北京石景山区实验中学高三数学理摸底试卷含解析.docx

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北京石景山区实验中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．C．D．1参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可得F（，0），设P（，y0），要求kOM的最大值，设y0＞0，运用向量的加减运算可得=+=（+，），再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．【解答】解：由题意可得F（，0），设P（，y0），显然当y0＜0，kOM＜0；当y0＞0，kOM＞0．要求kOM的最大值，设y0＞0，则=+=+=+（﹣）=+=（+，），可得kOM==≤=，当且仅当y02=2p2，取得等号．故选：C．【点评】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题．2.（00全国卷文）已知，那么下列命题成立的是（A）若、是第一象限角，则（B）若、是第二象限角，则（C）若、是第三象限角，则（D）若、是第四象限角，则参考答案：答案:D 3.对于任意实数a，b，定义min{a，b}=，定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+4）=f（x），且当0≤x≤2时，f（x）=min{2x﹣1，2﹣x}，若方程f（x）﹣mx=0恰有两个根，则m的取值范围是（）A．{﹣1，1}∪（﹣ln2，）∪（，ln2）B．[﹣1，）∪C．{﹣1，1}∪（﹣ln2，）∪（，ln2）D．（，）∪（，）参考答案：【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先由题意求出f（x），然后令g（x）=mx，转化为图象交点的问题解决．【解答】解：由题意得，又因为f（x）是偶函数且周期是4，可得整个函数的图象，令g（x）=mx，本题转化为两个交点的问题，由图象可知有三部分组成，排除B，D易得当过（3，1），（﹣3，1）点时恰有三个交点，此时m=±，故选A．【点评】本题考查的是函数的性质的综合应用，利用数形结合快速得解．4.设函数，则A．函数在区间内单调递增，其图象关于直线对称B．函数在区间内单调递增，其图象关于直线对称C．函数在区间内单调递减，其图象关于直线对称D．函数在区间内单调递减，其图象关于直线对称参考答案：B 5.已知，，，为实数，且＞.则“＞”是“－＞－”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：B 6.设、为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l，m，有如下的两个命题：①若∥，则l∥m；②若，则⊥．那么（）A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①②都是真命题D．①②都是假命题参考答案：B略7.下列命题中是真命题的个数是（）（1）垂直于同一条直线的两条直线互相平行（2）与同一个平面夹角相等的两条直线互相平行（3）平行于同一个平面的两条直线互相平行（4）两条直线能确定一个平面（5）垂直于同一个平面的两个平面平行A.0 B.1 C.2 D.3参考答案：A分析：逐一分析判断每一个命题的真假.详解：对于（1），垂直于同一条直线的两条直线可能平行，也可能异面或相交.所以是错误的.对于（2），与同一个平面夹角相等的两条直线可能互相平行，也可能相交或异面，所以是错误的.对于（3），平行于同一个平面的两条直线可能互相平行，也可能异面或相交，所以是错误的.对于（4）两条直线能不一定确定一个平面，还有可能不能确定一个平面,所以是错误的.对于（5），垂直于同一个平面的两个平面不一定平行，还有可能相交,所以是错误的.故答案为：A点睛：（1）本题主要考查空间位置关系的判断，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和空间想象能力.(2)判断空间位置关系命题的真假，可以直接证明或者举反例.8.已知定义在R上的函数满足以下三个条件：①对于任意的，都有；②对于任意的③函数的图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是A．B．C．D．参考答案：A由知函数的周期是4，由②知，函数在上单调递增，函数的图象关于y轴对称，即函数函数的图象关于对称，即函数在上单调递减。所以，，，由可知，选A.9.对于集合A，B，“A∩B=A∪B”是“A=B”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件参考答案：C 10.已知双曲线的左、右焦点分别是Fl，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P,Q两点，若｜PF1｜＝｜F1F2｜，且3｜PF2｜=2｜QF2｜，则该双曲线的离心率为A、B、C、2D、参考答案：A【知识点】双曲线的简单性质．H6解析：如图，l为该双曲线的右准线，设P到右准线的距离为d；过P作PP1⊥l，QQ1⊥l，分别交l于P1，Q1；∵，3|PF2|=2|QF2|；∴，；过P作PM⊥QQ1，垂直为M，交x轴于N，则：；∴解得d=；∵根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|PF2|=2c﹣2a；∴根据双曲线的第二定义，；整理成：；∴解得（舍去）；即该双曲线的离心率为．故选A．【思路点拨】先作出图形，并作出双曲线的右准线l，设P到l的距离为d，根据双曲线的第二定义即可求出Q到l的距离为．过Q作l的垂线QQ1，而过P作QQ1的垂线PM，交x轴于N，在△PMQ中有，这样即可求得d=，根据已知条件及双曲线的定义可以求出|PF2|=2c﹣2a，所以根据双曲线的第二定义即可得到，进一步可整理成，这样解关于的方程即可．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知则满足条件的点所形成区域的面积为△．参考答案：答案：12.函数的最小正周期为．参考答案：【考点】正切函数的图象．【专题】计算题；函数思想；分析法；三角函数的图像与性质．【分析】根据正切函数的周期性进行求解即可．【解答】解：的周期为T=．故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的周期的计算，比较基础．13.已知均为正数，且，则的最小值为．参考答案：8 14.在极坐标系中，若过点且与极轴垂直的直线交曲线于A、B两点，则_____参考答案：15.各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则的值为________，的值为________．参考答案：16.设P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，则球O的表面积为．参考答案：3π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】先把三棱锥扩展为正方体，求出对角线的长，就是球的直径，然后求出表面积．【解答】解：先把三棱锥扩展为正方体，求出对角线的长，即：对角线边长为，所以球的半径为，所以球的表面积为【点评】本题考查学生的空间想象能力，以及公式的利用，是基础题．17.把函数f（x）=图象上各点向右平移?（?＞0）个单位，得到函数g（x）=sin2x的图象，则?的最小值为．参考答案：【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的最值．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用三角函数的恒等变换及化简f（x）的解析式，再利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：把函数f（x）==sin2x+cos2x=sin（2x+）图象上各点向右平移?（?＞0）个单位，得到函数g（x）=sin[2（x﹣?）+]=sin（2x﹣2?+）=sin2x的图象，则?的最小值为，故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分15分）设，点A(，0)，直线AM、BM的斜率之积为，对于每一个，记点M的轨迹为曲线，（1）求曲线的方程及焦点坐标；（2）设O为坐标原点，过点(0，)的直线与曲线交于P、Q两点，求△OPQ面积的最大值，并求的值域.参考答案：(1)设，则得曲线的方程，…………3分焦点坐标为(0，)和(0，)…………3分(2)设直线：，、由得，，则设，则当时，（当且仅当时取等号），此时当时，，（当且仅当时取等号），此时综上，的取值范围是（，）……（9分）略19.（本小题满分14分）已知，为椭圆的左、右顶点，为其右焦点，是椭圆上异于，的动点，且面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；（Ⅱ）直线与椭圆在点处的切线交于点，当直线绕点转动时，试判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明．参考答案：解：（Ⅰ）由题意可设椭圆的方程为，．由题意知解得，．故椭圆的方程为，离心率为．……6分（Ⅱ）以为直径的圆与直线相切．证明如下：由题意可设直线的方程为.则点坐标为，中点的坐标为．由得．设点的坐标为，则．所以，．……………………………10分因为点坐标为，当时，点的坐标为，点的坐标为.直线轴，此时以为直径的圆与直线相切．当时，则直线的斜率.所以直线的方程为．点到直线的距离．又因为，所以．故以为直径的圆与直线相切．综上得，当直线绕点转动时，以为直径的圆与直线相切．………14分略20.如图所示，点B，C是椭圆E：的两个顶点，椭圆E与圆N(N为圆心)相交于A、B两点，点M(－2，1)为弦AB上－点，且NM⊥AB，OB∥BC.(1)求椭圆E的离心率；(2)求椭圆E的方程.参考答案：21.（本题满分10分）选修4—1:几何证明选讲.已知圆内接△ABC中，D为BC上一点，且△ADC为正三角形，点E为BC的延长线上一点，AE为圆O的切线．（Ⅰ）求∠BAE的度数；（Ⅱ）求证:参考答案：证明:（Ⅰ）在△EAB与△ECA中因为AE为圆O的切线，所以∠EBA=∠EAC又∠E公用，所以∠EAB=∠ECA因为△ACD为等边三角形，所以………5分（Ⅱ）因为AE为圆O的切线,所以∠ABD=∠CAE因为△ACD为等边三角形,所以∠ADC=∠ACD,所以∠ADB=∠ECA,所以△ABD∽△EAC所以,即因为△ACD为等边三角形,所以AD=AC=CD,所以…………………………………10分22.．本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程已知曲线的参数方程是（为参数）与直线的参数方程是（为参数）有一个公共点在轴上．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系．（Ⅰ）求曲线普通方程；（Ⅱ）若点在曲线上，求的值．参考答案：解：(Ⅰ)直线的的普通方程为：，与轴的交点为，又曲线的普通方程为：，所以，，故所求曲线普通方程是：．…………4分（Ⅱ）因点在曲线C上，即点在曲线上．．…………10分略。