1，－1)．线段AB的中点坐标是，又|AB|＝＝3.故所求圆的标准方程是2＋(y＋1)2＝.10．在△ABC中，|BC|＝2，且＝m，求点A的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．解如图，以直线BC为x轴、线段BC的中点为原点，建立直角坐标系．那么有B(－1,0)，C(1,0)，设点A的坐标为(x，y)．由＝m，得＝m.整理得(m2－1)x2＋(m2－1)y2－2(m2＋1)x＋(m2－1)＝0.①当m2＝1时，m＝1，方程是x＝0，轨迹是y轴．当m2≠1时，对①式配方，得2＋y2＝.所以，点A的轨迹是以为圆心，为半径的圆(除去圆与BC的交点)．11．假设直线ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，那么＋的最小值为()A．1 B．5 C．4 D．3＋2解析由题意知圆心C(2,1)在直线ax＋2by－2＝0上，∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1，∴＋＝(＋)(a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即b＝2－，a＝－1时，等号成立．∴＋的最小值为3＋2.答案D 12．圆心(a，b)(a＜0，b＜0)在直线y＝2x＋1上的圆，其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径，在y轴上截得的弦长为2，那么圆的方程为()A．(x＋2)2＋(y＋3)2＝9 B．(x＋3)2＋(y＋5)2＝25 C．(x＋6)2＋2＝D.2＋2＝解析由圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径知，所求圆与x轴相切，由题意得圆的半径为|b|，那么圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝b2.由圆心在直线y＝2x＋1上，得b＝2a＋1①，由此圆在y轴上截得的弦长为2，得b2－a2＝5②，由①②得或(舍去)．所以所求圆的方程为(x＋2)2＋(y＋3)2＝9.应选A.答案A 13．圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，那么d的最大值为________．解析设P(x0，y0)，d＝|PB|2＋|PA|2＝x＋(y0＋1)2＋x＋(y0－1)2＝2(x＋y)＋2.x＋y为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x＋y)max＝(5＋1)2＝36，∴dmax＝74.答案74 14．(2022·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程；(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围．解(1)圆M的方程化为标准形式为(x－6)2＋(y－7)2＝25，圆心M(6,7)，半径r＝5，由题意，设圆N的方程为(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b＞0)，且＝b＋5.解得b＝1，∴圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.(2)∵kOA＝2，∴可设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0.又|BC|＝|OA|＝＝2，由题意，圆M的圆心M(6,7)到直线l的距离为d＝＝＝2，即＝2，解得m＝5或m＝－15.∴直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.(3)由＋＝，那么四边形AQPT为平行四边形，又∵P，Q为圆M上的两点，∴|PQ|≤2r＝10.∴|TA|＝|PQ|≤10，即≤10，解得2－2≤t≤2＋2.故所求t的范围为[2－2，2＋2].