1.4生活中的优化问题举例一、课前准备1．课时目标（1）了解函数极值和最值的基本应用.（2）会用导数解决某些实际问题.二、基础预探利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：(1)分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的，写出实际问题中变量之间的，根据实际意义确定定义域.(2)求函数的导数f¢(x)，解方程f¢(x)＝0,求定义域内的根，确定.(3)比较函数在和极值点处的函数值，获得所求的最大（小）值.(4)还原到原中作答.三、学习引领1.常见的优化问题主要有几何方面的应用，物理方面的应用，经济方面的问题等.例如，使经营利润最大、生产效率最高，或使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题.导数是解决这类问题的基本方法之一.2.解决优化问题的方法首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．解决优化问题的基本程序是：读题建模求解反馈（文字语言）（数学语言）（导数应用）（检验作答）3.需要注意的几个问题(1)目标函数的定义域往往受实际问题的具体意义约束,所以在建立目标函数时,需要注意定义域的确定,并注意定义域对函数最值的影响.(2)如果实际问题中的目标函数在定义域上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较,但要注意说明极值点的唯一性.四、典例导析题型一几何图形中的优化问题例1请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=cm（1）某广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问应取何值？（2）某广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.思路导析:明确平面图形中切割的规则,即弄清平面图形中的位置关系和数量关系,确定包装盒中位置关系和数量关系以及与平面图形的联系.问题（1）中,用底面边长把包装盒侧面积表示出来,观察其特点,用一元二次函数最值解决问题.问题(2)中,建立目标函数,依据目标函数的特征,通过求导,研究函数性质,求相应最值.解：设该盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），由已知得（1）由题意包装盒侧面积所以当时，S取得最大值.（2）由题意知,.由得（舍）或.由于当时，,所以当时，V取得极大值，而且为唯一极大值,故也是最大值,此时该盒的高与底面边长的比值为规律总结：几何图形中的优化问题,包括平面几何和空间几何体的问题,主要是对面积和体积最大或最小的优化设计.构造函数关系式,需要依据平面几何知识或空间几何特征,借助相应的公式进行.上述题中,两个目标函数皆未给出,因此建立两个函数关系式是关键之一.建立函数关系式需要充分利用正四棱柱的几何特征,从而选定侧面积和体积的计算公式,.利用空间图形与平面图形数量关系的联系,进行具体计算.因为实际问题往往会有更为具体的定义域,所以在求函数最值时,要充分注意函数定义域的影响.正确求导,并研究函数的性质,是解决该最值问题关键之二.变式训练1今有一块边长的正三角形的厚纸，从这块厚纸的三个角，按右图那样切下三个全等的四边形后，做成一个无盖的盒子，要使这个盒子容积最大，值应为多少？题型二费用最省问题例3某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度,长度单位：米）,其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元.（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的.思路导析:该几何体由一个圆柱和两个半球组成,而且只涉及表面积问题,所以将圆柱的侧面积和两个半球的表面积,分别用半径表示,再表示建造费用,建立函数关系式.解:（Ⅰ）因为容器的体积为立方米，所以,解得,所以圆柱的侧面积为=,两端两个半球的表面积之和为,所以+,定义域为(0,).（Ⅱ）因为+=,所以令得:;令得:,所以米时,该容器的建造费用最小.规律总结:由于所得函数解析式为非基本初等函数,所以要求其最小值,需要利用函数的导数,先求函数的极值,再判断函数的最值.因为实际问题往往会有更为具体的定义域,所以在求函数最值时,要充分注意函数定义域的影响.变式训练2设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省?题型三利润最大问题例3某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中，a为常数,已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.（I）求a的值;（II）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.思路导析:问题（I）,由题设中的具体情形,代入函数解析式,解方程,求a的值.问题（II）,用x表示该商场每日销售该商品所获得的利润,得函数关系式,对所得函数关系式求导,讨论极值和最值的情况,最后确定利润最大的时刻.解:（I）因为当时,,代入得,.（II）由（I）知,该商品每日的销售量为,所以商场每日销售该商品所获得的利润为,.所以,.于是,当变化时,的变化情况如下表:（3,4）4(4,6)＋0－单调递增极大值42单调递减由上表可知,是函数在上的极大值点,而且为唯一极大值点,即是最大值点,所以当时,函数取得最大值,最大值为42.答:当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.规律总结:在上述问题中,首先需要建立利润的数学模型,即写出利润关于销售价格的函数关系式.由于所求得的函数解析式为非基本初等函数,所以为了求其最大值,需要利用函数的导数,先求函数的极值,再判断函数的最值情形.因为实际问题往往会有更为具体的定义域,所以在求函数最值时,要充分注意函数定义域的影响.变式训练3甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系，.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格）.（1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002t2（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？五、随堂练习1.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积为最大,则高为()cm.A.B.C.D.2.以长为10的线段为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为().A.10 B.15 C.25 D.50 3.若一球的半径为,作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为().A.B.C.D.4.要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m，长和宽的和为20m，则仓库容积的最大值为.5.统计结果表明,某种新型号的节能汽车在匀速行驶中每小时的耗油量(升),关于行驶速度(千米/小时)的函数解析式可以表示为：，已知甲乙两地相距千米.当汽车以(千米/小时)速度行驶时,从甲地到乙地耗油最少?6.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？六、课后作业1.设底为等边三角形的直棱柱的体积为,那么其表面积最小时,底面边长为()A.B.C.D.2.制作一个圆柱形锅炉,容积为两个底面的材料每单位面积的价格为元，侧面的材料每单位面积价格为元,当造价最低时,锅炉底面半径与锅炉高的比是（）A.B.C.D.3.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是,且用料最省则圆柱的底面半径为.4.去年初,某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品．若该商品零售价定为元，则销售量(件)与零售价(元)有如下关系．那么该商品零售价为元时,毛利润最大?(毛利润=销售收入一进货支出)5.现有10000元资金可用于广告宣传或产品开发．当投入广告宣传和产品开发的资金分别为和时，得到的回报是．求投到产品开发的资金应为多少时可以得到最大的回报.6．如图所示，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记，梯形面积为S．（1）求面积S以为自变量的函数式,并写出其定义域;（2）求面积S的最大值．。
