2019版高考数学大一轮复习-课时限时检测(二十四)正弦定理、余弦定理的应用举例.doc

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2019版高考数学大一轮复习课时限时检测（二十四）正弦定理、余弦定理的应用举例一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知A、B两地的距离为10 km，B、C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为()A．10 km B．10 km C．10 km D.10 km【答案】D 2．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为()图3－8－10 A．10 m B.20 m C．20 m D.40 m【答案】D 3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时()A．5海里B.5海里C．10海里D.10海里【答案】C 4．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是()图3－8－11 A．10海里B.10海里C．20海里D.20海里【答案】A 5．如图3－8－12所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救，则sinθ的值为()图3－8－12 A.B.C.D.【答案】A 6．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 m(如图3－8－13所示)，则旗杆的高度为()图3－8－13 A．10 m B.30 m C．10 m D.10 m【答案】B二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°处，A，B两船间的距离为3 km，则B船到灯塔C的距离为km.【答案】－1 8．如图3－8－14，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝.图3－8－14【答案】15 9．如图3－8－15所示，已知树顶A离地面米，树上另一点B离地面米，某人在离地面米的C处看此树，则该人离此树米时，看A，B的视角最大．图3－8－15【答案】6三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)如图3－8－16，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C处．图3－8－16(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．【解】(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12海里，AC＝10×2＝20(海里)，∠BCA＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC＝28(海里)．所以渔船甲的速度为＝14(海里/时)．(2)由(1)知BC＝28海里，在△ABC中，∠BCA＝α，由正弦定理得＝.即sinα＝＝＝.11．(12分)某单位设计了一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图3－8－17所示，为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD再用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB＝BC图3－8－17(1)设AB＝x米，cos A＝f(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范围；(2)求四边形ABCD面积的最大值．【解】(1)在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos A.同理，在△CBD中，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos C因为A和C互补，所以cos A＝－cos C，所以AB2＋AD2－2AB·AD·cos A＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos C＝BC2＋CD2＋2BC·CD·cos A.即x2＋(9－x)2－2x(9－x)cos A＝x2＋(5－x)2＋2x(5－x)cos A，解得cos A＝，即f(x)＝，x∈(2,5)．(2)四边形ABCD的面积为S＝(AB·AD＋BC·CD)sin A＝[x(5－x)＋x(9－x)]＝x(7－x)＝＝.记g(x)＝(x2－4)(x2－14x＋49)，x∈(2,5)，则g′(x)＝2x(x2－14x＋49)＋(x2－4)(2x－14)＝2(x－7)·(2x2－7x－4)．令g′(x)＝0，解得x＝4(x＝7或x＝－舍去)．易知函数g(x)在(2,4)上单调递增，在(4,5)上单调递减．因此g(x)的最大值为g(4)＝12×9＝108.所以S的最大值为6，即四边形ABCD的面积的最大值为6 m2.12．(13分)某城市有一块不规则的绿地如图3－8－18所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝14，BC＝10，AC＝16，∠C＝∠D.图3－8－18(1)求AB的长度；(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建设费用最低，请说明理由．【解】(1)在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝162＋102－2×16×10cos C，①在△ABD中，由余弦定理及∠C＝∠D整理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos D＝142＋142－2·142cos C，②由①②得：142＋142－2×142cos C＝162＋102－2×16×10cos C，整理可得，cos C＝，又∠C为三角形的内角，所以C＝60°，又∠C＝∠D，AD＝BD，所以△ABD是等边三角形，故AB＝14，即A、B两点的距离为14.(2)小李的设计符合要求．理由如下：S△ABD＝AD·BDsin D，S△ABC＝AC·BCsin C，因为AD·BD＞AC·BC，所以S△ABD＞S△ABC，由已知建造费用与用地面积成正比，故选择△ABC建造环境标志费用较低．即小李的设计符合要求．。