2022年江苏省南京市南湖第一中学高三数学理下学期期末试题含解析.docx

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2022年江苏省南京市南湖第一中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是A．1－B．－1 C．2－D．参考答案：A略2.正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是（）A.B.C.D.参考答案：D 3.某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，且3件展品所选用的展台之间间隔不超过2个展台，则不同的展出方法种数为（）A.60 B.54 C.48 D.42参考答案：D 4.已知的最小值为n，则二项式展开式中常数项是(）A．第10项B．第9项C．第8项D．第7项参考答案：B略5.已知α为锐角，，则=()A.B.C.D.参考答案：B由，得，所以，。所以，选B.6.设集合，，则=（）A．B．C．D．参考答案：C略7.函数的图象的大致形状是（）．参考答案：D略8.已知双曲线C的焦点为F1，F2，点P为双曲线上一点，若|PF2|=2|PF1|，∠PF1F2=60°，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题设条件，利用余弦定理能够求出|PF1|=c，再由双曲线定义可以推导出2a=c，从而求出该双曲线的离心率．【解答】解：设|PF1|=x，|PF2|=2x，|F1F2|=2c，∵∠PF1F2=60°，∴cos60°==?x=c，∵|PF2|﹣|PF1|=2a，∴x=2a=c，∴e==．故选：D．9.已知向量，，若m+n与共线，则等于()(A)(B)(C)(D)参考答案：A略10.已知函数是上的增函数，是其图象上的两点，那么的解集的补集是（）A、B、C、D、参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△的内角、、的对边分别为、、，若，，，则.参考答案：4略12.若函数,且,则的值为．参考答案：-1略13.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QO|=．参考答案：3【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】抛物线C：y2=8x的焦点为F（2，0），设P（﹣2，t），Q（x，y）．利用=4，可得（﹣4，t）=4（x﹣2，y），解得（x，y），代入y2=8x可得，再利用两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点为F（2，0），设P（﹣2，t），Q（x，y）．∵=4，∴（﹣4，t）=4（x﹣2，y），∴，代入y2=8x可得，∴t2=128．=3．故答案为：3．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、向量的坐标运算、两点之间的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．14.已知x，y满足，若目标函数z=3x+y的最大值为10，则m的值为．参考答案：5【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到m的值．然后即可得到结论．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+y得y=﹣3x+z平移直线y=﹣3x+z，则由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点C时，直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大，为3x+y=10由，解得，即C（3，1），此时C在2x﹣y﹣m=0上，则m=5．故答案为：5．15.已知正数满足，则的最大值为，当且仅当.参考答案：试题分析:由题设可得,故,解之得,此时,故应填.考点：二次不等式和二次方程的解法及运用．16.设M={1，2，3，…，1995}，A是M的子集且满足条件：当x∈A时，15x?A，则A中元素的个数最多是．参考答案：1870解：1995=15×133．故取出所有不是15的倍数的数，共1862个，这此数均符合要求．在所有15的倍数的数中，152的倍数有8个，这此数又可以取出，这样共取出了1870个．即|A|≥1870．又{k，15k}(k=9，10，11，…，133)中的两个元素不能同时取出，故|A|≤1995-133+8=1870．17.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）参考答案：24【考点】EF：程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故答案为：24．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线和直线没有公共点（其中、为常数），动点是直线上的任意一点，过点引抛物线的两条切线，切点分别为、，且直线恒过点.（1）求抛物线的方程；（2）已知点为原点，连结交抛物线于、两点，证明：.参考答案：解：（1）如图，设，由，得∴的斜率为的方程为同理得设代入上式得，即，满足方程故的方程为………………4分上式可化为，过交点∵过交点，∴，∴的方程为………………6分（2）要证，即证设，则……（1）∵，∴直线方程为，与联立化简∴……①……②…………10分把①②代入（Ⅰ）式中，则分子…………（2）又点在直线上，∴代入Ⅱ中得：∴故得证………………14分19.（本小题满分12分）某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予0．96折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠．假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取2人．（Ⅰ）求这2人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；（Ⅱ）设这2人中享受折扣优惠的人数为，求的分布列和数学期望．参考答案：解：（Ⅰ）设“两人都享受折扣优惠”为事件A，“两人都不享受折扣优惠”为事件B，则，．…4分因为事件A，B互斥，则．故这2人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是．…6分（Ⅱ）据题意，的可能取值为0，1，2．…7分其中，，．…10分所以的分布列是：012所以．略20.（本题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，是的中点。（1）求证：平面平面（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．参考答案：21.如图，已知四棱锥的底面是菱形，，，.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.参考答案：（1）证明：如图，取中点，连接、、，则和分别是等边三角形、等腰直角三角形.故，，且，，所以，故，所以平面.又平面，从而平面平面.（2）如图，建立空间直角坐标系.，，，，，，，设平面的法向量为，则，令，解得，，即，记直线与平面所成角的平面角为，则即直线与平面所成角的正弦值为.22.（本小题满分12分）在数列中，前n项和为，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，数列前n项和为，比较与2的大小．参考答案：。