【备考2014 志鸿优化设计】2013版中考数学总复习第18讲梯形（基础讲练锁定考试目标导学必备知识探究重难方法）（含解析）北师大版.doc

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第18讲梯形考纲要求备考指津1.了解梯形的有关概念与分类，掌握梯形的性质与判定．2.能灵活添加辅助线，把梯形问题转化为三角形、平行四边形的问题来解决.

等腰梯形的性质和判定是中考考查的重点，实际问题中往往和特殊三角形、特殊四边形的知识结合在一起综合运用．考点一梯形的有关概念及分类1．一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．平行的两边叫做底，两底间的距离叫做梯形的高．2．两腰相等的梯形叫做等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．3．梯形的分类梯形4．梯形的面积等于(上底＋下底)×高．考点二等腰梯形的性质与判定1．性质：(1)等腰梯形的两腰相等，两底平行．(2)等腰梯形同一底上的两个角相等．(3)等腰梯形的对角线相等．(4)等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴．2．判定：(1)两腰相等的梯形是等腰梯形．(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．(3)对角线相等的梯形是等腰梯形．考点三梯形问题的解决方法梯形问题常通过三角形或平行四边形来解答，转化时常用的辅助线有：1．平移一腰，即从梯形的一个顶点作另一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形．2．过顶点作高，即从同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个直角三角形．3．平移一条对角线，即从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形．4．延长梯形两腰使它们相交于一点，把梯形转化成三角形．5．过一腰中点作辅助线．(1)过此中点作另一腰的平行线，把梯形转化成平行四边形；(2)连接一底的端点与一腰中点，并延长与另一底的延长线相交，把梯形转化成三角形．1．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，∠C＝60°，AD＝4，AB＝3，则下底BC的长为__________．2．等腰梯形的上底是4 cm，下底是10 cm，一个底角是60°，则等腰梯形的腰长是__________cm.3．梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点A′处，若∠A′BC＝20°，则∠A′BD的度数为()．A．15°B．20°C．25°D．30°4．已知梯形的上底长为2，下底长为5，一腰长为4，则另一腰长x的取值范围是__________．5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝4.求∠B的度数及AC的长．一、一般梯形的性质【例1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD＝CD，∠BDC＝90°，AD＝3，BC＝8，求AB的长．解：如图，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F.∴AE∥DF，∠AEF＝90°.∵AD∥BC，∴四边形AEFD是矩形．∴EF＝AD＝3，AE＝DF.∵BD＝CD，DF⊥BC，∴DF是△BDC边BC上的中线．∵∠BDC＝90°，∴DF＝BC＝BF＝4.∴AE＝4，BE＝BF－EF＝4－3＝1.在Rt△ABE中，AB2＝AE2＋BE2，∴AB＝＝.通过作辅助线，构造平行四边形和三角形，从而把分散的条件归结到平行四边形或三角形中．二、等腰梯形的性质与判定【例2】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD，BD⊥CD．(1)求sin∠DBC的值；(2)若BC长度为4 cm，求梯形ABCD的面积．解：(1)∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD．∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB＝∠ABD．∵在梯形ABCD中，AB＝CD，∴∠ABD＋∠DBC＝∠C＝2∠DBC．∵BD⊥CD，∴3∠DBC＝90°.∴∠DBC＝30°.∴sin∠DBC＝.(2)如图，过点D作DF⊥BC于F.在Rt△CDB中，BD=BC·cos∠DBC=2，在Rt△BDF中，DF=BD·sin∠DBC=，在Rt△DFC中，∵∠C=60°，∴CD=2.∴AD=2.∴S梯形ABCD=×(2+4)×=3(cm2)．在应用等腰梯形性质时，常通过作出两高，平移一腰，延长两腰等辅助线将等腰梯形转化为三角形、平行四边形、矩形等来解决．如图，在等腰梯形ABCD中，∠C=60°，AD∥BC，且AD=DC，E，F分别在AD，DC的延长线上，且DE=CF，AF，BE交于点P.(1)求证：AF=BE；(2)请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论．三、梯形问题的转化【例3】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B＝45°，AD＝，BC＝4，求DC的长．分析：由于△ABC是等腰直角三角形，且BC＝4，可得出BC边上的高．只要通过平移腰CD，就可与BC边上的高构成直角三角形，从而求出CD．解：过A作AE∥DC交BC于E，过A作AF⊥BC于F，如图所示．∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD为平行四边形．∴AE＝DC，AD＝EC＝.又∵AB⊥AC，∠B＝45°，BC＝4，∴AB＝AC＝4.∴AF＝BF＝2.∴EF＝BC－BF－EC＝.在Rt△AFE中，AE＝＝＝，即DC＝.解决梯形问题作辅助线的方法要结合题目的条件和要证结论的需要灵活运用．若题中已知两对角线的条件，可考虑平移对角线，使两对角线在同一个三角形中；若已知两腰的某些条件，可考虑平移一腰；若已知两底角互余，可平移一腰或延长两腰构成直角三角形；若要求梯形的面积，常作出梯形的高．1．(2012安徽)在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2,4,3，则原直角三角形纸片的斜边长是()．A．10 B．4 C．10或4 D．10或2 2．(2011湖南邵阳)如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BC，∠B＝60°，BC＝2 cm，则上底DC的长是__________cm.3．(2011广东湛江)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90°，CD＝5，AB＝11，点M，N分别为AB，CD的中点，则线段MN＝__________.4．(2012四川南充)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上的一点，且CE＝CD．求证：∠B＝∠E.1．梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝1，BC＝4，∠C＝70°，∠B＝40°，则AB的长为()．A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC⊥BC，∠B＝60°，BC＝2 cm，则梯形ABCD的面积为()．A．3 cm2 B．6 cm2 C．6 cm2 D．12 cm2 3．把长为8 cm的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为6 cm2，则打开后梯形的周长是()．A．(10＋2)cm B．(10＋)cm C．22 cm D．18 cm 4．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AB＝1 cm，AD＝6 cm，CD＝9 cm，则BC＝______cm.5．直角梯形两腰的比为1∶2，则它的内角中锐角的度数为__________．6．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠DCB＝90°，AB＝25 cm，BC＝24 cm，将该梯形折叠，点A恰好与点D重合，BE为折痕，那么梯形ABCD的面积为__________cm2.7．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于点O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AD＝4，BC＝8，则AE＋EF等于__________．8．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，过点C作CE⊥AC且与AB的延长线交于点E，求证：四边形AECD是等腰梯形．参考答案基础自主导学自主测试1．102.63.C4.1＜x＜7 5．解：分别作出AF⊥BC，DG⊥BC，F，G是垂足，如下图，∴∠AFB＝∠DGC＝90°.∵AD∥BC，∴四边形AFGD是矩形．∴AF＝DG.∵AB＝DC，∴Rt△AFB≌Rt△DGC.∴BF＝CG.∵AD＝2，BC＝4，∴BF＝1.在Rt△AFB中，∵cos B＝＝，∴∠B＝60°.∵BF＝1，∴AF＝.∵FC＝3，由勾股定理得AC＝2，即∠B＝60°，AC＝2.规律方法探究变式训练解：(1)证明：∵BA＝CD，AD＝CD，∴BA＝AD，∠BAE＝∠ADF.∵DE＝CF，AD＝DC，∴AE＝DF，∴△BAE≌△ADF.∴BE＝AF.(2)解：猜想∠BPF＝120°.由(1)知△BAE≌△ADF，∴∠ABE＝∠DAF.∴∠BPF＝∠ABE＋∠BAP＝∠BAE.而AD∥BC，∠C＝∠ABC＝60°.∴∠BPF＝120°.知能优化训练中考回顾1．C2.23.3 4．证明：∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E.∵AD∥BC，∴∠CDE＝∠DCB.∴∠E＝∠DCB.∵AB＝DC，∴∠B＝∠DCB，∴∠B＝∠E.模拟预测1．B2.A3.A 4．105.30°6.384 7．10 8．证明：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴∠CAE＝∠DAB＝30°.又∵CE⊥AC，∴∠E＝60°＝∠CBE.∴CE＝BC＝AD.∵CD∥AE，AE＝AB＋BE＝DC＋BE≠DC，∴四边形AECD是等腰梯形．。