河北省保定市百楼中学高三数学文联考试题含解析.docx

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河北省保定市百楼中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.记集合M={x||x|＞2}，N={x|x2﹣3x≤0}，则N∩M=（）A．{x|2＜x≤3}B．{x|x＞0或x＜﹣2}C．{x|0≤x＜2}D．{x|﹣2＜x≤3}参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】分别求出集合M，N，由此利用交集定义能求出N∩M的值．【解答】解：∵集合M={x||x|＞2}={x|x＞2或x＜﹣2}，N={x|x2﹣3x≤0}={x|0≤x≤3}，∴N∩M={x|2＜x≤3}．故选：A．2.设i为虚部单位，复数z满足，则（）A.1 B.C.2 D.参考答案：B【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】由（1﹣i）z＝2i，得z，∴|z|．故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.已知集合A={0，b}，B={x∈Z|x2﹣3x＜0}，若A∩B≠?，则b等于（）A．1 B．2 C．3 D．1或2参考答案：D【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出B中不等式的整数解确定出B，根据A与B的交集不为空集，求出b的值即可．【解答】解：由B中不等式解得：0＜x＜3，x∈Z，即B={1，2}，∵A={0，b}，且A∩B≠?，∴b=1或2，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．4.设函数则（）A．在区间内均有零点.B．在区间内均有零点.C．在区间内均无零点.D．在区间内内均有零点.参考答案：D 5.若直线l：y=kx﹣1与曲线C：f（x）=x﹣1+没有公共点，则实数k的最大值为（）A．﹣1 B．C．1 D．参考答案：C【考点】函数的图象．【分析】直线l：y=kx﹣1与曲线f（x）=x﹣1+没有公共点，则x﹣1+=kx﹣1无解，可化为k=1+，设g（x）=1+，求导，研究此函数的单调性即可解决【解答】解：若直线l：y=kx﹣1与曲线f（x）=x﹣1+没有公共点，则x﹣1+=kx﹣1无解，∵x=0时，上述方程不成立，∴x≠0则x﹣1+=kx﹣1可化为k=1+，设g（x）=1+，∴g′（x）=∴g′（x）满足：在（﹣∞，﹣1）上g′（x）＞0，在（﹣1，0）上g′（x）＜0，在（0，+∞）上g′（x）＜0，∴g（x）满足：在（﹣∞，﹣1）上递增，在（﹣1，0）上递减，在（0，+∞）上递减，g（﹣1）=1﹣e，而当x→+∞时，g（x）→1，∴g（x）的图象：∴g（x）∈（﹣∞，1﹣e]∪（1，+∞）无解时，k∈（1﹣e，1]，∴kmax=1，故选：C 6.已知集合，则集合N的真子集个数为（）A．3；B．4 C．7 D．8参考答案：B 7.已知，函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心是A．B．C．D．参考答案：C，.又.显然，所以.则，令，则，当时，，故C项正确.8.若，，则中元素个数为A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B由,，,所以，因此选B。9.如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为（）A．（30+30）m B．（30+15）m C．（15+30）m D．（15+15）m参考答案：A【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；解三角形．【分析】要求建筑物的高度，需求PB长度，要求PB的长度，在△PAB由正弦定理可得．【解答】解：在△PAB，∠PAB=30°，∠APB=15°，AB=60，sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=由正弦定理得：=30（+），∴建筑物的高度为PBsin45°=30（+）×=（30+30）m，故选A．【点评】此题是实际应用题用到正弦定理和特殊角的三角函数值，正弦定理在解三角形时，用于下面两种情况：一是知两边一对角，二是知两角和一边．10.设Sn为等差数列{an}（n∈N+）的前n项和，且S2=S6，a4=1，则a5=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2参考答案：A【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设出等差数列的首项和公差，由已知列式求出首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案．【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由S2=S6，a4=1，得，解得．∴a5=7+4×（﹣2）=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数的最小正周期为，则（A）函数的图象关于点（）对称（B）函数的图象关于直线对称（C）函数的图象向右平移个单位后，图象关于原点对称（D）函数在区间内单调递增参考答案：12.如图，在△ABC中，M为BC上不同于B，C的任意一点，点N满足．若，则x2+9y2的最小值为．参考答案：【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】不妨设=λ，0＜λ＜1，根据向量的加减的几何意义可得x=，y=，代入得到x2+9y2=（λ﹣）2+，即可求出最值．【解答】解：不妨设=λ，0＜λ＜1，∴==（+）=+=+（﹣）=+，∵，∴x=，y=，∴x2+9y2=+4λ2=λ2﹣+=（λ﹣）2+，当λ=时，x2+9y2有最小值，最小值为，故答案为：．【点评】本题考查了向量的加减的几何意义以及二次函数的性质，属于中档题13.已知函数，若f（2）＝0，则a＝_____。参考答案：﹣3【分析】推导出f（2）=log2（4+a）=0，由此能求出a的值．【详解】∵函数f（x）=log2（x2+a），f（2）=0，∴f（2）=log2（4+a）=0，解得a=﹣3．故答案为：﹣3．14.已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、、构成等差数列．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点是直线上的两点，且，．求四边形面积的最大值．参考答案：解：（1）依题意，设椭圆的方程为．构成等差数列，，．又，．椭圆的方程为．…………………………………………………4分(2)将直线的方程代入椭圆的方程中，得．……………………5分由直线与椭圆仅有一个公共点知，，化简得：．设，，…………………………8分（法一）当时，设直线的倾斜角为，则，，，……10分，当时，，，．当时，四边形是矩形，．所以四边形面积的最大值为．…………………………12分（法二），．．四边形的面积，………10分．…………………………………………12分当且仅当时，，故．所以四边形的面积的最大值为．略15.已知函数y=f（x﹣1）+x2是定义在R上的奇函数，且f（0）=﹣1，若g（x）=1﹣f（x+1），则g（﹣3）=．参考答案：2【考点】3L：函数奇偶性的性质．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数y=f（x﹣1）+x2是定义在R上的奇函数，以及g（x）=1﹣f（x+1）的关系建立条件关系即可求解．【解答】解：设y=F（x）=f（x﹣1）+x2，∵y=f（x﹣1）+x2是定义在R上的奇函数，∴F（0）=f（﹣1）+0=0，∴f（﹣1）=0．F（1）=f（0）+1=﹣1+1=0，又F（﹣1）=f（﹣2）+1=﹣F（1）=0，∴f（﹣2）=﹣1，∵g（x）=1﹣f（x+1），∴当x=﹣3时，g（﹣3）=1﹣f（﹣3+1）=1﹣f（﹣2）=1﹣（﹣1）=2．故答案为：2．16.已知椭圆的焦点重合，则该椭圆的离心率是参考答案：略17.正方体为棱长为1，动点分别在棱上，过点的平面截该正方体所得的截面记为，设其中，下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）①当时，为矩形，其面积最大为1；②当时，为等腰梯形；③当时，为六边形；④当时，设与棱的交点为，则。参考答案：【知识点】正方体的特征G1②④当时，为矩形，其最大面积为1，所以①错误；当时，截面如图所示，所以②正确；当时，截面如图，所以③错误；当时，如图，设S与棱C1D1的交点为R，延长DD1，使DD1∩QR=N，连接AN交A1D1于S，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N，可得，∴④正确；综上可知正确的序号应为②④..【思路点拨】可结合线面平行的性质作出其截面，结合其截面特征进行解答.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=x2﹣mlnx，g（x）=x2﹣2x，F（x）=f（x）﹣g（x）（Ⅰ）当m＞0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当m=﹣1时，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=F（x）相切？说明理由．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（I）求出函数的定义域，求出函数的导数，利用函数的导数的符号判断函数的单调性，求出单调区间．（II）先表示出过点（2，5）与曲线y=g（x）相切的直线，进而假设函数，可求得切线的条数．【解答】解：（I）函数f（x）=x2﹣mlnx的定义域是（0，+∞）．∵f′（x）=x﹣==令f′（x）=0得：x=或x=﹣（舍去）．由f′（x）＞0得x＞，∴此时f（x）是增函数；由f′（x）＜0得0＜x＜，∴f（x）是减函数．∴函数f（x）的增区间是（=，+∞），减区间是（0，）．（II）设切点为（x1，y1）当n=﹣1时，F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx+2x，F′（x）=+2，切线方程为y﹣5=（+2）（x﹣2），切点在y=F（x）上，即y1=lnx1+2x1，∴lnx1+2x1﹣5=（+2）（（x1﹣2），即lnx1+﹣2=0，令∴，由h′（x）=0可得，x=2，由h′（x）＞0得x＞2，由h′（x）＜0，得x＜2，∴h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∴当x=2时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值，∵h（2）=ln2﹣1＜0，且h（）=2e﹣3＞0，h（e2）=＞0，∴h（x）与x轴有两个交点∴过点（2，5）可作2条曲线y=g（x）的切线．19.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）试问a，b，c是否可能依次成等差数列？为什么？（2）当cosC取得最小值时，求.参考答案：解：（1）∵，∴，∴.假设，，依次成等差数列，则，则，即，又，从而假设不成立，故，，不可能依次成等差数列.（2）∵，∴.∵，∴.∴，当且仅当，即时，取等号.∵，∴.20.在极坐标系中，动点运动时，与成反比，动点的轨迹经过点（I）求动点轨迹的极坐标方程；（II）以极点为直角坐标系原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，将（I）中极坐标方程化为直角坐标方程，并说明所得点轨迹是何种曲线.参考答案：解：（I）设则（II）∴P点轨迹是开口向下，顶点为（0,1）的抛物线略21.在直角坐标系中，直线的方程是，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求直线和曲线的极坐标方程；（Ⅱ）射线（其中）与曲线交于，两点，与直线交于点，求的取值范围.参考答案：（Ⅰ）∵，∴直线的极坐标方程是由消参数得∴曲线的极坐标方程是（Ⅱ）将分别带入，得，∴∵，∴∴∴的取值范围是22.（本小题满分12分）已知的角A、B、C所对的边分别是，设向量,,（Ⅰ）若∥，求证：为等腰三角形；（Ⅱ）若⊥，边长，，求的面积.参考答案：已知的角A、B、C所对的边分别是，设向量,,（Ⅰ）若∥，求证：为等腰三角形；（Ⅱ）若⊥，边长，，求的面积.证明：(Ⅰ)∵∥，∴，由正弦定理可知，，其中R是外接圆的半径，∴.因此，为等腰三角形.…………………6分（Ⅱ）由题意可知，，即由余弦定理可知，即，(舍去)∴.…………………12分略。