上海市松江区教师进修学院附属立达中学高二数学理月考试题含解析.docx

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上海市松江区教师进修学院附属立达中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数有两个极值点，若，则关于x的方程的不同实根个数为()A.3 B．4 C．5 D.6参考答案：A 2.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a2+a3+a4=3，则S5=（）A．5 B．7 C．9 D．11参考答案：A【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意和等差数列的性质可得a3，再由求和公式和等差数列的性质可得S5=5a3，代值计算可得．【解答】解：∵Sn是等差数列{an}的前n项和，a2+a3+a4=3，∴3a3=a2+a3+a4=3，即a3=1，∴S5===5a3=5，故选：A．3.阅读如图所示的程序框图，输出的结果为（）A.20 B.3 C.2 D.60参考答案：A略4.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E（X）=（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，④由以上可知：还剩下125﹣（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，根据上面的分析即可得出其概率及X的分布列，利用数学期望的计算公式即可得出．【解答】解：由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，∴P（X=3）=；②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，∴P（X=2）=；③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，∴P（X=1）=．④由以上可知：还剩下125﹣（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，∴P（X=0）=．X0123P故X的分布列为因此E（X）==．故选B．【点评】正确找出所涂油漆的面数的正方体的个数及古典概型的概率计算公式、分布列与数学期望是解题的关键．5.已知随机变量服从正态分布，且Ｐ（＜4）＝，则Ｐ（0＜＜2）＝Ａ．0．6 B．0．4 C．0．3 D．0．2参考答案：C略6.同时掷两颗骰子，计算向上的点数和为5的概率为（）A．B．C．D．参考答案：B考点：古典概型试题解析：同时掷两颗骰子得到的基本事件有36个，其中向上的点数和为5的事件有：（1,4），（2,3），（3,2），（4,1）,4个。所以同时掷两颗骰子向上的点数和为5的概率为：故答案为：B 7.已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数，则（）A．f（15）＜f（0）＜f（﹣5）B．f（0）＜f（15）＜f（﹣5）C．f（﹣5）＜f（15）＜f（0）D．f（﹣5）＜f（0）＜f（15）参考答案：A【考点】3Q：函数的周期性；3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】由f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x）可变形为f（x﹣8）=f（x），得到函数是以8为周期的周期函数，则有f（﹣5）=f（3）=﹣f（﹣1）=f（1），f（15）=f（﹣1），再由f（x）在R上是奇函数，f（0）=0，再由f（x）在区间[0，2]上是增函数，以及奇函数的性质，推出函数在[﹣2，2]上的单调性，即可得到结论．【解答】解：∵f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），∴f（x﹣8）=f（x），∴函数是以8为周期的周期函数，则f（﹣5）=f（3）=﹣f（﹣1）=f（1），f（15）=f（﹣1），又∵f（x）在R上是奇函数，f（0）=0，得f（0）=0，又∵f（x）在区间[0，2]上是增函数，f（x）在R上是奇函数∴f（x）在区间[﹣2，2]上是增函数∴f（1）＞f（0）＞f（﹣1），即f（﹣5）＜f（0）＜f（15），故选A 8.若，则（）．A．2 B．1 C．0 D．－1参考答案：A由得，所以．故选．9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B.?C.D.参考答案：A 10.(文)已知点P在曲线f(x)=x4-x上，曲线在点P处的切线垂直于直线x+3y=0，则点P的坐标为()A．(0，0)B．(1，1)C．(0，1)D．(1，0)参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设a、b为正数，且2a＋b＝1，则＋的最小值是________．参考答案：4略12.已知复数z满足z＋(1＋2i)＝10－3i，则z＝______________.参考答案：略13.已知命题P：不等式；命题q：在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”成立的必要不充分条件.有下列四个结论：①p真q假；②“p∧q”为真；③“p∨q”为真；④p假q真其中正确结论的序号是.（请把正确结论填上）参考答案：略14.已知实数满足，，则函数无极值的概率是．参考答案：略15.某高校录取新生对语文、数学、英语的高考分数的要求是：（1）语文不低于70分；（2）数学应高于80分；（3）三科成绩之和不少于230分。若张三被录取到该校，则该同学的语、数、英成绩x、y、z应满足的约束条件是_____________________．参考答案：16.已知为正实数，且，则的最小值是__________.参考答案：略17.双曲线上一点P到点的距离为7，则点P到点的距离为__________．参考答案：13【分析】先由双曲线方程得到，，根据双曲线的定义，即可求出结果.【详解】根据题意，，，即或，又，所以.故答案为13三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设数列的前项n和为，若对于任意的正整数n都有.（1）设，求证：数列是等比数列，并求出的通项公式。（2）求数列的前n项和.参考答案：解：（1）对于任意的正整数都成立，两式相减，得∴，即，即对一切正整数都成立。∴数列是等比数列。由已知得即∴首项，公比，。。略19.在等比数列{an}中，a2=3，a5=81．（Ⅰ）求an；（Ⅱ）设bn=log3an，求数列{bn}的前n项和Sn．参考答案：【考点】等比数列的通项公式；等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）设出等比数列的首项和公比，由已知列式求解首项和公比，则其通项公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的an代入bn=log3an，得到数列{bn}的通项公式，由此得到数列{bn}是以0为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列的前n项和公式得答案．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，由a2=3，a5=81，得，解得．∴；（Ⅱ）∵，bn=log3an，∴．则数列{bn}的首项为b1=0，由bn﹣bn﹣1=n﹣1﹣（n﹣2）=1（n≥2），可知数列{bn}是以1为公差的等差数列．∴．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，是基础的计算题．20.(本题满分14分)已知数列满足（1）计算出（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法进行证明。参考答案：1)[来源:w------------------------6分；2)由1）猜想（7分）证明如下：①当时，由题意可知，命题成立（8分）②假设当时命题成立，即（9分）那么，当时，也就是说当时命题也成立（13分）由①②可知对于任何都成立。（14分）21.（本小题满分14分）已知函数(为实数)有极值，且在处的切线与直线平行．（1）求实数的取值范围；（2）是否存在实数，使得函数的极小值为，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由；（3）设,的导数为,令求证：参考答案：(1)∵,∴，由题意∴，①……2分∵有极值，∴方程有两个不等实根．∴、∴．②由①、②可得，．∴或．故实数的取值范围是…2分(2)存在.……………1分由(1)令，∴时，取极小值，则=,∴……………………………………………………2分若，即则(舍)．……………………1分若∴存在实数,使得函数的极小值为1………1分(3)∵,……．l分22.已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球个。若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率为。（1）求的值；（2）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球的标号为，第二次取出的小球的标号为。①记“”为事件，求事件的概率；②在区间内任取2个实数，求时间“恒成立”的概率。参考答案：解：（1）由题意，，（2）①将标号为2的小球记为,,两次不放回的取小球的所有基本为(0,1),(0,),(0,),(1,0),(1,),(1,),(,0),(,1),(,),(,0),(,1)，(,),共12个事件A包含的基本事件为(0,),(0,),(,0),(,0).②.事件B等价于,可以看作平面中的点,则全部结果所构成的区域,而事件B的所构成的区域B=,略。