2020年山西省太原市东山煤矿中学高三数学文上学期期末试题含解析.docx

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2020年山西省太原市东山煤矿中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数是（）A.最小正周期为2π的奇函数B.最小正周期为2π的偶函数C.最小正周期为π的奇函数D.最小正周期为π的偶函数参考答案：D 2.点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是A．直线上的所有点都是“点”B．直线上仅有有限个点是“点”C．直线上的所有点都不是“点”D．直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”参考答案：A 3.已知集合，则（）A．B．C．D．参考答案：C 4.点为圆内弦的中点，则直线的方程为（）A．B.C.D.参考答案：A 5.将正三棱柱截去三个角(如右图所示A、B、C分别是△GHI三边的中点)得到的几何体如下图，则该几何体按右图所示方向的左视图(或称左视图)为参考答案：A截前的左视图是一个矩形，截后改变的只是B，C，F方向上的6.执行下图的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的=....参考答案：D 7.函数的图像大致为().参考答案：A 8.函数f（x）=sin（）（其中．（>0，）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin的图象，则只要将f（x）的图象A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位参考答案：A 9.执行如图所示的程序框图，则输出的值为A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：.考点：1、程序框图与算法；10.若实数a，b满足，且ab=0，则称a与b互补，记=0是a是b互补的A．充分而不必要条件B．必要而不充分案件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.从正方体的八个顶点中任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何体（或平面图形）的4个顶点，这些几何体（或平面图形）是①③④（写出所有正确的结论的编号）________①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．参考答案：①③④⑤12.已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,-3)，动点P(x，y)满足不等式0≤·≤1,0≤·≤1，则z＝·的最大值为____________．参考答案：2 13.如图，在△ABC中，sin=，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD=，则BC=．参考答案：3考点：余弦定理的应用．专题：综合题；解三角形．分析：先求出cos∠ABC=，设BC=a，AC=3b，则由余弦定理可得；由∠ADB与∠CDB互补，可得3b2﹣a2=﹣6，即可得出结论．解答：解：∵sin=，∴cos∠ABC=，在△ABC中，设BC=a，AC=3b，则由余弦定理可得①，∵∠ADB与∠CDB互补，∴cos∠ADB=﹣cos∠CDB，∴，∴3b2﹣a2=﹣6②解①②得a=3，b=1，∴BC=3．故答案为：3．点评：本题考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．14.已知则的夹角大小为．参考答案：60°15.已知复数（为虚数单位），复数，则一个以为根的实系数一元二次方程是________.参考答案：16.若，则=.参考答案：，即.，；17.将一条长为8cm的线段分成长度为正整数的三段，这三段能构成三角形的概率=．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】若分成的三条线段的长度均为正整数，列出三条线段的长度的所有可能种情况，找出能构成三角形，得到概率．【解答】解：若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为1、1、6；1、2、5；1、3、4；2、2、4；3、3、2；一共有5种等可能情况，能够构成三角形的只有3、3、2；能构成三角形的概率P=．故答案为：．【点评】本题考查古典概型，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知.(1)若在时有极值，求的值；(2)若函数y=f(x)的图象与函数的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围；参考答案：解析：（1）由题知…………（2分），在为减函数，在为增函数符号题意。…………（3分）（2）即方程：恰有三个不同的解：即当时，的图象与直线恰有三个不同的交点，由（1）知在为增函数，在为减函数，在为增函数，又，，且…………（8分）19.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）求四棱锥B﹣AA1C1D的体积．参考答案：（1）证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点．∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1．∵OD?平面BC1D，AB1?平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D．（2）∵AA1⊥平面ABC，AA1?平面AA1C1C，∴平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C=AC．作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C1C，∵AB=BB1=2，BC=3，在Rt△ABC中，，，）∴四棱锥B﹣AA1C1D的体积==3．∴四棱锥B﹣AA1C1D的体积为3．略20.某市的老城区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，老城区改造规划建筑用地区域可近似为半径是R的圆面．该圆的内接四边形ABCD是原老城区建筑用地，测量可知边界AB＝AD＝4万米，BC＝6万米，CD＝2万米．（I）请计算原老城区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值；（II）因地理条件的限制，边界AD、CD不能变更，而边界AB、BC可以调整．为了提高老城区改造建筑用地的利用率，请在上设计一点P，使得老城区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求出其最大值．参考答案：解：(1)因为四边形ABCD内接于圆，所以∠ABC＋∠ADC＝180°，连接AC，由余弦定理：AC2＝42＋62－2×4×6cos∠ABC＝42＋22－2×2×4cos∠ADC.∴cos∠ABC＝.∵∠ABC∈(0，π)，∴∠ABC＝60°.则S四边形ABCD＝×4×6×sin60°＋×2×4×sin120°＝8(万平方米)．在△ABC中，由余弦定理：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝16＋36－2×4×6×＝28，故AC＝2.由正弦定理得，2R＝＝＝，∴R＝(万米)．......6分(2)S四边形APCD＝S△ADC＋S△APC，S△ADC＝AD·CD·sin120°＝2.设AP＝x，CP＝y，则S△APC＝xy·sin60°＝xy.又由余弦定理：AC2＝x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝28.∴x2＋y2－xy≥2xy－xy＝xy.∴xy≤28，当且仅当x＝y时取等号．∴S四边形APCD＝2＋xy≤2＋×28＝9，即当x＝y时面积最大，其最大面积为9万平方米．......12分21.（本小题满分12分）已知等差数列的前项和满足,.(1)求的通项公式;(2)求数列的前项和.参考答案：(1)设{a}的公差为d,则S=.由已知可得————4分————6分(2)由(I)知————8分从而数列.12分22.已知函数（1）讨论f(x)的单调性；（2）若方程有两个不相等的实数根，求证：参考答案：（1）时，在上是增函数，时，在和上是增函数,在上是减函数（2）证明见解析【分析】（1）对求导，得到，根据的，对进行分类，分为，和；（2）令，先说明当时，不符合题意，再研究当时，利用导数得到最大值，根据有两个零点，得到，易得，再利用导数证明时，，从而确定范围为，再构造函数，利用导数得到在上单调递减，从而得以证明.【详解】（1）易知的定义域为，且，时，在上恒正，所以在上单调递增，时，对于，①当，即时，，在上是增函数；②当，即时，有两个正根，所以，，单调递增，，，单调递减综上，时，在上是增函数，时，在和上是增函数,在上是减函数（2）令，方程有两个不相等的实根函数有两个零点，由定义域为且①当时，恒成立，在上单调递增，则至多有一个零点，不符合题意；②当时，得，在上单调递增，在上单调递减要使有两个零点，则，由解得此时易知当时，，令，所以，时，在为增函数，在增函数，，所以，即所以函数在与各存在一个零点综上所述，.∴证明证明时，成立设，则易知在上递减，，在上单调递减，所以.【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性，利用导数求函数的极值、最值，函数与方程，零点存在定理，属于难题.