高中数学生全国统一考试福建省数学考试说明论文.doc

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招生全国统一考试福建省数学考试说明(理科课程标准实验版)Ⅰ．命题指导思想普通高等学校招生全国统一考试，是由合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试．2020年福建省高考数学（理科）的命题应以教育部颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》、《2020年普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准实验版·理科数学）》、《福建省普通高中新课程教学要求（数学）》为指导，以《2020年普通高等学校招生全国统一考试福建省数学考试说明》(理科课程标准实验版)为依据，并结合我省普通高中数学教学的实际进行．命题应有利于高校科学公正地选拔人才，有利于推进普通高中新课程，实施素质教育．命题应体现《普通高中数学课程标准（实验）》的理念，体现对知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等目标的要求，坚持能力立意，注重考查数学基础知识、基本技能和基本思想，着重考查考生的数学素养和对数学本质的理解水平，以及进入高等学校继续学习的潜能．命题应遵循以下命题原则：一、贯彻新课程理念，促进素质教育的有效实施命题要立足于《普通高中数学课程标准（实验）》，体现普通高中新课程的理念，准确理解和把握新课程标准的内涵与要求，考查对基础知识、基本技能的掌握程度和运用所学知识分析问题、解决问题的能力．重视数学素养的考查，关注科学技术和社会经济的发展，注重时代性和实践性，有利于高校科学公正地选拔人才；有利于激发学生学习数学的兴趣，促进素质教育的实施；有利于促进学生学习方式的转变，发挥高考命题对中学数学教学的正确导向作用，扎实推进我省普通高中新课程的顺利实施．二、强化基础知识，注重试卷的整体设计考查考生对基础知识的掌握程度，是数学高考的重要目标之一．对数学基础知识的考查，要求既全面，又突出重点．对于支撑数学知识体系的主干知识——函数与导数、数列、三角函数、立体几何、解析几何、概率与统计，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体．对数学知识的考查要求全面，但不刻意追求知识点的百分比、知识内容的覆盖面，而是强调试题的综合性，注重学科的内在联系和知识的综合．高考命题应从学科整体意义的高度去考虑问题，强调知识之间的交叉、渗透和综合，体现综合性，以检验考生是否具备一个有序的网络化的知识体系，并能从中提取相关的信息，有效、灵活地解决问题．命题应继承和发扬我省自行命题的成果和经验，在保持整体稳定的前提下，适度创新，注重试题的多样性和选择性．命题应科学设置探究性和开放性试题，体现对不同层次的考生的选拔．命题应合理分配必考、选考内容的比例，既考查考生的共同基础，又满足不同考生的选择需求．对选考内容的命题应做到各选考专题的试题分值相等，难度基本等值．试卷应具有较高的信度、效度和必要的区分度以及适当的难度．鉴于我省新课程教材使用的多样性，命题务必充分体现公平性，试题必须适用于不同版本的教材．试题可以是取材于教材或课外参考资料中经过实质性改造后的问题，但切忌照搬任何教材或课外参考资料的原题或未经实质性改造过的题目．所设置的试题，特别是区分学生学习能力的把关试题应当关注解法的多样性，充分尊重学生在学习数学方面的差异，力求使得不同思维方式、思维层次的学生都能得到科学的评价．整份试卷的设计应合理，注重整体效应．三、淡化特殊技巧，强调数学思想和方法数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中．因此，对于数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，通过对数学知识的考查，反映考生对数学思想、方法的理解和掌握程度．考查时，要从学科整体意义和思想含义上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度．一般认为，中学数学基本思想是指渗透在中学数学知识与方法中具有普遍适应性的本质思想．中学数学涉及的数学思想主要有：函数与方程思想，数形结合思想，分类与整合思想，化归与转化思想，特殊与一般思想，有限与无限思想，或然与必然思想等．数学基本方法主要有：待定系数法、换元法、配方法、割补法等．数学逻辑方法或思维方法主要有：分析与综合、归纳与演绎、比较与类比、具体与抽象等．它们是理解、思考、分析与解决数学问题的普通方法，对数学思想和方法的考查要结合数学知识多层次进行．四、强调能力立意，突出分析和解决问题能力“以能力立意命题”是数学的学科特点和考试目标所决定的．高考数学科考试的重点是考查运用知识分析问题和解决问题的能力，因此命题中应尽量避免编制刻板、繁难和偏怪的试题，避免编制死记硬背的内容和繁琐计算的试题，力图通过数学科的考试，不仅考查考生数学知识的积累是否达到进入高等学校学习的基本水平，而且要以数学知识为载体，测量考生将知识迁移到不同情境的能力，从而检测考生已有的和潜在的学习能力．命题应突出能力立意，对知识的考查侧重于理解和应用，力求突破固定的解答模式，要求考生抓住问题的实质，对试题提供的信息进行合理地分检、组合、加工，寻找解决问题的办法．高考对能力的考查，应以抽象概括能力、推理论证能力为重点，全面考查各种能力，强调综合性、应用性，切合考生实际．运算求解能力是推理论证能力和运算技能的结合，它包括数的运算、式的运算；包括精算、近似计算与估算．对考生运算求解能力的考查主要是以含字母的式的运算为主，同时要兼顾对算理和推理论证能力的考查．空间想像能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，图形的处理与图形的变换都要注意与推理相结合．数据处理能力主要是指能对收集到的相关数据，采用适当的方法进行整理、归纳、分析、解决问题．分析问题和解决问题的能力是上述几种基本数学能力的综合体现，对数学能力的考查要以数学基础知识、数学思想和方法为基础，加强思维品质的考查．五、强化应用意识，关注应用能力加强应用意识的培养与考查是时代的需要，是教育改革的需要，同时也是数学科的特点所决定的．应用性问题主要是考查数学知识的实际应用．应用题的设计应贴近生活，联系实际，具有强烈的现实意义．应用问题考查的重点是客观事物的数学化，这个过程主要是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决．命题时要坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则，要把握好提出问题所涉及的数学知识和方法的深度和广度，要切合我省中学数学教学的实际，让数学应用问题的难度更加符合考生的水平，引导考生自觉地置身于现实社会的大环境，关心自己身边的数学问题，促使学生在学习和实践中形成和发展数学应用的意识．六、提倡开放探索，关注创新意识高考作为选拔性考试，应该偏重于能力测验，特别是能力倾向测验，适当考查考生在未来的学习或工作中是否具有创新意识．因此，高考中可适当设置开放性、探索性试题，考查创新意识和探究精神．考查创新意识的问题应立足于中学数学，以中学数学的基础知识为基本素材，考查学生创造性地应用知识分析问题、解决问题的能力．考查创新意识的创新性试题可重点体现在情景、设问等方面．在设计考查创新意识的试题时，一方面，要积极探索，大胆实践；另一方面，应进一步研究试题的稳定性与创新性的关系，处理好试题创新与试题难度的关系，做到“新题不难、不怪”．七、体现层次要求，控制试卷难度高考在考试目的、考试性质、考试内容和考试要求方面均不同于数学竞赛和普通高中学生学业基础会考．高考是要选拔部分合格高中毕业生升入高等院校深造，命题时应以知识为基础，多层次、多角度考查各种能力，试卷难度要适中，既要使一般考生都能得到基本分，又要使优秀学生的水平得以充分显现．根据我省高考的实际情况，整卷难度值应控制在0.6左右．试卷中各个试题的难度值一般控制在0.2～0.8之间，整份试卷中各种难度的试题分数的分布也应该适当．每种题型中都应编拟一些较易试题，使大部分考生都能得到一定的基本分；每种题型中也应编拟一些有一定难度的试题，以实现选拔的目的．Ⅱ．考试形式与试卷结构一、考试形式考试采用闭卷、笔试形式．考试时间为120分钟，全卷满分150分，考试不使用计算器．二、试卷结构考试内容包括必考内容和选考内容两部分．必考内容为《普通高中数学课程标准（实验）》的必修课程和选修课程系列2的内容．选考内容为《普通高中数学课程标准（实验）》的选修课程系列4的4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系与参数方程》、4-5《不等式选讲》等三个专题的内容．试卷包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为10个选择题，全部为必考内容；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分，必考部分由5个填空题和5个解答题组成；选考部分安排在第21题，作为解答题出现，由选修课程系列4的4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系与参数方程》、4-5《不等式选讲》等三个专题各命制1小题，考生从3小题中任选2小题作答，如果多做，则按所做的前两小题记分．选择题共10题，每题5分，共计50分；填空题共5题，每题4分，共计20分；解答题共6题，其中必考题5题，选考1题（包含3小题，每小题7分，考生从中任选2小题作答，满分14分），共计80分．选择题为四选一型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演算步骤或推证过程．试卷应由容易题、中等题和难题组成，难度值在0.7以上的试题为容易题，难度值在0.4~0.7的试题为中等题，难度值在0.4以下的试题为难题，易、中、难试题的比例约为4：4：2，全卷难度值控制在0.6左右．三、关于考试形式与试卷结构的说明1.注重试卷整体设计，发挥结构效应为发挥学科特点，体现高考的选拔功能，发挥整份试卷的区分作用，命题应注重试卷的整体设计．试卷的好坏取决于整张试卷产生的效应，而不仅仅是个别试题产生的效应，因此设计一份好的试卷不仅要编制好的试题，而且要注意试卷的整体结构，发挥整体效应．试卷应兼顾数学知识和能力等方面，要有合理的知识结构和能力层次结构．知识结构是指试卷中包含学科各部分知识的比例，在编制双向细目表时，应根据各部分内容的教学时数和高考对考生知识结构的要求，综合平衡试卷中各部分知识内容的分值比例．试卷对能力要求的层次和比例，反映着考查的性质和要求．在高考中，应既考查数学能力，又考查一般认识能力，如观察力、注意力、记忆力等．由于新课程高考考试目标还包括基本数学方法以及按照一定程序与步骤进行运算、处理数据，绘制图表等基本技能的内容，因此还应注意结合各项知识考查数学方法与技能．将数学知识和能力有机结合，并融入具体试题，以便有效地全面检测考生的素质和潜能．同时应使试题编排合理，体现人性化和选拔功能的和谐统一．2.合理确定试题梯度，体现试卷较好的区分度根据我省高中发展和高校招生的实际情况，确定本学科试卷难度值为0.6左右．为使考生产生良好的心理效应，应充分发挥各种题型的功能．试卷中必考内容的难度按两级坡度设计，整卷是一个大坡度，而每种题型由易到难又是一个坡度．各种题型中起点试题的难度都应比较低，特别是在选择题部分，起点题水平应相当于普通高中学生学业基础会考的水平，其目的是测量全体考生对基础知识的掌握情况，为教学评价提供参考．选择题最后几题的备选项应有较大的迷惑性，以此来区分考生对基础知识掌握的深度和熟练运用的程度．解答题变一题把关为多题把关，解答题中必考部分的最后两题应分别考查不同的内容并设置一定的关卡，区分考生综合和灵活运用数学知识分析问题、解决问题的能力．由于选修课程系列4中的《矩阵与变换》、《坐标系与参数方程》、《不等式选讲》是我省第一次作为选考内容进入高考试卷，应注意与实际教学相适应，控制好难度．难度定位为中等偏易．同时各选考专题的试题的分值应相等，并力求做到难度基本等值，体现考试的公平性．在命题中应适当控制新颖试题的比例，要充分估计考生对试题的适应程度，有效地控制整卷难度，避免因为考生对新颖试题的不适应而导致发挥失常．同时还应控制试题的综合程度，适当降低起点试题的难度．试题的表述应注意运用考生熟悉的语言和表述方式，同时采用文字语言、图表、数学符号等多种数学语言，简明直观，有利于考生的阅读理解；试题背景应贴近考生的生活实际，让考生处于一个较为平和、熟悉的环境中，增强解题信心．要控制计算量，避免繁琐运算，一些貌似有较长运算过程的试题要有不同的解题思维层次，以保证考生有较多的时间和精力思考问题．3.发挥各种题型的功能，充分体现新课程理念今年的高考是我省实施普通高中新课程的首次高考，试题应体现新课程理念，在命题时应当注意教材的多样性，讲究取材，以确保试题的公平性．应适当顾及新增课程内容在试卷中的比例，重视“探究”与“思考”问题，让新课程中“倡导积极主动、勇于探索的学习方式和注重提高学生的数学思维能力”等基本理念得到有效落实．从考查目标来看，高考强调在考查知识的基础上考查能力，因此需要一定数量的选择题和填空题以考查基础知识和基本技能，提高知识考查的覆盖面，考查考生敏锐地捕捉题设信息，迅捷地寻找合理的解题途径的解决问题能力，同时也增加考试的信度和效度．解答题包括计算题、证明题和应用题等，能比较全面地反映考生学科智力水平，展示其分析数学问题、综合运用数学知识进行逻辑思维的过程，适合对发散、综合以及推理运算、文字表达等高层次能力的考查．4.合理控制卷面字数和计算量卷面字数指卷面印刷符号数量和考生答卷书写字符的总和．为使考生能尽快、无误地获取信息，题目叙述应简单明了，字母、符号、标点等都应正确运用并发挥其作用，在文字语言不能简明叙述或不能清楚表达时，应注意各种符号和图形的运用，减少生活语言对数学语言的干扰，合理控制卷面字数．高考应以考查能力、检测素养为主，试题应尽量避免繁、难的运算，控制各题的计算量，排除由于计算过多过繁造成耗时较多，或由计算错误而造成全题失分的现象，以便更好地考查考生的各种能力．数学试卷全卷的计算量一直是高考命题研究的重要问题，而计算量的大小是和全卷的工作量的大小密切相关的．实际上，控制全卷工作量的大小主要是由高考的性质决定的，一般来说应以50％的考生在110分钟内能完成全卷的解答为标准．这里所谓完成，不含复核时间，由于数学试题往往存在一题多解、计算量相差悬殊的现象，同一道试题不同的解题思路会反映出不同的能力层次，考生实际计算量的大小往往反映出考生能力水平的差异．计算量的估计应以一般通用解法为准．Ⅲ．考试目标与要求一、知识要求知识是指《普通高中数学课程标准（实验）》所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4的4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系与参数方程》、4-5《不等式选讲》中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能.对知识的要求由低到高分为三个层次，依次是了解、理解、掌握，且高一级的层次要求包括低一级的层次要求．1．了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关的问题中识别和认识它．这一层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道、识别，模仿，会求、会解等.2．理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判断、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力.这一层次所涉及的主要行为动词有：理解，描述，说明，表达，推测、想像，比较、判别，初步应用等.3．掌握：要求能够对所列知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决.这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析，推导、证明，研究、讨论、运用、解决问题等.二、能力要求高考的目的和性质决定了它不仅要对考生的学科知识和具体技能进行考核，而且要对考生所学习的知识的内在联系、基本规律及方法的理解程度和应用程度进行考查.数学科的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想.试题包括立意、情境和设问三个方面．以能力立意命题，就是首先确定试题在能力方面的考查目的，然后根据能力考查的要求，选择适宜的考查内容，设计恰当的设问方式．根据以能力立意命题的指导思想，命题应把具有发展能力价值、富有发展潜力、再生性强的能力、方法和知识作为切入点，从测量学生的发展性学力和创造性学力着手进行，突出能力考查，发挥数学科考试的区分选拔功能和对中学数学教学的积极的导向作用.能力是指空间想像能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识.1．空间想像能力空间想像能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想像出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质.空间想像能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，主要表现为识图、画图和对图形的想像能力.识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言，以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换.对图形的想像主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想像能力高层次的标志．对图形的想像，是指能根据图形想像出空间图形直观形象，包括对空间基本图形的识记、再现和思考；能从复杂的图形中区分出基本的图形，正确地分析出图形中基本元素及其相互关系.立体几何是考查空间想像能力的主要载体，立体几何问题的解法一般有几何法与代数法两种，它们从不同的角度解决立体几何问题.向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，是联系几何与代数的桥梁.用空间向量处理空间问题，空间元素间的位置关系转化为数量关系，形式逻辑证明转化为数值计算.由于思路清晰，降低了思维的难度,因此空间向量就成为处理空间问题的重要方法．下面从识图与画图的结合、概念与推理的结合、对图形的处理等三个方面进行讨论．（1）识图与画图的结合．在立体几何中，强调对空间图形的整体认识和把握，从实物到图形，从三视图、直观图想像空间几何体，再从空间几何体的整体来把握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，因此识别图形就相当重要了．一方面，对基本的几何图形（平面或立体）要非常熟悉，能正确画图；另一方面，能正确识别图形，了解三视图和直观图的关系，分析几何图形中各元素在空间中的形状、大小和位置关系，突破习惯看平面图形的思维定势．【例1】（2020年高考海南与宁夏卷·理)已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．本题以几何体的三视图为载体，考查空间想像能力.由题目给出的三视图，通过想像，可得出几何体是四棱锥，其底面是边长为20 cm的正方形，高是20 cm，故求出几何体的体积是.选B.能根据给出的三视图，通过画图、分析，想像出空间几何体，并找出两者的联系，是解题的关键.（2）概念与推理的结合.概念是抽象思维与逻辑思维的基本形式、基本元素.立体几何是通过概念、公理来演绎的，对概念的理解是解题的基础.因此，考生要理解概念的本质，能够根据概念画出图形，借助图形来思考，分解出解题所需要的要素，从而进行推理和运算．在考题中，一般只给出最简单的图形及最基本的条件．在解答时，考生需要以此为依托，根据定义和性质画出所需要的线、面、角等几何要素，对照图形，将概念、性质灵活应用于图形．【例2】(2020年高考四川卷·理)如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是A.BD∥平面CB1D1 B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面CB1D1 D.异面直线AD与CB1所成的角为60°本题依托正方体，通过考查有关线面平行、垂直的判定，线线垂直与线线成角的概念，考查空间想像能力与推理论证能力．BD∥平面CB1D1,A成立；AC1⊥BD，B成立；∴AC1⊥平面CB1D1，C成立；异面直线AD与CB1所成的角转化为BC与CB1所成的角，而BC与CB1所成的角为45°,故D错误.选D.（3）对图形的处理.为了使解题过程变得直观、简捷，我们常常需要对图形进行适当的构造与处理.对图形常见的处理有：分割、补形、展开、平移和对称；添加辅助线、辅助面；将立体几何问题转化为平面问题等．通过处理，使得复杂图形简单化、非标准图形标准化．对空间图形的处理能力是空间想像能力深化的标志，是高考从深层次上考查空间想像能力的主要方面．【例3】（2020年高考海南与宁夏卷·理）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为A.B.C.4 D.本题以三视图为载体，考查考生对空间基本的几何图形（平面图形或立体图形）的熟悉程度，考查空间想像能力．解答本题，必须想像出图形，借助图形思考.为了使得思考直观、简捷，我们需要对图形进行适当的构造，不妨构造一个长方体，其一条对角线长为，其三个相邻面的对角线长分别为、a和b．设过长方体同一顶点的三条棱长分别是、、，则，结合基本不等式得：.选C.本题在如何构造图形上是开放的，因此，构造的图形是否突出问题的本质，达到直观、简捷，体现了空间想像能力的差异．【例4】（2020年高考浙江卷·理)如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2.（Ⅰ）求证：AE//平面DCF；（Ⅱ）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为？本题主要考查空间线面关系、空间向量的运算等基础知识，同时考查空间想像能力和推理论证能力．第（Ⅰ）问由矩形ABCD得，推出平面．由BE//CF得平面．所以平面平面．从而平面．第（Ⅱ）问，如图，建立空间直角坐标系，设，得，，由，，得．进而求得平面的一个法向量．又因为平面，所以，解得．所以当＝时，二面角的大小为．用向量方法解空间几何问题，绝不能脱离图形，依然需要对图形进行观察、思考、推理、判断，做到“眼里有图，脑中有图”，能把图形和概念联系起来，用图形思考问题.在思考过程中，空间想像是前提，代数运算是关键．2．抽象概括能力抽象概括能力：对具体、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质，从给定的大量信息中，概括出一些结论，并能将其应用于解决问题或作出新的判断.抽象是指舍弃事物非本质的属性，揭示其本质属性的思维过程；概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象是一步一步逐级进行的，具有层次性的，而且往往是将前一层次看作后一层次的“具体”.通过抽象，揭示本质，发现规律，这是科学研究工作必须具备的基本修养，是数学学习过程中要培养的一种能力.抽象和概括是相互联系的，没有抽象就不可能有概括，而概括必须在抽象的基础上得出某种观点或某个结论.抽象与概括又是有区别的，其主要区别在于：概括过程中的对象保持不变，但对象的范围扩展了，并推广到同类的全体事物；而在抽象过程中，对象由具体的变为形式化的、一般化的.高考主要从数学语言、数学模式与数学模型两方面对抽象概括能力进行考查.（1）数学语言．在逐次抽象的过程中，牢固的数学基础知识、必要的逻辑知识、数学语言是必不可少的工具.因此，使用数学语言与符号的能力，是抽象概括能力的重要体现.数学语言是数学化了的自然语言，是数学特有的形式化的符号体系．语言是思维的载体，思维需要用语言或文字表达．依靠数学语言进行思维能够使思维在可见的形式下再现出来．数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言．在高考数学试题中，主要是用文字语言和符号语言，辅之以图形语言表述、呈现试题内容．高考中考查的重点是文字语言，并要求考生能够根据实际情况进行三种形式的语言间的转换．对语言的考查包括两方面的要求：一是要求考生读懂题目的叙述，把所给的文字和数学符号翻译成数学关系输入大脑，以便于大脑加工；二是要求考生有一定的语言表达能力，能清楚、准确、流畅地表达自己的解题过程，并要求表达条理清晰，层次分明，没有逻辑错误，能准确规范地使用各种数学名词、术语和数学符号．【例1】(2020年高考湖南理)设集合，，，（Ⅰ）的取值范围是；（Ⅱ）若，且的最大值为9，则的值是．本题以数学符号语言为载体，重点考查三种语言的相互转化，考查抽象概括能力．第（Ⅰ）问要能读懂有关集合的符号语言，理解集合A、B表示的区域.把A、B对应的区域用图形表示出来，即把数学符号语言转化为图形语言：先画区域A，以及b=0时B表示的区域，把折线上下平移,通过观察，易得时满足.第（Ⅱ）问，令，由线性规划知识知，直线过点时，的最大值为9，所以.（2）数学模式与数学模型.不论是把实际问题转化为数学问题，还是单纯解数学题，都离不开把问题和解决问题的方法进行比较分类，抽象概括出一种数学结构形式，然后利用这种结构形式来熟练地解决同类型的实际问题和数学问题，从这个意义上讲，数学模型是数学抽象概括的结果.因此，抽象概括能力还包括对模式和方法的概括能力，以及从现实问题中概括出具体的数学模型的能力.解数学问题有常用的数学思想方法，应在夯实＂双基＂的同时，认识各种思想或方法的适应性，抽象概括出解决问题的有效的数学思想与方法，这样，可以提高解决问题的能力.如果抽象概括能力差，对平时所学的知识就无法形成知识网络，无法形成能力，无法从纷繁复杂的题目中发现问题的本质，找到正确的解题思路.因此，在考试中能否快速识别模式，进而正确选择解题方法，体现了抽象概括能力的差异.【例2】（2020年高考江苏卷）设函数，若对于任意，都有≥0成立，则实数的值为．本题以不等式恒成立的问题为载体，反映了对抽象概括能力的考查.本题考虑用分离变量来解决．当x=0时，无论a取何值，成立；恒成立.令则转化为研究的最大值与的关系.令.当可知取最大值4，所以；恒成立.令，则转化为研究的最小值与的关系.由得是增函数，所以，所以综上，本题考查了一些常见的解题规律或模式,如：“恒成立问题”一般转化为研究的最小值与的关系问题．从现实问题中概括出具体的数学模型，需要抽象概括能力，最典型的是解应用题.我们知道，应用题一般都有模型，如“指数型函数”是重要的数学模型，在细胞分裂、生物繁殖、人口增长、劳动生产率、银行利息等问题上经常用到．解决应用题的关键是建立数学模型,即把生产或生活中遇到的实际问题，抽象为一个数学问题来解决.从杂乱无章的现实世界中，由表及里，去伪存真，将生活问题提炼、抽象为一个数学问题来解决，体现了我们常说的“分析问题和解决问题的能力”，体现了抽象概括能力.【例4】(2000年春季高考上海卷理)有一批影碟机（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.曱商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买二台每台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的销售.某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？本题以实际应用问题为载体，在将实际问题转化为数学模型的过程中，考查了抽象概括能力.要确定去哪家商场购买，关键是要建立两商场影碟机的销售价与购买台数的函数关系，并利用不等式知识确定购买方案．设某单位需购买ｎ台影碟机，甲商场每台单价为元，乙商场每台单价为元．则，令，解得．于是建立出数列模型：接着比较与的大小.当因为时去甲处购买；当时，令，得，解得，所以时去甲处购买；时去甲处或乙处购买；时去乙处购买.综上，时去甲处购买；时去甲处或乙处购买；时去乙处购买.3．推理论证能力推理论证能力：根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题真实性的初步的推理能力.推理是思维的基本形式之一，它由前提和结论两部分组成；论证是由已有的正确的前提到被论证的结论正确的一连串的推理过程.推理既包括演绎推理，也包括合情推理；论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法.一般运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明.（1）演绎推理．演绎推理是从定义、定理出发进行分析、推理、论证，其重点是三段论推理，是进行数学证明的有力工具.它把一般前提下蕴含的性质揭露出来，使这些性质间的内在联系更清楚，对数学的形成和发展有重要的作用，因此演绎推理能力是数学能力的一个重要方面．高考对推理论证能力的考查主要体现在对演绎推理的考查上，试卷中考查演绎推理的题型，既可使用选择题、填空题的形式，也可使用解答题的形式进行重点考查．【例1】（2020年高考上海卷理）设是定义在正整数集上的函数，对于定义域内任意的k，若成立，则成立．下列命题成立的是Ａ．若成立，则对于任意，均有成立Ｂ．若成立，则对于任意，均有成立Ｃ．若成立，则对于任意，均有成立Ｄ．若成立，则对于任意，均有成立本题以新定义的命题为载体，通过对给定命题真假的判断，考查了推理论证能力.判断命题是否成立，要从阅读理解题意开始．对于A,只能推出当时，均有成立，故A错；同理B也错；对于C，只能推出时，均有，故C错.选D.本题中，已知大前提，小前提，要判断命题是否成立，属于典型的演绎推理.学生要在阅读理解的基础上，以给出的命题为大前提，收集信息，对信息进行加工提炼，才能正确解题.数学归纳法也是演绎推理的一种，典型地用于证明与正整数n有关的数学命题.数学上研究与正整数n有关的命题时，通常是通过观察、实验，从特例中归纳出一般结论，形成猜想，然后用数学归纳法加以证明.【例2】(2020高考辽宁卷理)在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）.（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）略．第（Ⅰ）问主要以等差数列、等比数列为载体，考查推理论证能力．由条件得,进而求得:,．由此猜测．用数学归纳法证明如下：①当n=1时，，故猜想成立．②假设当n=k时，结论成立，即，那么当n=k+1时，．所以当n=k+1时，结论也成立．由①②，可知对一切正整数都成立．本题从数列前几项出发，分析共性，发现通项公式，而后再用数学归纳法证明，这体现了从特殊到一般、从具体到抽象的思维过程，既考查了归纳推理，又考查了演绎推理.（2）合情推理.合情推理是根据已有的事实和正确的结论、实践和实验的结果，以及个人的经验和直觉等猜测某些结果的推理过程.归纳和类比均属于合情推理.在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路、发现结论；演绎推理用于验证结论的正确性.表面上看，学生在解决问题时的合情推理是不按逻辑程序去思考，但实际上是学生把自己的经验与逻辑推理的方法有机地整合进来的一种跳跃性的思维表现形式.【例3】(2020年高考广东卷)由图(1)有关系，则由图(2)有关系．本题以空间图形为载体，通过比较、分析、判断、类比，考查了推理论证能力.利用图(1)的结论，通过将线段、的长度分别与、的面积类比，将、的面积分别与三棱锥，的体积类比，将平面上的结论推广至空间，就可以得到图(2)的结论为.在上述推理过程中，直觉和顿悟发挥了很大的作用.事实上，直觉和顿悟是数学发现的重要因素.首先，直觉和顿悟在发现有价值的研究对象和问题时具有重要作用.其次，在研究的思路同时存在几种可能时，直觉和顿悟能帮助人们快速地从中作出抉择；再次，当解决问题的逻辑通道阻塞，思路发生中断时，直觉和顿悟能够帮助人们打破僵局，另辟全新思路.因此，合情推理的关键是直觉和顿悟.数学既需要严密的逻辑证明，也需要合情猜想与合情推理.“猜”是直觉思维的产物，是发明创造的基础，是人的素质的标志.科学、合理的猜测是数学能力的体现.正如数学教育家波利亚所说：数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这方面看数学是一门系统的演绎科学，但另一方面，创造过程中的数学，看起来更象一门试验性的归纳科学.4．运算求解能力运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径，能根据要求对数据进行估计和近似计算.运算求解能力是中学数学中要求培养的重要能力，运算求解能力是思维能力和运算技能的结合．运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等．运算求解能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力．对运算求解能力的考查不仅包括对数的运算，还包括对式的运算，兼顾对算理和推理论证的考查．对考生运算求解能力的考查主要是以含字母的式的运算为主，包括数字的计算、代数式和某些超越式的恒等变形、集合的运算、解方程与不等式、三角恒等变形、数列的计算、求导运算、概率计算、向量运算和几何图形中的计算等．运算结果具有存在性、确定性和最简性．运算求解能力是一项基本能力，在代数、立体几何、平面解析几何、概率与统计等方面都有所体现．在高考中多数题目的解决需要运算，运算的作用不仅是只求出结果，有时还可以辅助证明．运算求解能力是最基础的又是应用最广的一种能力．高考对运算求解能力的考查应注重算理和符号运算考查，合理控制计算量，注意精确计算与合理估算结合.（1）运算的合理性．运算的合理性是运算能力的核心．一般一个较复杂的运算，往往是由多个简单的运算组合而成的．能正确确定运算目标，将各部分有机地联系在一起，这是运算合理性的主要标志，是提高运算求解能力的重要因素．运算的合理性表现在运算要符合算理，运算过程的每一步变形都要有所依据，或依据概念，或依据公式，或依据法则，可以说运算的每一步变形都是演绎法的体现．运算过程包含着思维过程，运算离不开思维．随着计算机和计算器技术的发展和普及，只要能设计出运算程序，计算机就能够完成相应的计算，而且高效、快捷、准确．因此时，运算求解能力的考查重点应考查算理．运算的合理性首先表现在运算目标的确定上．运算的目的是要得到化简的数值结果或代数式等，有时还是完成推理和判断的工具．对一些比较直接、简单的运算目标一般比较容易把握，但对一些比较复杂的运算目标，需要经过多步运算才能得到最终结果，学生一般都感到困难．如在进行三角恒等变形时，变形的目的性不明确，滥用公式，把有关的三角公式都写上，分辨不出用公式的目的；研究函数的单调性时，不懂得先对函数求导，然后考察导函数的正负取值，特别地，当含有参数时不懂得对参数进行讨论；在求曲线的轨迹方程时，对如何消去方程组中的参数，确定运算目标问题把握不准等．运算的合理性还表现在运算途径的选择上．合理选择运算途径不仅是迅速运算的需要，也是运算准确性的保证.运算的步骤越多，越繁琐，出错的可能性也就越大．因而，根据问题的不同条件和特点，合理选择运算途径是提高运算能力的关键．灵活地运用公式、法则和有关的运算律，掌握同一个问题的多种运算方法和途径，善于通过观察、分析、比较，将有助于作出合理的选择．因此，对运算求解能力的考查中包括了对思维能力的要求以及对思维品质(如思维的灵活性、敏捷性、深刻性)的考查．【例1】(2020年高考全国卷Ⅰ理)当时，函数的最小值为A．2 B．C．4 D．本题以三角函数的知识为载体，着重考查了运算求解能力.先化简得，再由知tanx>0，所以，即的最小值为4．选C.本题把函数式化为，可借助基本不等式求解．如果使用二倍角公式，可得，后续的解题计算量大，技巧性高，不是理想的选择.解题过程应关注运算的合理性，注意合理选择运算公式，合理确定运算的方向，如果运算较繁，及时调整方向就显得十分必要.通过以上分析可以看出，运算的目标，变形的方向，运算的路径，它们之间是密切相关的．要从运算的目标出发，研究变形方向，最终作出判断，确定运算路径．这一系列的活动都是运算过程中的思维活动，是运算合理性的表现．（2）运算的准确性．运算的准确性是运算求解能力的基本要求，要求考生根据算理和题目的运算要求，有根有据地一步一步地实施运算．影响运算准确的因素是多方面的，数学中的定义、公理、定理、公式、法则和定律等是运算的依据，只有准确地理解概念，熟练地掌握运算法则和运算定律，才能使运算顺利进行．只要在运算过程的某一个环节出现问题，就会导致整个运算的错误，因此，在运算过程中使用的概念、公式、法则等都要准确无误，才能保证运算结果的准确性．【例2】(2020年高考四川卷理)已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点A、B，则|AB|等于A．3 B．4 C．D．本题以抛物线弦长的计算为载体，在运算的准确性、熟练性上考查了运算求解能力．本题的解决有以下两种思路：其一，设点，则.①－②得：因为所以，得AB的中点坐标，进而求出AB方程，求得AB=.选C.其二，设直线AB的方程为代入，得：，所以，以下解法同方法一.考查运算求解能力是以考查运算的准确性为前提的，本题作为选择题，只看结果不看过程，运算过程中，无论是公式记错了，还是运算错了，都会由一步的错误引发全题解答的错误.因此，强调运算的准确性是十分必要的．（3）运算的熟练性．运算的熟练性是对考生思维敏捷性的考查．思维敏捷性是在诸多思维特征中具有创新意义的一个重要思维特征，也是思维个性品质的一个重要层面．在高考中考查运算能力，一般不是增大每题的运算量，而是通过合理控制题目数量、控制每题的运算量，增加思考强度和思维深度来实现的．控制题目数量和每题的运算量，可以给考生以充裕的时间去思考如何进行计算，而不是把时间花在冗长的计算过程和运算符号、文字的书写上．过难、过繁的计算将消耗考生的时间和精力，影响对基本概念、方法，特别是思维能力的考查．（4）运算的简捷性．运算的简捷性是指运算过程中所选择的运算路径短、运算步骤少、运算时间省．运算的简捷是运算合理性的标志，是运算速度的要求．高考对运算简捷性的考查，主要体现在运算过程中概念的灵活应用，公式的恰当选择，数学思想方法的合理使用等．其中数形结合思想，函数与方程思想，化归与转化思想，换元法等数学思想方法在简化运算中都有重要的作用．运算的简捷性是对考生思维深刻性、灵活性的考查．【例3】(2020年高考全国卷Ⅲ理)设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为A.B.C.D.本题以椭圆的离心率为载体，通过考查运算的简捷性，思维深刻性、灵活性，考查了运算求解能力.本题的解决有以下三种思路：其一，如图，设椭圆方程为：，因为点P是过焦点F2作x轴的垂线与椭圆的交点，所以P(c,y)．将点P的坐标代入椭圆方程，可得．又|F1F2|=|PF2|，则，化为，解得或(舍去)，即．选D.其二，在等腰直角三角形PF1F2中，|F1F2|=|PF2|=2c，|PF1|=，|PF1|+|PF2|=2a，即，所以，即．其三，由|PF2|=|F1F2|=2c，可得点P(c,2c)，由点P在椭圆上，得：，又b2=a2－c2，消去b，得，化为，可整理成关于离心率e的四次(双二次)方程，而后解出．通过比较不难发现，不同的运算途径，所获得方程不同，虽然都能达到运算的目标，但计算的难易程度及相应的计算量的差异较大．思路二是灵活利用椭圆的定义解题，要比其他方法简捷得多．思路三的计算量偏大，可能导致计算结果出错，或计算到中途放弃.5．数据处理能力数据处理能力：会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断.数据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题.数据是由实验、观测或其它方法所收集得到，而收集的数据通常是分散的，一般缺乏系统和次序，它们所遵循的规律往往不能一目了然，因此，必须去粗取精，去伪存真，对数据作科学的整理和归纳，方能显露出这一批数据所遵循的规律.对现实生活的许多问题的研究，一般先获取数据，并对数据用列表或作图等方法进行分析，再结合数学、物理、化学等自然科学的知识，采用某个数学模型来刻画它，通过对该模型的研究，发现该类问题具有的属性，并对它作出决策和判断.数据处理一般需要以下三步：第一步：将收集到的数据资料加以整理和归纳，用列表、作图等方法，并借助于少数几个简单的特征数字，把这些数据的主要特点表现出来；第二步：将整理、归纳后所得到的数据资料加以分析，发掘这些数据资料所遵循的规律；第三步：依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，抽取对研究问题有用的信息，并作出判断.【例1】(2020年高考海南与宁夏卷·理）从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：甲品种：。