吉林省长春市朝鲜族中学2018-2019学年高二上期末质量检测理科数学试题（解析版）.docx

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吉林省长春市朝鲜族中学2018-2019学年高二上期末质量检测理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共分）1.在等差数列{an}中，已知a4=3，a12=19，则公差d为()A.2 B.1 C.-2 D.-1【答案】A【解析】解：∵在等差数列{an}中，a4=3，a12=19，∴公差d=19-312-4=168=2．故选：A．利用等差数列的通项公式直接求解．本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.在△ABC中，AB=AC=2，且∠B=π6，则边BC=()A.2 B.4 C.3 D.23【答案】D【解析】解：∵AB=AC=2，且∠B=π6，∴∠C=∠B=π6，∠A=2π3，∴由正弦定理ACsin∠B=BCsin∠A，可得：2sinπ6=BCsin2π3，可得：BC=2×3212=23．故选：D．由已知利用等腰三角形的性质可求∠A=2π3，由正弦定理即可解得BC的值．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．3.在等比数列{an}中，已知公比q=2，前n项和为Sn，若S2=3，S3=7，则它的前5项之和S5为()A.62 B.15 C.31 D.21【答案】C【解析】解：在等比数列{an}中，公比q=2，前n项和为Sn，S2=3，S3=7，∴a1(1-22)1-2=3a1(1-23)1-2=7，解得a1=1，∴它的前5项之和S5=1×(1-25)1-2=31．故选：C．利用等比数列前n项和公式列方程组，求出a1=1，由此能求出它的前5项之和S5．本题考查年平均增长率的求法，考查年平均增长率的性质、计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b=23,a=2，∠B=60∘，则∠A=()A.120∘B.60∘C.45∘D.30∘【答案】D【解析】解：在△ABC中，由正弦定理得asinA=bsinB，∴sinA=asinBb=2×3223=12．∵a<b，∴A<B，即A是锐角．∴A=30∘．故选：D．由已知及正弦定理可求得sinA的值，由a<b，可知A是锐角，从而确定∠A的值．本题考查了正弦定理的应用，是基础题．5.已知椭圆x225+y216=1的两个焦点为F1，F2，过F1的直线与椭圆交于A，B两点，则△ABF2的周长为()A.20 B.10 C.16 D.8【答案】A【解析】解：根据椭圆的定义：|AF1|+|AF2|=2a=10；|BF1|+|BF2|=2a=10；△ABF1的周长为：|AB|+|AF1|+|BF1|=|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|=4a=20．故选：A．利用椭圆的定义：椭圆上的点到两焦点的距离之和为2a；把三角形的周长转化成椭圆上的点到焦点的距离问题解决．本题考查了椭圆的定义，解题的关键是把三角形的周长问题转化成椭圆上的点到焦点的距离问题，利用椭圆的定义解决．6.已知双曲线C的中心在坐标原点，渐近线方程为y=±2x，且它的个焦点为(5,0)，则双曲线C的实轴长为()A.1 B.2 C.4 D.25【答案】B【解析】解：双曲线C的中心在坐标原点，渐近线方程为y=±2x，且它的一个焦点为(5,0)，所以c=5，ba=2，可得c2-a2a2=4，解得a=1，所以双曲线的实轴长为2．故选：B．一条渐近线方程是y=±2x，焦点为(5,0)，转化求解双曲线的实轴长即可．本题给出焦点在x坐标轴上的双曲线满足的条件，求双曲线的标准方程.着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．7.下列命题中正确的是()A.若a，b∈R，则ba+ab≥2ba⋅ab=2 B.若x>0，则x+1x>2 C.若x<0，则x+4x≥-2x⋅4x=-4 D.若x∈R，则2x+2-x≥22x⋅2-x=2【答案】D【解析】解：A选项必须保证a，b，同号．B选项应取到等号，若x>0，则x+1x≥2，C选项应该为≤，故选：D．由基本不等式成立的条件，正、定、等，可知答案选D．本题考查基本不等式的性质，属于简单题．8.在等差数列{an}中，已知a2+a5+a12+a15=36，则S16=()A.288 B.144 C.572 D.72【答案】B【解析】解：a2+a5+a12+a15=2(a2+a15)=36，∴a1+a16=a2+a15=18，∴S16=16(a1+a16)2=8×18=144，故选：B．根据等差数列的性质和求和公式计算即可．本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，属于基础题9.含2n+1个项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为()A.2n+1n B.n+1n C.n-1n D.n+12n【答案】B【解析】解：依题意，奇数项的和S奇数=a1+a3+…+a2n+1=(n+1)(a1+a2n+1)2=(n+1)×2an+12=(n+1)an+1，同理可得S偶数=nan+1；∴S奇数S偶数=n+1n．故选：B．利用等差数列的求和公式与等差数列的性质即可求得该题中奇数项的和与偶数项的和之比．本题考查等差数列的性质，着重考查等差数列的求和公式与等差数列的性质的综合应用，属于中档题．10.已知点M在抛物线x2=4y上，则点M到直线y=x-3的最小距离为()A.1 B.2 C.2 D.3【答案】C【解析】解：设与直线y=x-3平行的直线方程为：y=x-m，设切点坐标(s,t)，x2=4y可得：y’=12x，可得12s=1，可得s=2，则t=1，所以点M到直线y=x-3的最小距离为：|2-3-1|2=2．故选：C．设出直线的平行线方程，利用函数的导数，求解切点坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．本题主要考查了抛物线的简单性质，两点距离公式的应用.解此类题设宜先画出图象，进而利用数形结合的思想解决问题．11.设a>1，则关于x的不等式(1-a)(x-a)(x-1a)<0的解集是()A.(-∞,a)∪(1a,+∞)B.(a,+∞)C.(a,1a)D.(-∞,1a)∪(a,+∞)【答案】D【解析】解：a>1时，1-a<0，且a>1a，则关于x的不等式(1-a)(x-a)(x-1a)<0可化为(x-a)(x-1a)>0，解得x<1a或x>a，所以不等式的解集为(-∞,1a)∪(a,+∞)．故选：D．根据题意，把不等式化为(x-a)(x-1a)>0，求出解集即可．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．12.已知直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于D，点D的坐标为(2,1)，则p的值为()A.52 B.23 C.54 D.32【答案】C【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，∵直线OD斜率为12，OD⊥AB，∴直线AB斜率为-2，故直线AB方程为2x+y-5=0…(1)将(1)代入抛物线方程得y2+py-5p=0，则y1y2=-5p，∵y12=2px1，y22=2px2，则(y1y2)2=4p2x1x2，故x1x2=254，∵OA⊥OB∴x1x2+y1y2=0，∵p>0，∴p=54．故选：C．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由直线OD斜率为12，OD⊥AB，知直线AB方程为2x+y-5=0，代入抛物线方程得y2+py-5p=0，从而得到y1y2=-5p，再由OA⊥OB，能求出p．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．二、填空题（本大题共4小题，共分）13.设x、y满足约束条件0≤x≤10≤y≤22y-x≥1，且z=2y-2x+4，则z的最大值为______．【答案】8【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2y-2x+4得y=x+z2-2，平移直线y=x+z2-2，由图象可知当直线y=x+z2-2经过点A(0,2)时，直线y=x+z2-2的截距最大，此时z最大，zmax=2×2+4=8．即z的最大值是8，故答案为：8．作出不等式组对应的平面区域，由z=2y-2x+4得y=x+z2-2，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．14.命题：“若A∪B=A，则A∩B=B”的否命题是______．【答案】若A∪B≠A则A∩B≠B【解析】解：“若A∪B=A，则A∩B=B”的否命题：“若A∪B≠A则A∩B≠B”故答案为：若A∪B≠A则A∩B≠B．对所给命题的条件和结论分别否定，即：A∪B≠A和A∩B≠B，作为否命题的条件和结论．本题考查了否命题的定义，属于基础题．15.已知定点A(2,0)和定直线l：x=12，若动点M到A、l的距离之比为2，则点M的轨迹方程为______．【答案】x2-y23=1【解析】解：由题意动点M(x,y)到定点(2,0)的距离与它到定直线l：x=12的距离之比为2，得(x-2)2+y2|x-12|=2，化简并整理，得x2-y23=1．∴动点M(x,y)的轨迹C的方程为：x2-y23=1；故答案为：x2-y23=1．利用动点M(x,y)到定点(2,0)的距离与它到定直线l：x=12的距离之比为2，列出方程化简并整理，即可得到动点M(x,y)的轨迹C的方程；本题考查轨迹方程的求法，训练了利用待定系数法求切线方程，属于中档题．16.一建筑物AB的底部B无法到达，为了测得此建筑物的高度，在地面C、D两处分别测得建筑物最高处A的仰角分别为α、β(α>β)，已知B、C、D三点共线，且C、D两处的距离为a米(不计测量工具的高度)，则建筑物的高度AB=______米.【答案】atanαtanβtanα-tanβ【解析】解：依题意画出图形，如图所示；在Rt△ABC中，BC=ABtanα，在Rt△ABD中，BD=ABtanβ，∴CD=BD-BC=ABtanβ-ABtanα=AB⋅tanα-tanβtanαtanβ=a，∴AB=atanαtanβtanα-tanβ(米)．故答案为：atanαtanβtanα-tanβ．依题意画出图形，利用直角三角形的边角关系，列方程求出AB的值．本题考查了解三角形的应用问题，是基础题．三、解答题（本大题共6小题，共分）17.设等差数列{an}(n=1,2，3，4，…)的前n项和为Sn，请利用倒序相加法，推导出等差数列前n项和公式．【答案】解：Sn=a1+a2+…+an-1+an，①∴Sn=an+an-1+…+a2+a1，②由①②可得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)=n(a1+an)，∴Sn=n(a1+an)2．【解析】根据倒序相加法推到即可．本题考查了倒序相加法，考查了运算求解能力，属于基础题．18.已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，acos(A+C)+bcosA=0．(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)若△ABC的周长为5，且cosC=78，求c的值．【答案】解：(1)∵acos(A+C)+bcosA=0，∴acos(π-B)+bcosA=0，可得：bcosA-acosB=0，∴由余弦定理可得：b⋅b2+c2-a22bc-a⋅a2+c2-b22ac=0，可得：a=b．∴△ABC的形状为等腰三角形．(2)∵a=b，△ABC的周长为a+b+c=5，可得：b=5-c2=a，∴由余弦定理可得：cosC=78=a2+b2-c22ab=2×(5-c2)2-c22×(5-c2)2，整理可得：3c2+2c-5=0，∴解得：c=1.(负值舍去)．【解析】(1)利用三角形内角和定理，诱导公式，余弦定理化简已知等式可得a=b，可得△ABC的形状为等腰三角形．(2)由a=b，△ABC的周长为a+b+c=5，可得b=5-c2=a，根据已知及余弦定理整理可得：3c2+2c-5=0，即可解得c的值．本题主要考查了三角形内角和定理，诱导公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4-a3=2(1)求{an}的通项公式；(2)设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？【答案】解：(I)设等差数列{an}的公差为d．∵a4-a3=2，所以d=2∵a1+a2=10，所以2a1+d=10∴a1=4，∴an=4+2(n-1)=2n+2(n=1,2，…)(II)设等比数列{bn}的公比为q，∵b2=a3=8，b3=a7=16，∴b1q2=16b1q=8∴q=2，b1=4∴b6=4×26-1=128，而128=2n+2∴n=63∴b6与数列{an}中的第63项相等【解析】(I)由a4-a3=2，可求公差d，然后由a1+a2=10，可求a1，结合等差数列的通项公式可求(II)由b2=a3=8，b3=a7=16，可求等比数列的首项及公比，代入等比数列的通项公式可求b6，结合(I)可求本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用，属于对基本公式应用的考查，试题比较容易．20.已知点M在以F为焦点的抛物线C：y2=4x上，且在第一象限内，若|MF|=3．(1)求直线MF的方程；(2)若线段MF的垂直平分线交x轴于点N，求△MNF的面积．【答案】解：(1)抛物线C：y2=4x的焦点F(1,0)，准线方程为x=-1，|MF|=xM+1=3，即M(2,22)，直线MF的斜率为22，方程为y=22(x-1)；(2)MF的中点为(32,2)，MF的垂直平分线的斜率为-24，垂直平分线方程为y-2=-24(x-32)，令y=0，可得x=112，即N(112,0)，△MNF的面积为12⋅(112-1)⋅22=922．【解析】(1)求得F的坐标和准线方程，运用抛物线的定义可得M的坐标，MF的斜率和方程；(2)求得MF的中点和垂直平分线的斜率，可得垂直平分线的方程，令y=0可得N的坐标，由三角形的面积公式可得所求值．本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查直线方程的运用，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．21.若不等式kx2-2x+6k<0(k≠0)．(1)若不等式解集是{x|x<-3或x>-2}，求k的值；(2)若不等式解集是R，求k的取值．【答案】解：(1)∵不等式kx2-2x+6k<0(k≠0)．不等式解集是{x|x<-3或x>-2}，∴-3,-2是方程kx2-2x+6k=0的两个实数根k<0，∴-3+(-2)=2k-3×(-2)=6，解得k=-25.………………………(5分)(2)∵不等式kx2-2x+6k<0(k≠0)的解集是R，∴△=4-24k2<0k<0，解得k<-66．∴k的取值范围是(-∞,-66).………………………(10分)【解析】(1)推导出-3,-2是方程kx2-2x+6k=0的两个实数根k<0，由此能求出k．(2)推导出△=4-24k2<0k<0，由此能求出k的取值范围．本题考查不等式的解集的求法及应用，考查实数值的求法，考查一元二次不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．22.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-1,0)、F2(1,0)，M是C上一点，且MF2⊥x轴，直线MF1与C的另一个交点为N．(1)若直线MN的斜率为34，求椭圆C的方程；(2)若|MN|=5|F1N|，求椭圆的离心率．【答案】解：(1)由题意可得M(1,y)，F1(-1,0)，直线MN的斜率为34，∴y-01+1=34，∴y=32，∴M(1,32)∴c=1a2=b2+c21a2+94b2=1，解得a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程为x24+y23=1．(2)当x=1时，1a2+y2b2=1，解得y=±b2a，不妨设M(1,b2a)，∴直线MN的方程为y=b22a(x+1)，设N(x0,y0)，∵|MN|=5|F1N|，∴|MF1|=4|F1N|，∴MF1=4F1N，∴(-2,-b2a)=4(x0+1,y0)，∴-2=4(x0+1)，∴x0=-32，∴y0=-b24a，∴94a2+b216a2=1，即36+b2=16a2，即36+a2-1=16a2，解得a=213，∴e=ca=1213=217【解析】(1)由题意可得M(1,y)，F1(-1,0)，直线MN的斜率为34，求出点M的坐标，可得关于a，b，c的方程组，解得即可，(2)求导点M的坐标，可得直线MN的方程，设N(x0,y0)，根据|MN|=5|F1N|，可得N的坐标，代入椭圆方程可得36+b2=16a2，求出a的值，即可求出椭圆的离心率本题考查了直线好的斜率，直线的方程，椭圆的方程，椭圆的简单性质，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题。