2022年江西省吉安市思源实验学校高三数学理联考试卷含解析.docx

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2022年江西省吉安市思源实验学校高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知实数,，则“”是“”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C充分不必要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：C【分析】利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断.【详解】且，，等号成立的条件是，又，，等号成立的条件是,，反过来，当时，此时，但，不成立，“”是“”的充分不必要条件.故选:C【点睛】本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.2.已知是平面，是直线，下列命题中不正确的是（A）若∥，，则∥（B）若∥，，则（C）若，，则∥（D）若，，则．参考答案：答案：B 3.已知，现给出如下结论：①；②；③；④.其中正确结论的序号为：A.①③B.①④C.②④D.②③参考答案：D略4.若，则的取值范围是________.参考答案：略5.已知点．若曲线上存在两点，使为正三角形，则称为型曲线．给定下列三条曲线：①；②；③．其中，型曲线的个数是（）A．B．C．D．参考答案：C 6.函数的零点个数为A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B由得，在同一坐标系中做出函数的图象，由图象可知两函数的交点有1个，即函数的零点个数为1，选B.7.设、是非空集合，定义，己知，，则等于（）、、、、参考答案：A 8.对任意实数,若不等式恒成立,则实数的取值范围是()A．k≥1 B.k>1 C.k≤1 D.k<1参考答案：D略9.已知m＞0，n＞0，2m+n=1，则+的最小值为（）A．4 B．2 C．8 D．16参考答案：C【考点】7F：基本不等式．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵m＞0，n＞0，2m+n=1，则+=（2m+n）=4+≥4+2=8，当且仅当n=2m=时取等号．故选：C．10.已知点O为坐标原点，点，向量，是向量与i的夹角，则使得恒成立的实数t的最小值为()A.B.C.2 D.3参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若，满足，则的最大值为．参考答案：-2.作出不等式所表示的平面区域：，由此可知x+y在点P（2，2）处取得最小值为4，又因为函数在（0，）上是减函数，所以CMAX=，故应填入-2．12.函数与的图像关于直线对称，则.参考答案：4略13.等差数列中，已知，则的取值范围是参考答案：14.若等边△ABC的边长为1，平面内一点M满足，则=．参考答案：【知识点】向量的线性运算；向量的数量积.F1 F3解析：=.【思路点拨】用表示所求数量积中的向量，再用数量积公式求解.15.某工厂生产的、、三种不同型号的产品数量之比依次为,为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的、、三种产品中抽出样本容量为的样本，若样本中型产品有件，则的值为．参考答案：试题分析：因,故,应填.考点：分层抽样的方法和计算．16.在中，角所对的边分别为且，，若,则的取值范围是_____________.参考答案：由得，因为，所以由得.所以最大.因为，所以，即，所以，即，因为，所以，即，所以.因为，所以，所以，即，所以.，因为，所以，即，即，所以.即的取值范围是.【答案】【解析】17.同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖块.参考答案：100三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，平面ADE⊥平面CDEF，∠ADE＝60°，DE∥CF，CD⊥DE，AD＝2，DE＝DC＝3，CF＝4，点G是棱CF上的动点．（Ⅰ）当CG＝3时，求证EG∥平面ABF；（Ⅱ）求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角G﹣AE﹣D所成角的余弦值为，求线段CG的长．参考答案：（Ⅰ）证明见详解；（Ⅱ）；（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）通过证明直线AB∥EG，从而由线线平行推证线面平行；（Ⅱ）过A作DE垂线AO，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及直线的方向向量，从而求解线面角的正弦值；（Ⅲ）由（Ⅱ）中所建的直角坐标系，根据二面角G﹣AE﹣D所成角的余弦值，求得G点的坐标，即可求得CG的长度.【详解】（Ⅰ）证明：由已知得CG∥DE且CG＝DE，故四边形CDEG为平行四边形，∴CD∥EG，∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴AB∥EG，又EG?平面ABF，AB?平面ABF，∴EG∥平面ABF．（Ⅱ）过点A作AO⊥DE交DE于点O，过点O作OK∥CD交CF于点K由（1）知平面ADE⊥平面CDEF，平面ADE∩平面CDEF＝DE，AO?平面ADE，∴AO⊥平面CDEF，∵CD⊥DE，∴OK⊥DE，以O为原点建立如图的空间直角坐标系，则D（0，﹣1，0），E（0，2，0），C（3，﹣1，0），F（3，3，0），，D（0，﹣1，0），∴设平面ABCD的法向量为，即，令z＝﹣1，则，，∴直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为，（Ⅲ）由题意得，G（3，4λ﹣1，0）．∴，设平面AEG的法向量为，即，令y＝3，则，x＝3﹣4λ，∴，容易得平面AED的法向量为，故可得，解得，∴，∴|CG|＝λ|CF|＝4λ，∵|CG|≤4，∴．【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，以及由向量法求解线面角，利用二面角的大小求解线段的长度，属综合性中档题；本题的难点在于坐标系的选择.19.（本题满分12分）设三角形ABC的内角所对的边长分别为,,且.(Ⅰ)求角的大小;（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ，且边上的中线的长为,求的面积.参考答案：(Ⅰ)A＝；（Ⅱ）.１）由得1分所以2分则2sinBcosA=sinB 4分所以cosA=于是Ａ＝6分（2）由（1）知Ａ＝，又ＡＣ＝ＢＣ，所以C=7分设ＡＣ＝x,则ＭＣ＝，ＡＭ＝，在中，由余弦定理得9分即解得x=2 11分故13分20.已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）当a=0时，由f不等式可得|2x+1|≥x，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解此一元二次不等式求得原不等式的解集．（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令h（x）=|2x+1|﹣|x|，则h（x）=，求得h（x）的最小值，即可得到从而所求实数a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，由f（x）≥g（x）得|2x+1|≥x，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解得x≤﹣1或x≥﹣∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[﹣，+∞）（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令h（x）=|2x+1|﹣|x|，即h（x）=，故h（x）min=h（﹣）=﹣，故可得到所求实数a的范围为[﹣，+∞）．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，求函数的最值，属于中档题．21.已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与C交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．（1）若a=4，b=3，且ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；（2）若直线l1的方程为bx﹣ay=0，l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，证明：d12+d22=；（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意，直线l1和l2的方程为y=x和y=﹣x，利用，可得x12=x22=，根据对称性，求出正方形的面积；（2）利用距离公式，结合d12+d22为定值，即可证明结论；（3）设出切线AC的方程与椭圆方程联立，分类讨论，即可求a，b满足的关系式．【解答】解：（1）由题意，直线l1和l2的方程为y=x和y=﹣x，设A（x1，y1），B（x2，y2）为方程组的解，可得x12=x22=，根据对称性，正方形的面积S=4x12=；（2）设l1的方程为y=kx（k≠0），l2的方程为y=﹣kx，设P（x0，y0），d12+d22=+=为定值，∴k=±，∴d12+d22=；（3）设AC与圆x2+y2=1相切的切点坐标为（x0，y0），于是切线AC的方程为x0x+y0y=1 A（x1，y1），C（x2，y2）为x0x+y0y=1与椭圆联立的方程（b2y02+a2x02）x2﹣2x0a2x+a2（1﹣b2y02）=0的解，①x0=0或y0=0时，ACBD为正方形，椭圆过点（1，1），∴+=1；②x0≠0且y0≠0时，x1x2=，同理y1y2=，∵ACBD为菱形，∴AO⊥CO，∴x1x2+y1y2=0，∴+=0，∵x02+y02=1，∴a2+b2=a2b2，∴+=1．综上所述，+=1．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.(本小题满分12分)某校高三（1）班共有名学生，他们每天自主学习的时间全部在分钟到分钟之间，按他们学习时间的长短分个组统计得到如下频率分布表：分组频数频率[180,210）[210,240）[240,270）[270,300）[300,330）（Ⅰ）求分布表中，的值；（Ⅱ）某兴趣小组为研究每天自主学习的时间与学习成绩的相关性，需要在这名学生中按时间用分层抽样的方法抽取名学生进行研究，问应抽取多少名第一组的学生？（III）已知第一组的学生中男、女生均为人．在（2）的条件下抽取第一组的学生，求既有男生又有女生被抽中的概率。参考答案：解：（Ⅰ），．……4分（Ⅱ）设应抽取名第一组的学生，则得．故应抽取名第一组的学生．……………………6分（III）在（II）的条件下应抽取名第一组的学生．记第一组中名男生为，名女生为．按时间用分层抽样的方法抽取名第一组的学生共有种等可能的结果，列举如下：．……………………………9分其中既有男生又有女生被抽中的有这种结果，………10分所以既有男生又有女生被抽中的概率为………………………12分略。