陕西省西安市户县电厂中学高三数学理测试题含解析.docx

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陕西省西安市户县电厂中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在中，，，，且的面积为，则等于（）A、或B、C、D、或参考答案：B 2.已知正三棱锥A﹣BCD的外接球半径R=，P，Q分别是AB，BC上的点，且满足=5，DP⊥PQ，则该正三棱锥的高为（）A．B．C．D．2参考答案：A【考点】棱锥的结构特征．【分析】将正三棱锥A﹣BCD补成一个正方体，则正方体的体对角线就是其外接直径，由正方体的性质知正方体的体对角线的三分之一即为该正三棱锥的高，由此能求出该正三棱锥的高．【解答】解：∵正三棱锥中对棱互相垂直，∴AC⊥BD，∵P，Q分别是AB，BC上的点，且满足==5，∴PQ∥AC，∵DP⊥PQ，∴DP⊥AC，∴AC⊥平面ABD，又∵该三棱锥是正三棱锥，∴正三棱锥A﹣BCD的三条侧棱相等且互相垂直，将正三棱锥A﹣BCD补成一个正方体，则正方体的体对角线就是其外接直径，故2R=，由正方体的性质知正方体的体对角线的三分之一即为该正三棱锥的高，该正三棱锥的高为．故选：A．【点评】本题考查正三棱锥的高的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．3.设，在约束条件下，目标函数的最大值小于2，则的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：A略4.已知矩形ABCD中，，BC=1，则=()A．1 B．﹣1 C．D．参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】法一、以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，得到点的坐标，进一步求得向量的坐标得答案；法二、以为基底，把用基底表示，则可求．【解答】解：法一、如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），，，D（0，1），∴，，则．故选：A．法二、记，，则，，，∴=．故选：A．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，解答此类问题常用两种方法，即建系法或利用平面向量基本定理解决，建系法有时能使复杂的问题简单化，是中档题．5.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如上图所示，该四棱锥侧面积和体积分别是（）A.8,8 B.C.D.参考答案：D 6.已知，那么(）A．B。C。D。参考答案：C 7.已知某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是边长为1的正方形，俯视图是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（）A．2 B．1 C．D．参考答案：C考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱；结合图中数据求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的直三棱柱；且该三棱柱的底面是边长为1的等腰直角三角形1，高为1；所以，该三棱柱的体积为V=Sh=×1×1×1=．故选：C．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目8.球O与棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个面都相切，点M为棱DD1的中点，则平面ACM截球O所得截面的面积为（）A．B．πC．D．参考答案：D【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】求出圆心到截面距离，利用d2+r2=1求出截面半径，即可求出截面的面积．【解答】解：设圆心到截面距离为d，截面半径为r，由VO﹣ACM=VM﹣AOC，即，∴，又d2+r2=1，∴，所以截面的面积为．故选D．9.在三角形ABC中，设点满足，若，A B C D 2参考答案：B 10.已知函数的定义域是，则函数的定义域为A．B．C．D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若x，y满足，且z=2x+y的最大值为4，则k的值为．参考答案：﹣【考点】简单线性规划．【专题】综合题；数形结合；综合法；不等式的解法及应用．【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用目标函数的几何意义，求出求出直线2x+y=4与y=0相交于B（2，0），即可求解k值．【解答】解：先作出不等式组对应的平面区域，如图示：直线kx﹣y+3=0过定点（0，3），∵z=2x+y的最大值为4，∴作出直线2x+y=4，由图象知直线2x+y=4与y=0相交于B（2，0），同时B也在直线kx﹣y+3=0上，代入直线得2k+3=0，即k=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查的知识点是线性规划，考查画不等式组表示的可行域，考查数形结合求目标函数的最值．12.如图4，点是圆上的点，且，则圆的面积等于____________．参考答案：8π略13.函数的最小正周期是．参考答案：π【考点】二阶矩阵；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题．【分析】先根据二阶行列式的公式求出函数的解析式，然后利用二倍角公式进行化简，最后根据正弦函数的周期公式进行求解即可．【解答】解：=sinxcosx+2=sin2x+2∴T==π∴函数的最小正周期是π故答案为：π【点评】本题主要考查了二阶行列式，以及三角函数的化简和周期的求解，同时考查了运算求解能力，属于基础题．14.设直线的倾斜角为，则___________.参考答案：15.设为锐角，若，则的值为▲．参考答案：16.等差数列的首项为1，公差不为0，且成等比数列，则______.参考答案：－24 17.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，其向上的点数和为6的概率是__________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分15分）已知函数.（1）若g(2)=2，讨论函数h(x)的单调性；（2）若函数g(x)是关于x的一次函数，且函数h(x)有两个不同的零点x1,x2.①求b的取值范围；②求证：.参考答案：（1）见解析（2）①（，0）②见解析知识点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．解析：解：（1）∵g(2)=2∴a-b=1∴，其定义域为（0，+），，（Ⅰ）若a0,则函数h(x)在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+）上单调减.（Ⅱ）若a<0,令得，①当a<-1时，则，所以函数h(x)在区间（0,）上单调增；在区间（1,+）上单调增；在区间（,1）上单调减.②当a=-1时，所以函数h(x)在区间（0，+）单调减.③当-1<a<0时，则，所以函数h(x)在区间（0,1）上单调增；在区间（,+）上单调增；在区间（1,）上单调减.（2）∵函数g(x)是关于x的一次函数，∴，其定义域为（0，+）①由得，记，则∴在单调减，在单调增，∴当时取得最小值，又，所以时，而时，∴b的取值范围是（，0），②由题意得，∴∴，不妨设x1<x2，要证,只需要证，即证，设，则，∴，∴函数在（1，+）上单调增，而，所以即，∴.思路点拨：（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可判断f（x）的单调性；（2）当a=0时，若函数f（x）有两个不同的零点，①利用数形结合即可求b的取值范围；②求函数的导数，构造函数，根据x1、x2为函数f（x）的两个不同的零点，即可证明不等式．19.已知函数f（x）=xlnx﹣x2（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数g（x）=f（x）﹣x有两个极值点x1、x2，是否存在实数a，使得=g′（a）成立，若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出导数，求得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）求出g（x）的导数，由题意可得即g′（x）=0有两个不同的实根．设h（x）=lnx﹣ax，求出导数，对a讨论，当a≤0时，当a＞0时，求得单调区间得到最大值，令最大值大于0，解得a的范围0＜a＜，即可判断不存在实数a．【解答】解：（1）若a=2，则f（x）=xlnx﹣x2，导数f′（x）=1+lnx﹣2x，又f（1）=﹣1，f′（1）=﹣1，即有曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+1=﹣（x﹣1），即为y=﹣x；（2）g′（x）=f′（x）﹣1=lnx﹣ax，g（x）=f（x）﹣x有两个极值点x1、x2，即g′（x）=0有两个不同的实根．设h（x）=lnx﹣ax，h′（x）=﹣a，当a≤0时，h′（x）＞0，h（x）递增，g（x）=0不可能有两个实根；当a＞0时，若0＜x＜，h′（x）＞0，h（x）递增，若x＞，h′（x）＜0，h（x）递减．则h（）取得极大值，也为最大值，且为﹣1﹣lna＞0，即有0＜a＜，g′（a）=lna﹣a2＜0，不妨设x2＞x1＞0，g′（x1）=g′（x2）=0，lnx1﹣ax1=lnx2﹣ax2=0，lnx1﹣lnx2=a（x1﹣x2），即=a＞0，故不存在实数a，使得=g′（a）成立．20.（本小题共13分）定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列．对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”．（Ⅰ）已知是首项为，公差为的等差数列，若是数列的“保三角形函数”，求的取值范围；（Ⅱ）已知数列的首项为，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列；（Ⅲ）若是（Ⅱ）中数列的“保三角形函数”，问数列最多有多少项?(解题中可用以下数据:)参考答案：（Ⅰ）显然对任意正整数都成立，即是三角形数列．因为，显然有，由得解得.所以当时，是数列的保三角形函数.…………………3分（Ⅱ）由，得，两式相减得，所以……ks5u……5分经检验，此通项公式满足.显然,因为,所以是三角形数列.…………………8分（Ⅲ）,所以是单调递减函数.由题意知，①且②,由①得，解得,由②得，解得.即数列最多有26项.ks5u………13分21.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，已知，圆是的外接圆，，是圆的直径．过点作圆的切线交的延长线于点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若,，求的面积．参考答案：见解析考点：圆相似三角形（Ⅰ）连接AE，∵CE是直径，∴，又，∴，∵，故，∴，∴又，∴.（Ⅱ）是的切线，在和中，，，，设，则根据切割线定理有，，.22.（本小题满分12分）已知函数f(x)=cos4x-2sin xcos x-sin4x.（1）求f(x)的最小正周期；（2）若x∈,求f(x)的最大值及最小值.（3）若函数g(x)=f(-x),求g(x)的单调增区间；参考答案：（1）由题知f(x)=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin 2x=cos 2x-sin 2x=所以f(x)的最小正周期T.(2)因为x∈,所以2x-∈,所以f(x)∈［-,1］.所以当x=0时，f(x)的最大值为1；当x=时，f(x)的最小值为-.（3）由2kπ-≤≤2kπ+，解得kπ-≤x≤kπ+，函数f(x)的单调减区间为[kπ-，kπ+](k∈Z).由2kπ+≤≤2kπ+,解得kπ+≤x≤kπ+,函数f(x)的单调增区间为[kπ+,kπ+](k∈Z).注意：其它的解题方案导致其它的解题结果。