届高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量第讲简单几何体的表面积与体积配套练习文北师大版.doc

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第2讲简单几何体的外表积与体积一、选择题1．(2022·全国Ⅰ卷)?九章算术?是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？〞其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？〞1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛解析设米堆的底面半径为r尺，那么r＝8，所以r＝.所以米堆的体积为V＝×π·r2·5＝·2·5≈(立方尺)．故堆放的米约有÷1.62≈22(斛)．答案B 2.某几何体的三视图如下图，且该几何体的体积是3，那么主视图中的x的值是()A．2 B.C.D．3解析由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S底＝(1＋2)×2＝3.∴V＝x·3＝3，解得x＝3.答案D 3．(2022·合肥模拟)一个四面体的三视图如下图，那么该四面体的外表积是()A．1＋B．2＋C．1＋2 D．2解析四面体的直观图如下图．侧面SAC⊥底面ABC，且△SAC与△ABC均为腰长是的等腰直角三角形，SA＝SC＝AB＝BC＝，AC＝2.设AC的中点为O，连接SO，BO，那么SO⊥AC，又SO平面SAC，平面SAC∩平面ABC＝AC，∴SO⊥平面ABC，又BO平面ABC，∴SO⊥BO.又OS＝OB＝1，∴SB＝，故△SAB与△SBC均是边长为的正三角形，故该四面体的外表积为2×××＋2××()2＝2＋.答案B 4．(2022·全国Ⅱ卷)A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．假设三棱锥O－ABC体积的最大值为36，那么球O的外表积为()A．36πB．64πC．144πD．256π解析因为△AOB的面积为定值，所以当OC垂直于平面AOB时，三棱锥O－ABC的体积取得最大值．由×R2×R＝36，得R＝6.从而球O的外表积S＝4πR2＝144π.答案C 5.(2022·宝鸡模拟)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为平行四边形，NB＝2PN，那么三棱锥N－PAC与三棱锥D－PAC的体积比为()A．1∶2 B．1∶8 C．1∶6 D．1∶3解析设点P，N在平面ABCD内的投影分别为点P′，N′，那么PP′⊥平面ABCD，NN′⊥平面ABCD，所以PP′∥NN′，那么在△BPP′中，由BN＝2PN得＝.V三棱锥N－PAC＝V三棱锥P－ABC－V三棱锥N－ABC＝S△ABC·PP′－S△ABC·NN′＝S△ABC·(PP′－NN′)＝S△ABC·PP′＝S△ABC·PP′，V三棱锥D－PAC＝V三棱锥P－ACD＝S△ACD·PP′，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ABC＝S△ACD，∴＝.应选D.答案D二、填空题6．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．假设将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，那么新的底面半径为________．解析设新的底面半径为r，由题意得πr2·4＋πr2·8＝π×52×4＋π×22×8，解得r＝.答案7．底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，那么该球的体积为________．解析依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R，那么2R＝＝2，解得R＝1，所以V＝R3＝.答案π8．(2022·郑州质检)某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为________．解析由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为2的圆柱和底面半径为1，高为1的半圆锥拼成的组合体．∴体积V＝π×12×2＋×π×12×1＝π.答案π三、解答题9．一个几何体的三视图如下图.(1)求此几何体的外表积；(2)如果点P，Q在主视图中所示位置，P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体外表上，从P点到Q点的最短路径的长．解(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其外表积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．S圆锥侧＝(2πa)·(a)＝πa2，S圆柱侧＝(2πa)·(2a)＝4πa2，S圆柱底＝πa2，所以S表＝πa2＋4πa2＋πa2＝(＋5)πa2.(2)沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面，如图．那么PQ＝＝＝a，所以从P点到Q点在侧面上的最短路径的长为a.10．(2022·全国Ⅱ卷)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两局部体积的比值．解(1)交线围成的正方形EHGF如下图．(2)如图，作EM⊥AB，垂足为M，那么AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6.故S四边形A1EHA＝×(4＋10)×8＝56，S四边形EB1BH＝×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为.11．假设某一几何体的主视图与左视图均为边长是1的正方形，且其体积为，那么该几何体的俯视图可以是()解析假设俯视图为A，那么该几何体为正方体，其体积为1，不满足条件．假设俯视图为B，那么该几何体为圆柱，其体积为π2×1＝，不满足条件．假设俯视图为C，那么该几何体为三棱柱，其体积为×1×1×1＝，满足条件．假设俯视图为D，那么该几何体为圆柱的，体积为π×1＝，不满足条件．答案C 12．(2022·全国Ⅰ卷)圆柱被一个平面截去一局部后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的主视图和俯视图如下图．假设该几何体的外表积为16＋20π，那么r＝()A．1 B．2 C．4 D．8解析该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，如图．那么外表积S＝×4πr2＋πr2＋(2r)2＋πr·2r＝(5π＋4)r2，又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，解得r＝2.答案B 13.圆锥被一个平面截去一局部，剩余局部再被另一个平面截去一局部后，与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的主视图和俯视图如下图，假设r＝1，那么该几何体的体积为________．解析根据三视图中的主视图和俯视图知，该几何体是由一个半径r＝1的半球，一个底面半径r＝1、高2r＝2的圆锥组成的，那么其体积为V＝πr3×＋πr2×2r×＝.答案14．四面体ABCD及其三视图如下图，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.(1)求四面体ABCD的体积；(2)证明：四边形EFGH是矩形．(1)解由该四面体的三视图可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，又BD∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC，∴四面体ABCD的体积V＝××2×2×1＝.(2)证明∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.同理，EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形．又∵AD⊥平面BDC，BC平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形.