线性规划模型在企业生产计划中的应用(共17页).doc

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诚信声明我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信。毕业论文作者签名：签名日期：年月日摘要：在企业生产过程中，生产资源的分配直接影响到企业的经济效益。因此，企业在制定生产计划时，人力物力和时间等资源的优化配制是首要面对的关键问题，而建立线性规划模型则是目前解决该问题的有效方法之一。本文旨在针对上述有限资源条件的约束下，通过建立相应的线性规划模型来制定生产计划以实现企业资源最优化、利益最大化，同时利用LINGO 11.0软件求解线性规划模型并分析在某些资源变动时对该模型所产生的影响并寻求最优生产方案。关键词：企业生产计划；线性规划；数学模型；LINGO 11.0 Abstract：In the enterprise production process,the allocation of production resources directly affects the economic efficiency of enterprises.Therefore,enterprises in the development ofproductionplan,formulated to optimize theresourcesof manpower andtimeis the keyproblem offace.Andto establish the linear programming modelis one of the effective waysto solvetheproblem.This paper aimed atthelimited resourceconstraints,by establishinglinear programming modelcorrespondingtomake production planin order to realize the maximization ofenterprise resource optimization,interest,andusing LINGO11.0 software tosolve the linear programming modelandanalysisthe influence onthe modelin some resourcechangesand seek theoptimal productionplan.Key words：Production plan；Linear programming；Mathematical model；LINGO 11.0目录1．线性规划问题概述………………………………………………………………………（1）1.1线性规划问题的基本概念……………………………………………………………（1）1.2线性规划方法的应用范围与求解的基本步骤………………………………………（1）1.3线性规划模型的基本概念……………………………………………………………（2）1.4建立线性规划模型的一般步骤………………………………………………………（2）1.5线性规划模型的求解方法……………………………………………………………（3）2.线性规划在企业生产计划中的应用……………………………………………………（3）2.1线性规划在企业生产计划中应用的背景……………………………………………（3）2.2把线性规划运用到企业生产中的作用和意义………………………………………（4）2.3针对企业生产计划模型的分析………………………………………………………（4）2.4建立生产计划决策分析的线性规划模型……………………………………………（5）2.5案例及相关分析………………………………………………………………………（5）3．总结……………………………………………………………………………………（11）参考文献……………………………………………………………………………………（12）致谢…………………………………………………………………………………………（13）线性规划模型在企业生产计划中的应用1.线性规划问题概述1.1线性规划问题的基本概念线性规划是运筹学中，研究较早、发展较快、应用较多、方法较成熟的一个重要分支，也是最基本部分，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。自1947年丹捷格提出了一般线性规划问题求解的方法---单纯形法之后，线性规划在理论上趋向成熟，在实际中日益广泛与深入。特别是在电子计算机能处理成千上万个约束条件和决策的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了。它所研究的问题主要有两类:一类是当一项任务确定后，如何统筹安排，尽量做到以最少的人力、物力资源去完成任务；另一类是对已有的人力、物力资源，如何安排使用，并完成任务的。一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。由此，我们给出线性规划的一般定义如下：①钱辰，李姝.线性规划方法在企业生产中的应用[J].中国高新技术企业，2011,(3)42.求一组变量Xj(j=1,2,3,…,n)的值，使之满足关于这组变量的若干个线性等式或不等式的约束条件，并使这组变量的一个线性函数取得极值(极小或极大)，其中，这些变量称为决策变量，所要优化的函数称为目标函数，此类问题称为“线性规划”(Linear Programming，简记LP)问题。其中，决策变量、约束条件和目标函数是线性规划的三要素。1.2线性规划方法的应用范围与求解的基本步骤②高红卫，线性规划方法应用详解[M]，北京，科学出版社，2004.12-15.（1）线性规划方法的应用范围，可以用一种归纳性的叙述加以概括为：凡是能用线性约束方程（等式或者不等式）组描述其内部运行规则，且有明确的线性优化目标的问题，都可以用线性规划的方法求解。无论这些问题属于哪个领域，只要能满足上述条件，都属于线性规划方法的应用范围。比如一些常见的领域有：企业营销策划、产品生产计划、采购与库存管理、物流管理、理财与投资、人事管理、系统综合评价、工程设计优化、宏观经济运行调控、城市管理、作战规划等。（2）求解线性规划问题的基本步骤可以总结如下：①提出并抽象问题②建立数学模型③求解④检验解⑤解的灵敏度分析⑥解的回归1.3线性规划模型的基本概念线性规划问题的模型是由一组含有等式、不等式的代数方程以及一个具有求极值关系的目标函数（优化函数）表达式构成的复合式抽象数学模型。（1）线性规划模型的构成需要具备以下条件：①需要求解的问题所包含的每一种资源数量都是确定的，而且每个决策变量也都是确定的，其取值范围也是已知的，并且问题所包含的每一种决策变量与相关资源之间的约束关系、不同决策变量对于某一种资源的需求之和与该资源的现有总量的对应关系（用≤,＝,≥之一来表示）都是确定的。②存在一个确定的、期望达到的目标（极大或极小值），并且这个目标可用对全部或部分决策变量与相关价值（费用）系数乘积之和（称为目标函数）来表达。（2）线性规划模型的一般形式如下：③孙庭锋.浅析线性规划在企业生产计划中的应用[J].商业经济,2006.(276):18.目标函数(1)约束条件…………(2)(一般为非负性)其中，(j=1,2,…,n)称为价值(费用)系数或目标函数系数。(j=1,2,…,n）称为决策变量的非负约束条件，若其取值范围为（－∞，＋∞）时，则称为任意变量（无约束变量）。(j=1,2,…,n）称为资源常数或简称约束右端系。(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n）称为技术系数或约束系数。1.4建立线性规划模型的一般步骤建立数学模型是解线性规划问题的第一步，也是关键的一步。一个好的数学模型必须对问题的系统及其同内外部环境的关系进行概括，根据实际需要提的出问题，进行求解。由上述可知，如何确定决策变量、约束条件和目标函数是解决线性规划问题模型的关键。具体的建立步骤如下：①根据已知条件设置决策变量。即寻找所要求解或间接求解的未知数并用(j=1,2,…,n）表示出来。②确定目标函数。用上面所确定的变量建立一个线性函数（此处为一次函数），再根据具体问题明确是求目标函数的极大值或是极小值。③确定资源常量并找出决策变量之间的关系及其与资源约束常量之间的关系，建立等式或不等式线性方程。④确定决策变量的取值范围。⑤整理所得到的代数表达式，形成规范的线性规划数学模型。1.5线性规划模型的求解方法线性规划模型建立之后就需要求出个决策变量的最优解以及目标函数的最优值。经过几十年的发展，其解法多样并且逐渐成熟。当决策变量个数比较少时比较常用图解法，即直接根据约束条件在坐标轴上画出可行域并找出最优解。而目前求解线性规划问题的基本方法是单纯行法。它需要将模型的一般形式变换成标准形式后再运用矩阵的计算方式得到最优解。为了提高解题速度，又有改进单纯形法、对偶单纯形法、原始对偶方法、分解算法和各种多项式时间算法。现有的计算机软件基本上是利用上述方法的原理。例如：Excel、MATLAB、LINDO和LINGO等软件。本文后面的案例主要运用软件LINGO 11.0进行求解、分析。2.线性规划在企业生产计划中的应用2.1线性规划在企业生产计划中应用的背景随着经济全球化的不断发展，企业之间的竞争与合作也日渐成熟与激烈，企业必须不断提高盈利水平，增强其获利能力。即如何应用最小的资源成本获得最大的利益永远是企业发展的核心目的。只有在生产、销售、新产品研发等一系列过程中发挥自己的优势，提高企业效率，降低成本，形成企业的核心竞争力，才能在激烈的竞争中立于不败之地。因此根据市场的需求有计划的生产变成为其必不可少的手段之一，特别是在资源有限的情况下。而实践证明，线性规划模型是制定企业生产计划行之有效地重要方法。过去很多企业在生产、运输、市场营销等方面没有利用线性规划方法进行合理的配置，从而增加了企业的生产负担，使企业的利润不能达到最大化。在竞争日益激烈的今天，如果还按照过去的方式，无疑是会被淘汰的，所以就有必要利用线性规划的知识对战略计划、生产、销售各个环节进行优化从而降低生产成本，提高企业的效率。此外线性规划问题在农业、工业、服务业、军事、运输和计划管理等多方而都越来越受重视、越来越得到广泛的运用。所以运用线性规划知识统筹企业的生产计划是大势所趋、是合理的。本文中笔者试图通过线性规划具体模型的建立并用计算机软件求解结果，以及对相关参数的分析，阐述线性规划是解决企业生产计划问题的一个有效方法。2.2把线性规划运用到企业生产中的作用和意义把线性规划的知识运用到企业生产中去，可以使企业适应市场激烈的竞争，能够及时、准确、科学、有效地制定生产计划、投资计划以及对资源进行合理配置。其决策理论是建立在严格的理论基础之上，运用大量基础数据，经严格的数学运算得到的，从而在使企业能够在生产的各个环节中统筹兼顾、优化配置，提高了企业的效率。过去企业在制定计划时，调整分配方面很困难，既要考虑生产成本，又要考虑获利水平，人工测算需要很长时间，不易做到机动灵活。而运用线性规划并配合计算机软件进行测算非常简便易行，在很短时间内选择出最优方案的同时，也提高了企业决策的科学性和可靠性。这对企业是大有益处的。2.3针对企业生产计划模型的分析由上述对线性规划问题和企业之间关系的介绍，可知生产计划问题分析完全符合线性规划建模的条件，可以运用线性规划来分析生产计划方案优化问题。但是，应用线性规划来进行生产计划问题分析，首先要先弄清以下几点：④王树祥,武新霞,卜少利,线性规划在企业生产计划中的应用及模型的建立和求解[J].2007年管理论丛与教育研究专刊,2007,(S2):196.（1）必须明确目标函数。生产计划的经济分析是一种定量分析方法，它是以企业利润作为评价目标值，所寻求的目标是使企业利润最大化的生产计划方案，因此，企业利润最大化应是生产计划决策分析的目标函数。（2）必须明确约束条件。企业的资金，生产能力，原材料，设备使用，市场需求状况等诸多制约因素与生产计划分析密切相关，称为生产计划分析中目标函数的约束条件。约束条件对生产计划分析的影响较大，在不同条件下，决策分析的结论则会不同。比如，就市场需求和企业生产能力之间的关系而言，企业所处状态可有三种类型：①供不应求状态，即市场对产品的需求超过了企业的生产能力；②供过于求状态，即企业生产能力超过了市场需要；③供求平衡波动状态，即供求平衡的状态，或者有时处于不足状态，有时又处于过剩状态。（3）必须明确单件利润。单件利润不仅牵扯到产品的单件收入，还要牵扯到生产所耗费的各项成本及费用。建立产品生产计划优化模型的目的，就在于辅助生产管理，从系统全局角度，统筹兼顾。因此，为了挖掘出企业生产管理中的各种潜力，在生产计划上应该是越细致越好。而越细致的计划，起变量的个数必然会越多。因此变量的确定对模型的正确建立起着至关重要的作用。但这样一来就会产生一些问题：当变量细化到一定的程度时，变量太多，不但求解的难度加大，而且有关的市场、企业内部的各种技术经济参数得不到充分的支持，从而给建模带来很大的困难，甚至在应用上与实际信息不协调，变得无从掌握。使建立的模型与实际误差较大；相反的，如果把模型建的很粗放，更是会失去其实用性。因此，正确的做法应该是对上述内容进行合理折衷。2.4建立生产计划决策分析的线性规划模型生产计划决策分析的基木方法是以利润最大化作为优化目标，明确未知变量，确定约束条件，建立线性规划模型，最终实现企业效益最大化的生产计划。其一般模式：目标函数为利润P=销售收入R－（成本+费用）C在各约束条件下，使目标函数达到最大值。分析企业实际生产过程中的日产量情况，设模型的未知变量为企业生产的产品种类日产量(j=1,2,…,n),建立生产计划决策分析线性规划模型的过程如下：⑤孙庭锋.浅析线性规划在企业生产计划中的应用[J].商业经济,2006.(276):19.(1)目标函数。企业进行生产计划决策的目标值是企业利润最大化。现假设生产各种产品所获得的销售收入与所耗费的产品成本和费用的总和均已知，则可以得出生产计划问题的目标函数为：(2)原材料约束。无论是生产何种产品都需要消耗一定的原材料，在企业实际中若需耗用多种原材料则可根据原材料的种类，增添相应约束条件即可。建立约束不等式：其中：分别为生产第1,2,…,n种产品的单件材料消耗,为企业每种可用原材料总量。(3)生产能力约束。此约束具体表现为企业的可用工作时间或可用设备工时，而企业在一定时期内可用工时是有限的，所以可建立如下约束不等式：其中：分别为生产第1,2,…,n种产品的单件消耗工时,为企业的日可用的工时、设备总量。(4)市场需求约束。为了说明问题的方便，假设企业生产的产品市场都有需求，即，无上限约束。若第j种产品市场需求有限，最大需求为，则可增加约束。(5)非负约束。因为生产实际中最多即为不生产产品，所以所有变量。2.5案例及相关分析为了探讨生产计划决策分析线性规划模型在企业实际中的应用，接下来通过案例建立线性规划模型以及应用软件进行求解并分析模型结果。实例描述：牛奶生产销售计划⑥何坚勇,最优化方法[M]，北京:清华大学出版社，2007.175.一奶制品加工厂用牛奶生产两种普通奶制品，以及两种高级奶制品，分别是由深加工开发得到的。已知每一桶牛奶可以在甲类设备上用12h加工成3kg，或者在乙类设备上用8h加工成4kg；深加工时，用2h并花1.5元加工费，可将1kg加工成0.8kg，也可将1kg加工成0.75kg。根据市场要求，生产的4种奶制品全部能售出，且每公斤,获利分别为12元、8元、22元、16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间最多为480h，并且乙类设备和深加工设备的加工能力没有限制，但甲类设备的数量相对较少，每天至多能加工100kg。试为该厂制定一个生产计划，是每天的净利润最大，并讨论以下问题：（1）若投资15元，可以增加供应1桶牛奶，应否作这项投资？（2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，支付给临时工人的工资最多是每小时几元？模型的分析与建立：这是一个有约束的优化问题，其模型应该包含决策变量、目标函数和约束条件。根据上一节所总结的步骤可分析如下：决策变量用决策变量表述生产计划，它并不是唯一的，设,每天的销售量分别为(kg)。也是的产量。设工厂用(kg)加工成，(kg)加工成（增设决策变量，可以使模型表达更清晰）目标函数目标函数是每天的净利润z，即,的获利之和扣除深加工费，容易写出（元）。约束条件原料供应：每天的产量为(kg)，用牛奶()/3(桶)，每天的产量为(kg)，用牛奶()/4(桶)，两者之和不得超过每天的供应量50(桶)。劳动时间：每天生产的时间分别为4()和2()，加工的时间分别为2和2，两者之和不得超过总的劳动时间480h。设备能力：每天的产量不得超过甲类设备的加工能力100(kg)。加工约束：1(kg)加工成0.8(kg)，故=0.8；类似地=0.75。非负约束：均为非负。由此得到如下基本模型：；显然，目标函数和约束条件都是线性的，这是一个线性规划问题，求出的最优解将给出使净利润最大的生产销售计划，要讨论的问题需考虑参数的变化对最优解和最优值的影响，即灵敏度分析。整理后为：模型求解：利用线性规划软件LINGO11.0在该编程区域中编写语言建立模型并求解如下所示：model:max=12*x1+8*x2+22*x3+16*x4-1.5*x5-1.5*x6;4*x1+3*x2+4*x5+3*x6<=600;2*x1+x2+3*x5+2*x6<=240;x1+x5<=100;x3-0.8*x5=0;x4-0.75*x6=0;x1>=0;x2>=0;x3>=0;x4>=0;x5>=0;x6>=0;end程序编程完之后，选择LINGO菜单中Solve选项，即可得到结果如表1所示:表1计量单位：元Global optimal solution found.Objective value:1730.400 Infeasibilities:0.Total solver iterations:2。