幂法是求方阵最大特征值及对应特征向量.doc

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幂法是求方阵的最大特征值及对应特征向量幂法设An有n个线性相关的特征向量v1，v2，…，vn，对应的特征值l1，l2，…，ln，满足|l1|>|l2|³…³|ln|(3.2.1)1.基本思想因为{v1，v2，…，vn}为Cn的一组基，所以任给x(0)¹0，——线性表示所以有若a1¹0，则因知，当k充分大时A(k)x(0)»l1ka1v1=cv1属l1的特征向量另一方面，记max(x)=xi，其中|xi|=||x||¥，则当k充分大时，若a1=0，则因舍入误差的影响，会有某次迭代向量在v1方向上的分量不为0，迭代下去可求得l1及对应特征向量的近似值。2.规范化在实际计算中，若|l1|>1则|l1ka1|®¥，若|l1|<1则|l1ka1|®0都将停机。须采用“规范化”的方法，k=0，1，2，…定理3.2-1任给初始向量有，证明：而注：若的特征值不满足条件(3.2.1)，幂法收敛性的分析较复杂，但若l1=l2=…=l r且|l1|>|l r+1|³…³|ln|则定理结论仍成立。此时不同初始向量的迭代向量序列一般趋向于l1的不同特征向量。3.算法求maxa(x)的流程，设数组x(n)数向量x的n个分量数组x=[n]k=1for(i=2 to n,i++)若|x[i]|>|x[k]|Tk=imax=x[k]幂法流程：输入数组x0,eps,A x1=x0y=x1/maxa(x1)x0=Ay|maxa(x1)–maxa(x0)|<eps输出y,maxa(x0)例1，用幂法求的最大模特征值及对应特征向量见P312 function y=maxa(x)k=1;n=length(x);for i=2:n if(abs(x(i))>abs(x(k)),k=i;end;end;y=x(k);A=[2,4,6;3,9,15;4,16,36];x0=[1;1;1];y=x0/maxa(x0)x1=A*y while(abs(maxa(x1)-maxa(x0)))>0.001 x0=x1;y=x0/maxa(x0)x1=A*y end;y maxa(x1)。