2022届高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第6讲抛物线配套练习文北师大版.doc

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第6讲抛物线一、选择题1．(2022·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，那么k＝()A.B．1 C.D．2解析由题可知抛物线的焦点坐标为(1,0)，由PF⊥x轴知，|PF|＝2，所以P点的坐标为(1,2)，代入曲线y＝(k>0)得k＝2，应选D.答案D 2．点M(5,3)到抛物线y＝ax2(a≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()A．y＝12x2 B．y＝12x2或y＝－36x2 C．y＝－36x2 D．y＝x2或y＝－x2解析分两类a>0，a<0可得y＝x2，y＝－x2.答案D 3．(2022·宜春诊断)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|PQ|＝()A．9 B．8 C．7 D．6解析抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.应选B.答案B 4．抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．假设＝4，那么|QF|等于()A.B.C．3 D．2解析∵＝4，∴||＝4||，∴＝.如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的交点为A，那么|AF|＝4，∴＝＝，∴|QQ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ′|＝|QF|＝3，应选C.答案C 5．(2022·衡水金卷)抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么y＋y的最小值为()A．12 B．24 C．16 D．32解析当直线的斜率不存在时，其方程为x＝4，由得y1＝－4，y2＝4，∴y＋y＝32.当直线的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－4)，由得ky2－4y－16k＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝－16，∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝＋32＞32，综上可知，y＋y≥32.∴y＋y的最小值为32.应选D.答案D二、填空题6．(2022·兰州诊断)抛物线y2＝－12x的准线与双曲线－＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________．解析由图可知弦长|AB|＝2，三角形的高为3，∴面积为S＝×2×3＝3.答案3 7．(2022·安徽四校三联)过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，那么弦长|AB|为________．解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)．易得抛物线的焦点是F(1,0)，所以直线AB的方程是y＝x－1，联立消去y得x2－6x＋1＝0，所以x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.答案8 8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析建立如图平面直角坐标系，设抛物方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意将点A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面宽为2米．答案2三、解答题9．(2022·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0)．(1)假设直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；②求p的取值范围．(1)解∵l：x－y－2＝0，∴l与x轴的交点坐标为(2,0)．即抛物线的焦点为(2,0)，∴＝2，∴p＝4.∴抛物线C的方程为y2＝8x.(2)①证明设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)．那么那么∴kPQ＝＝，又∵P，Q关于l对称．∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2p，∴＝－p，又∵PQ的中点一定在l上，∴＝＋2＝2－p.∴线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)．②解∵PQ的中点为(2－p，－p)，∴即∴即关于y的方程y2＋2py＋4p2－4p＝0，有两个不等实根．∴Δ＞0.即(2p)2－4(4p2－4p)＞0，解得0＜p＜，故所求p的范围为.10．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；(2)＋为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．证明(1)由得抛物线焦点坐标为(，0)．由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y2＝2px，得y2＝2p(my＋)，即y2－2pmy－p2＝0.(*)那么y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2.因为y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2，所以x1x2＝＝＝.(2)＋＝＋＝.因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，得＋＝＝(定值)．(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，那么|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．11．(2022·汉中模拟)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么的值一定等于()A．－4 B．4 C．p2 D．－p2解析①假设焦点弦AB⊥x轴，那么x1＝x2＝，那么x1x2＝；②假设焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB：y＝k(x－)，联立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，那么x1x2＝.又y＝2px1，y＝2px2，∴yy＝4p2x1x2＝p4，又∵y1y2＜0，∴y1y2＝－p2.故＝－4.答案A 12．(2022·四川卷)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，那么直线OM的斜率的最大值为()A.B.C.D．1解析如图，由题可知F，设P点坐标为(y0＞0)，那么＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝，kOM＝＝≤＝，当且仅当y＝2p2等号成立．应选C.答案C 13．(2022·湖北七校联考)抛物线方程为y2＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，到直线l的距离为n，那么m＋n的最小值为________．解析如图，过A作AH⊥l，AN垂直于抛物线的准线，那么|AH|＋|AN|＝m＋n＋1，连接AF，那么|AF|＋|AH|＝m＋n＋1，由平面几何知识，知当A，F，H三点共线时，|AF|＋|AH|＝m＋n＋1取得最小值，最小值为F到直线l的距离，即＝，即m＋n的最小值为－1.答案－1 14．(2022·南昌模拟)抛物线C1：y2＝4x和C2：x2＝2py(p＞0)的焦点分别为F1，F2，点P(－1，－1)，且F1F2⊥OP(O为坐标原点)．(1)求抛物线C2的方程；(2)过点O的直线交C1的下半局部于点M，交C2的左半局部于点N，求△PMN面积的最小值．解(1)由题意知F1(1,0)，F2，∴＝，∵F1F2⊥OP，∴·＝·(－1，－1)＝1－＝0，∴p＝2，∴抛物线C2的方程为x2＝4y.(2)设过点O的直线为y＝kx(k＜0)，联立得M，联立得N(4k,4k2)，从而|MN|＝＝，又点P到直线MN的距离d＝，进而S△PMN＝···＝2·＝＝2，令t＝k＋(t≤－2)，那么有S△PMN＝2(t－2)(t＋1)，当t＝－2时，此时k＝－1，S△PMN取得最小值．即当过点O的直线为y＝－x时，△PMN面积的最小值为8.