2018年北京市合格性考试数学模拟试题18页.doc

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2018北京市合格性考练习题（一）数学第一部分选择题（每小题3分，共75分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的1.设全集，集合，，则（）2.函数的最小正周期是（）3.下列四个函数中，在区间上是减函数的是（）4.若，且为锐角，则的值等于（）5.不等式的解集是（）6.在中，,,,则（）或或7.如果函数的图象经过点，则=（）1 0 8.已知过点，的直线与直线平行，则的值为（）10 9.已知二次函数，那么（）10.实数的值为（）1 2 3 4 11.已知向量,，则（）12.若函数，则的最大值为（）6 7 8 9 13.直线,是不同的直线，平面,是不同的平面，下列命题正确的是（）直线平面，直线平面，则直线直线直线平面，直线平面，则直线直线直线直线,直线平面，直线平面,则平面直线直线,直线平面，直线平面,则直线平面14．过点并且与直线垂直的直线方程是（）15.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）35 25 15 7 16.从这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是奇数的概率是（）17.已知，，是线段的中点，那么向量的坐标是（）18.在中，，则角为（）19.如图,一个空间几何体的正视图(或称主视图)与侧视图（或称左视图）为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为的圆，那么这个几何体的全面积为()20．点在直线上，则的最小值是（）21.如图，在中，,,,则()22．一天，某人要去公安局办理护照，已知公安局的工作时间为9：00至17：00，设此人在当天13：00至18：00之间任何时间去公安局的可能性相同，那么此人去公安局恰好能办理护照的概率是（）23.已知函数是定义在上的增函数，当时，．若，其中，则（）24.某同学为研究函数（）的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形和，点是边上的一个动点，设，则.则参考上述信息，得到函数的零点的个数是（）25.某航空公司经营A、B、C、D这四个城市之间的客运业务.它的部分机票价格如下：A—B为元；A—C为元；A—D为元；B—C为元；C—D为元.若这家公司规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B—D的机票价格为()（注：计算时视A、B、C、D四城市位于同一平面内）元元元元第二部分解答题（共25分）26.（本小题满分6分）如图，在正四棱柱中，为底面的对角线，为的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：.27．（本小题满分6分）已知函数，，点是角终边上一点，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，求在上的最大值和最小值.28.（本小题满分6分）已知点及圆：.（Ⅰ）求圆心的坐标及半径的大小；（Ⅱ）设过点的直线与圆交于．两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．29.（本小题满分7分）某地今年上半年空气污染较为严重，该地环保监测机构对近期每天的空气污染情况进行调查研究后发现，每一天中空气污染指数与时刻（时）的函数关系为：，.其中为空气治理调节参数，且.（Ⅰ）若，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；（Ⅱ）规定每天中的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过，则调节参数应控制在什么范围内？数学试题答案题号12345678910答案ABDCDBACAC题号11121314151617181920答案DCDBCDACBC题号2122232425答案BDCCD 26.证明：（Ⅰ）连接交于,O在正四棱柱中底面是正方形.所以.又因为为正四棱柱，所以底面.又底面，所以.因为，，平面，所以平面.又因为平面，所以.…………………3分（Ⅱ）因为底面是正方形，所以为中点.又因为为中点，所以为的中位线.所以.又平面，平面，所以平面.…………………6分27.解：（Ⅰ）因为点是角终边上一点，所以，所以，所以.…………………2分（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,.所以.所以因为,所以.所以，当，即时，的最大值为；当，即时，的最小值为.…………………6分28.解：（Ⅰ）因为，所以，所以圆的圆心坐标为,半径为.…………………2分（Ⅱ）设圆心到直线的距离为.由圆圆心是，半径为，及垂径定理得，解得.注意到圆心到点的距离为，所以为中点.所以，以为直径的圆，即为以为圆心半径为的圆.所以圆的方程为.…………………4分（Ⅲ）若过点的直线垂直平分弦，则直线必过圆心，所以，所以直线的斜率为，所以.所以直线方程为,即.计算圆心到直线的距离，所以，不存在实数使得过点的直线垂直平分弦.……………6分29.解：（Ⅰ）当时，则，当该地的空气污染指数最低时，即时，.所以，解得.所以一天中，点时该地区的空气污染指数最低.…………………2分（Ⅱ）设,，，则当时，，即显然在上是减函数，在上是增函数，则.因为，，若，解得，若，解得.所以又因为要使该地区每天的空气污染指数不超过3，即.②当时，，符合要求；②当时，由,得，故.综上所述，调节参数应控制在内.…………………7分。