定积分与微积分基本定理（理）含答案版(共11页).doc

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定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是()A．S＝(x2－x)dx B．S＝(x－x2)dx C．S＝(y2－y)dy D．S＝(y－)dy[答案]B[分析]根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．[解析]两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y＝x2与y＝x所围成图形的面积S＝(x－x2)dx.2．如图，阴影部分面积等于()A．2 B．2－C.D.[答案]C[解析]图中阴影部分面积为S＝(3－x2－2x)dx＝(3x－x3－x2)|＝.3.dx＝()A．4πB．2πC．πD.[答案]C[解析]令y＝，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S＝×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是()A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．在t1时刻，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面[答案]A[解析]判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t0时刻，v甲的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积大于v乙的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C，D错误；同样，在t1时刻，v甲的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，仍然大于v乙的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．向平面区域Ω＝{(x，y)|－≤x≤，0≤y≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y＝cos2x下方的概率是()A.B.C.－1 D.[答案]D[解析]平面区域Ω是矩形区域，其面积是，在这个区6．的值是()A．0B.C．2D．－2[答案]D[解析]＝＝－2.7．(2－|1－x|)dx＝________.[答案]3[解析]∵y＝，∴(2－|1－x|)dx＝(1＋x)dx＋(3－x)dx＝(x＋x2)|＋(3x－x2)|＝＋＝3.9．已知a＝，则二项式(a－)6的展开式中含x2项的系数是________．[答案]－192[解析]由已知得a＝＝(－cosx＋sinx)|0＝(sin－cos)－(sin0－cos0)＝2，(2－)6的展开式中第r＋1项是Tr＋1＝(－1)r×C×26－r×x3－r，令3－r＝2得，r＝1，故其系数为(－1)1×C×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y＝x2相交于A、B两点，线段AB与抛物线所围成图形的面积恒等于，求线段AB的中点P的轨迹方程．[解析]设直线与抛物线的两个交点分别为A(a，a2)，B(b，b2)，不妨设a<b，则直线AB的方程为y－a2＝(x－a)，即y＝(a＋b)x－ab.则直线AB与抛物线围成图形的面积为S＝[(a＋b)x－ab－x2]dx＝(x2－abx－)|＝(b－a)3，∴(b－a)3＝，解得b－a＝2.设线段AB的中点坐标为P(x，y)，其中将b－a＝2代入得消去a得y＝x2＋1.∴线段AB的中点P的轨迹方程为y＝x2＋1.能力拓展提升11.等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝4xdx，则公比q的值为()A．1 B．－C．1或－D．－1或－[答案]C[解析]因为S3＝4xdx＝2x2|＝18，所以＋＋6＝18，化简得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－，故选C.12．已知(xlnx)′＝lnx＋1，则lnxdx＝()A．1 B．e C．e－1 D．e＋1[答案]A[解析]由(xlnx)′＝lnx＋1，联想到(xlnx－x)′＝(lnx＋1)－1＝lnx，于是lnxdx＝(xlnx－x)|＝(elne－e)－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y2＝2x与直线y＝4－x围成的平面图形的面积为________．[答案]18[解析]由方程组解得两交点A(2,2)、B(8，－4)，选y作为积分变量x＝、x＝4－y，∴S＝[(4－y)－]dy＝(4y－－)|＝18.14.已知函数f(x)＝ex－1，直线l1：x＝1，l2：y＝et－1(t为常数，且0≤t≤1)．直线l1，l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S2表示．直线l2，y轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S1表示．当t变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案](－1)2[解析]由题意得S1＋S2＝(et－1－ex＋1)dx＋(ex－1－et＋1)dx＝(et－ex)dx＋(ex－et)dx＝(xet－ex)|＋(ex－xet)|＝(2t－3)et＋e＋1，令g(t)＝(2t－3)et＋e＋1(0≤t≤1)，则g′(t)＝2et＋(2t－3)et＝(2t－1)et，令g′(t)＝0，得t＝，∴当t∈[0，)时，g′(t)<0，g(t)是减函数，当t∈(，1]时，g′(t)>0，g(t)是增函数，因此g(t)的最小值为g()＝e＋1－2e＝(－1)2.故阴影部分的面积的最小值为(－1)2.15．求下列定积分．(1)－1|x|dx;(2)cos2dx；(3)∫dx.[解析](1)－1|x|dx＝2xdx＝2×x2|＝1.(2)cos2dx＝dx＝x|＋sinx|＝.(3)∫dx＝ln(x－1)|＝1.16．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，求a的值．[解析]f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f′(0)＝0，∴b＝0，∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a<0)．∴S阴影＝[0－(－x3＋ax2)]dx＝(x4－ax3)|＝a4＝，∵a<0，∴a＝－1.1．已知函数f(x)＝sin5x＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求的值，结果是()A.＋B．πC．1 D．0[答案]B[解析]＝sin5xdx＋1dx，由于函数y＝sin5x是奇函数，所以sin5xdx＝0，而1dx＝x|－＝π，故选B.2．若函数f(x)＝的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a，则a的值为()A.B.C．1 D.[答案]D[解析]由图可知a＝＋cosxdx＝＋sinx|0＝.3．对任意非零实数a、b，若a⊗b的运算原理如图所示，则⊗sinxdx＝________.[答案][解析]∵sinxdx＝－cosx|＝2>，∴⊗sinxdx＝⊗2＝＝.4．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．[答案][解析]f(x)dx＝(ax2＋c)dx＝(＋cx)|＝＋c，故＋c＝ax＋c，即ax＝，又a≠0，所以x＝，又0≤x0≤1，所以x0＝.故填.5．设n＝(3x2－2)dx，则(x－)n展开式中含x2项的系数是________．[答案]40[解析]∵(x3－2x)′＝3x2－2，∴n＝(3x2－2)dx＝(x3－2x)|＝(23－2×2)－(1－2)＝5.∴(x－)5的通项公式为Tr＋1＝Cx5－r(－)r＝(－2)rCx，令5－＝2，得r＝2，∴x2项的系数是(－2)2C＝40.