化归思想应用（通用）.doc

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化归思想重难点归纳转化有等价转化与不等价转化等价转化后的新问题与原问题实质是一样的不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正应用转化化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化常见的转化有正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化典型题例示范讲解例1对任意函数f(x),x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1=f(x0)；②若x1D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2=f(x1)，并依此规律继续下去现定义（1）若输入x0=，则由数列发生器产生数列{xn}，请写出{xn}的所有项；（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值；（3）若输入x0时，产生的无穷数列{xn}，满足对任意正整数n均有xn＜xn+1；求x0的取值范围命题意图本题主要考查学生的阅读审题，综合理解及逻辑推理的能力知识依托函数求值的简单运算、方程思想的应用解不等式及化归转化思想的应用解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言错解分析考生易出现以下几种错因（1）审题后不能理解题意（2）题意转化不出数学关系式，如第2问（3）第3问不能进行从一般到特殊的转化技巧与方法此题属于富有新意，综合性、抽象性较强的题目由于陌生不易理解并将文意转化为数学语言这就要求我们慎读题意，把握主脉，体会数学转换解（1）∵f(x)的定义域D=（–∞,–1)∪(–1,+∞)∴数列{xn}只有三项，（2）∵,即x2–3x+2=0∴x=1或x=2，即x0=1或2时故当x0=1时，xn=1，当x0=2时，xn=2（n∈N*）（3）解不等式，得x＜–1或1＜x＜2要使x1＜x2，则x2＜–1或1＜x1＜2对于函数若x1＜–1，则x2=f(x1)＞4，x3=f(x2)＜x2若1＜x1＜2时，x2=f(x1)＞x1且1＜x2＜2依次类推可得数列{xn}的所有项均满足xn+1＞xn（n∈N*)综上所述，x1∈(1,2)由x1=f(x0),得x0∈(1,2)例2设椭圆C1的方程为(a＞b＞0)，曲线C2的方程为y=，且曲线C1与C2在第一象限内只有一个公共点P（1）试用a表示点P的坐标；（2）设A、B是椭圆C1的两个焦点，当a变化时，求△ABP的面积函数S(a)的值域；（3）记min{y1,y2,……,yn}为y1,y2,……,yn中最小的一个设g(a)是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f(a)=min{g(a),S(a)}的表达式命题意图本题考查曲线的位置关系，函数的最值等基础知识，考查推理运算能力及综合运用知识解题的能力知识依托两曲线交点个数的转化及充要条件，求函数值域、解不等式错解分析第（1）问中将交点个数转化为方程组解的个数，考查易出现计算错误，不能借助Δ找到a、b的关系第（2）问中考生易忽略a＞b＞0这一隐性条件第（3）问中考生往往想不起将min{g(a),S(a)}转化为解不等式g(a)≥S(a)技巧与方法将难以下手的题目转化为自己熟练掌握的基本问题，是应用化归思想的灵魂要求必须将各知识的内涵及关联做到转化有目标、转化有桥梁、转化有效果解（1）将y=代入椭圆方程，得化简，得b2x4–a2b2x2+a2=0由条件，有Δ=a4b4–4a2b2=0，得ab=2解得x=或x=–（舍去）故P的坐标为()(2)∵在△ABP中，｜AB｜=2，高为,∴∵a＞b＞0,b=∴a＞,即a＞,得0＜＜1于是0＜S（a）＜，故△ABP的面积函数S(a)的值域为(0,)(3)g(a)=c2=a2–b2=a2–解不等式g(a)≥S(a)，即a2–≥整理，得a8–10a4+24≥0，即(a4–4)(a4–6)≥0解得a≤（舍去）或a≥故f(a)=min{g(a),S(a)}例3一条路上共有9个路灯，为了节约用电，拟关闭其中3个，要求两端的路灯不能关闭，任意两个相邻的路灯不能同时关闭，那么关闭路灯的方法总数为解析9个灯中关闭3个等价于在6个开启的路灯中，选3个间隔（不包括两端外边的装置）插入关闭的过程故有C=10种答案10例4已知平面向量=(–1),=()（1）证明⊥;（2）若存在不同时为零的实数k和t，使=+(t2–3)，=–k+t，且⊥，试求函数关系式k=f(t);（3）据（2）的结论，讨论关于t的方程f(t)–k=0的解的情况(1)证明∵·==0，∴⊥(2)解∵⊥,∴·=即［+（t2–3)］·(–k+t)=0，整理后得–k2+［t–k(t2–3)］·+t(t2–3)·2=0∵·=0,2=4,2=1∴上式化为–4k+t(t2–3)=0，∴k=t(t2–3)(3)解讨论方程t(t2–3)–k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)=t(t2–3)与直线y=k的交点个数于是f′(t)=(t2–1)=(t+1)(t–1)令f′(t)=0,解得t1=–1,t2=1当t变化时，f′(t),f(t)的变化情况如下表t(–∞,–1)–1(–1,1)1(1,+∞)f′(t)+0–0+f(t)↗极大值↘极小值↗当t=–1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=；当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=–而f(t)=(t2–3)t=0时，得t=–,0,所以f(t)的图象大致如右于是当k>或k<–时，直线y=k与曲线y=f(t)仅有一个交点，则方程有一解；当k=或k=–时，直线与曲线有两个交点，则方程有两解；当k=0，直线与曲线有三个交点，但k、t不同时为零，故此时也有两解；当–<k<0或0<k<时，直线与曲线有三个交点，则方程有三个解学生巩固练习1已知两条直线l1:y=x,l2:ax–y=0，其中a∈R，当这两条直线的夹角在(0,)内变动时，a的取值范围是()A（0，1）B（，）C（，1）∪（1，）D（1，）2等差数列{an}和{bn}的前n项和分别用Sn和Tn表示，若，则的值为()A B 1 C D 3某房间有4个人，那么至少有2人生日是同一个月的概率是（列式表示）4函数f(x)=x3–3bx+3b在（0，1）内有极小值，则b的取值范围是5已知f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t),(t∈R是参数）(1)当t=–1时，解不等式f(x)≤g(x);(2)如果x∈［0,1］时，f(x)≤g(x)恒成立，求参数t的取值范围6已知函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，n∈N*且a1、a2、a3、……、an构成一个数列{an}，满足f(1)=n2（1）求数列{an}的通项公式，并求；（2）证明0＜f()＜1 7设A、B是双曲线x2–=1上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点（1）求直线AB的方程；（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？8直线y=a与函数y=x3–3x的图象有相异三个交点，求a的取值范围参考答案1解析分析直线l2的变化特征，化数为形，已知两直线不重合，因此问题应该有两个范围即得解答案C 2解析化和的比为项的比∵∴,取极限易得答案A 3解析转化为先求对立事件的概率即四人生日各不相同的概率答案4解析转化为f′(x)=3x2–3b在（0，1）内与x轴有两交点只须f′(0)<0且f′(1)>0答案0<b<1 5解(1)原不等式等价于即∴x≥∴原不等式的解集为{x|x≥}(2)x∈［0,1］时，f(x)≤g(x)恒成立∴x∈［0,1］时恒成立即恒成立即x∈［0,1］时，t≥–2x+恒成立，于是转化为求–2x+,x∈［0,1］的最大值问题令μ=,则x=μ2–1,则μ∈［1,］∴2x+=–2(μ–)2+当μ=1即x=0时，–2x+有最大值1∴t的取值范围是t≥1 6(1)解{an}的前n项和Sn=a1+a2+…+an=f(1)=n2,由an=Sn–Sn–1=n2–(n–1)2=2n–1(n≥2),又a1=S1=1满足an=2n–1故{an}通项公式为an=2n–1(n∈N*)∴(2)证明∵f()=1·+3·+…+(2n–1)①∴f()=1·+3·+…+(2n–3)+(2n–1)②①–②得f()=1·+2·+2·+…+2·–(2n–1)·∴f()=++++…+–(2n–1)=1–∵(n∈N*)∴0<<1,∴0<1–<1，即0<f()<1 7解(1)设AB∶y=k(x–1)+2代入x2–=1整理得（2–k2）x2–2k(2–k)x–(2–k)2–2=0①设A(x1,y1)、B（x2,y2),x1,x2为方程①的两根所以2–k2≠0且x1+x2=又N为AB中点，有（x1+x2）=1∴k(2–k)=2–k2,解得k=1故AB∶y=x+1(2)解出A（–1，0）、B（3，4）得CD的方程为y=3–x与双曲线方程联立消y有x2+6x–11=0②记C(x3,y3)、D(x4,y4)及CD中点M(x0,y0)由韦达定理可得x0=–3,y0=6∵|CD|=∴|MC|=|MD|=|CD|=2又|MA|=|MB|=即A、B、C、D四点到点M的距离相等，所以A、B、C、D四点共圆8提示f′(x)=3x2–3=3(x–1)(x+1)易确定f(–1)=2是极大值，f(1)=–2是极小值当–2<a<2时有三个相异交点课前后备注。