恒成立与存在性问题的解题策略(总20页).docx

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“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型1、恒成立问题的转化：恒成立；2、能成立问题的转化：能成立；3、恰成立问题的转化：在M上恰成立的解集为M另一转化方法：若在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若在D上恰成立，则等价于在D上的最大值.4、设函数、，对任意的，存在，使得，则5、设函数、，对任意的，存在，使得，则6、设函数、，存在，存在，使得，则7、设函数、，存在，存在，使得，则8、设函数、，对任意的，存在，使得，设f(x)在区间[a,b]上的值域为A，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A?B.9、若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方；10、若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方；恒成立问题的基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有:?在给定区间上某关系恒成立;?某函数的定义域为全体实数R;?某不等式的解为一切实数;?某表达式的值恒大于a等等…恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。二、恒成立问题解决的基本策略大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题。等式中的恒成立问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题的。（一）两个基本思想解决“恒成立问题”思路1、思路2、如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f（x）的最值。这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，也是近年来高考中频频出现的试题类型，希望同学们在日常学习中注意积累。（二）、赋值型——利用特殊值求解等式恒成立问题等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例1．如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称，那么a=（）.A.1 B.-1 C.D.-.略解：取x=0及x=，则f(0)=f(),即a=-1，故选B.此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.例（备用）．由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4=(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4定义映射f：(a1,a2,a3,a4)→b1+b2+b3+b4,则f：(4,3,2,1)→()A.10 B.7 C.-1 D.0略解：取x=0，则a4=1+b1+b2+b3+b4,又a4=1,所以b1+b2+b3+b4=0，故选D（三）分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略1、一次函数型：若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有n m o x y n m o x y例2．对于满足|a|2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+1>0在|a|2时恒成立,设f(a)=(x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：即解得：∴x<-1或x>3.即x∈(－∞,－1)∪(3,+∞)此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方（或下方）即可.2、二次函数型涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方法，在今后的解题中自觉运用。（1）若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)大于0恒成立，则有（2）若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求解。类型1：设在R上恒成立，（1）上恒成立；（2）上恒成立。类型2：设在区间上恒成立（1）当时，上恒成立，上恒成立（2）当时，上恒成立上恒成立类型3：设在区间(-∞,?]上恒成立。f(x)>0?a>0且?<0或-b/2a>?且f(?)>0 f(x)<0?a<0且?<0或-b/2a>?且f(?)<0类型4：设在区间[?，+∞)上恒成立。f(x)>0?a>0,?<0或-b/2a<?且f(?)>0 f(x)<0?a<0,?<0或-b/2a<?且f(?)<0例3．若函数的定义域为R，求实数的取值范围.分析：该题就转化为被开方数在R上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论.解：依题意，当恒成立，所以，①当此时②当有综上所述，f(x)的定义域为R时，例4.已知函数，在R上恒成立，求的取值范围.分析：的函数图像都在X轴及其上方，如右图所示：略解：变式1：若时，恒成立，求的取值范围.解析一.（零点分布策略）本题可以考虑f(x)的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即Δ≤0或或，即a的取值范围为[-7，2].解法二分析：（运用二次函数极值点的分布分类讨论）要使时，恒成立，只需的最小值即可.略解：（分类讨论），令在上的最小值为.⑴当，即时，又不存在.⑵当，即时，又⑶当，即时，又综上所述，.变式2：若时，恒成立，求的取值范围.解法一：分析：题目中要证明在上恒成立，若把2移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于0的问题.例2已知，若恒成立，求a的取值范围.2—2略解：，即在上成立.⑴⑵综上所述，.解法二：（运用二次函数极值点的分布）⑴当，即时，不存在.⑵当，即时，，⑶当，即时，，综上所述.此题属于含参数二次函数，求最值时，对于轴变区间定的情形，对轴与区间的位置进行分类讨论；还有与其相反的，轴动区间定，方法一样.对于二次函数在R上恒成立问题往往采用判别式法（如例4、例5），而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题3、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x取值范围内的任何一个数都有f(x)>g(a)恒成立，则g(a)<f(x)min;若对于x取值范围内的任何一个数，都有f(x)<g(a)恒成立，则g(a)>f(x)max.(其中f(x)max和f(x)min分别为f(x)的最大值和最小值)例5.已知三个不等式①，②，③．要使同时满足①②的所有x的值满足③，求m的取值范围.略解：由①②得2<x<3,要使同时满足①②的所有x的值满足③,即不等式在上恒成立，即上恒成立，又所以例6.函数是奇函数，且在上单调递增，又，若对所有的都成立，求的取值范围.解：据奇函数关于原点对称，又对所有的都成立.因此，只需大于或等于的最大值1，，即关于a的一次函数在[-1，1]上大于或等于0恒成立，即：利用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题补例．已知．若，且对任何不等式恒成立，求实数的取值范围．解：当时，取任意实数，不等式恒成立，故只需考虑，此时原不等式变为即故又函数在上单调递增，所以；对于函数①当时，在上单调递减，，又，所以，此时的取值范围是．②当，在上，，当时，，此时要使存在，必须有即，此时的取值范围是综上，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是；当时，的取值范围是．4、根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x,f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x))恒成立；若函数y=f(x)的周期为T，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。5、直接根据图象判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例7.的取值范围.分析：设y=|x+1|-|x-2|,即转化为求函数y=|x+1|-|x-2|的最小值，画出此函数的图象即可求得a的取值范围.解：令在直角坐标系中画出图象如图所示，由图象可看出，要使只需.故实数注：本题中若将改为①，同样由图象可得a>3;②,构造函数，画出图象，得a<3.利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围.例8.设常数a∈R,函数f(x)=3|x|+|2x-a|,g(x)=2-x.若函数y=f(x)与y=g(x)的图像有公共点，则a的取值范围为。解：1）a<=0。