第七章弹性连续体振动的准确解(共28页).doc

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第七章弹性连续体振动的准确解实际的振系都是弹性连续体系统，在很多情况下只是为了使问题简化，计算简便，才把它们简化成前几章所讨论的有限多的离散系统来分析。当需要对弹性体振动问题作严密的分析时，这时就需要作为连续系统来处理。弹性连续体问题与离散体问题有不同的特点，弹性连续体的质量、刚度、阻尼是连续分布的，因之具有无限多个自由度，需用无限多个点的独立坐标来表确定，其运动微分方程需要用偏微分方程来描述，而离散体在力学模型上具有明显的集中质量和不计质量的弹性元件，其自由度有限，运动以与自由度个数相等的二阶常系数微分方程来描述。尽管如此，但两类问题在物理本质上是相同的，若把连续系统的质量分段聚集到有限个点上，各点之间用弹性元件连接起来便成为连续体，反之，离散系统当其质点数趋于无限多时就成为连续体，它们之间有相同的动力特性。n自由度连续体系统有n个固有频率及主振型，而连续体则有无限多个固有频率及主振型，连续体中也存在各个主振型之间关于质量矩阵、刚度矩阵的正交性，对弹性体的响应分析，主振型迭加法有效。本章将研究具有以下三个条件的理想弹性连续体振动问题的求解：1.材料是均匀的，具有各向同性；2.应力不超过弹性极限、并服从虎克定律；3.变形是微小的且是连续的。具体是一维弹性体：轴、杆、梁等。至于其它类弹性连续体如板、壳等的振动问题，因涉及到弹性力学知识，本章将不予讨论。7-1弦的横向振动先研究最简单的弦的横向振动问题。设有理想柔软的细弦张紧在两个固定点之间，张力为T0，跨长为L，弦的单位体积的质量为，橫截面面积为A，如图7-1所示。建立xoy坐标系如图示，以y（x，t）表示弦的位移，向上为正，由于是微振动，位移很小，弦的张力变换可忽略不计，即在整个振动过程中T0保持不变。在弦上x处取一微段dx，其质量dm＝Adx，在任一微段两端作用着大小相等方向不同的张力T0，根据牛顿运动定律，得由于微振动，有故有代入，简化后，即为或写成（7-1）式中称为波沿弦长度方向传播的速度。（7-1）式是弦的横向振动微分方程，通常称为一维波动方程。下面讨论波动方程解的具体形式。波动方程的接通常用分离变量法得到，即假设解是由两个单变量函数的乘积构成，根据对有限自由度系统振动的了解，可设方程（7-1）的解为y（x.t）＝Y（x）·T（t）（7-2）式中Y（t）表示弦的振动，仅为x的函数，而T（t）表示弦的振动规律，是只与时间t有关的待定常数。将（7-2）式代入方程（7-1）式可得（a）上式中两个变量已分离，左边只依赖于t，所以要使上式对任意的x与t都成立，则两边必须都等于同一常数，设此常数为－p2（因为只有负值，才可得到谐振动方程），便得到如下两个常微分方程，（b）由上列方程可分别解得（7-3）（7-4）式中p为弦自由振动的频率，A、B、C、D皆为积分常数。波动方程的通解为（7-5）式中的p及A、B、C、D可由弦振动的边界条件和初始条件来确定。对于图7-1所示的情况，弦的两边固定，边界条件为y（0·t）＝0，y（L·t）＝0，因为，所以Y（0）＝0及Y（L）＝0。代入（7-4）式得D＝0及（7-6）(7-6)式为弦振动的特征方程，即频率方程。解之得（i＝1，2，……）故得弦振动的固有频率（i＝1，2，……）（7-7）对应的主振型为（7-8）因为振型只确定系统中各点振幅的相对比值，故上式中无需带常数因Ci。前三阶主振型如图7-2(a)、(b)、(c)所示。弦对应于各个固有频率的主振动为在一般情况下，弦的自由振动为无限多阶主振动的迭加（7-9）其中Ai与Bi由振动的初始条件确定。设在初始时刻t＝0，有y(x,0)=f(x),于是有由三角函数的正交性，有由此可得(7-10)[例7-1]张紧弦如图7－3所示，现把弦从它的初始位形突然释放，求弦的自由振动响应。解：弦的初始位形可表示为由（7-10）式求得Ai＝0（i＝1，2，……,）(i=1,2,……)因而弦的自由振动响应可表示为7-2杆的纵向自由振动本节讨论均质等截面细长直杆的纵向自由振动。设杆长为L，横截面积为A，单位体积质量为，拉压弹性模量为E，如图7-4所示。杆中心线为x轴，杆左端为原点0，假设杆在振动过程中杆的横截面只有x方向的位移，而始终保持平面，并略去由于杆的纵向伸缩引起的横行变形。以u（x，t）表示x处截面的纵向位移。在x处取微段dx，分析其受力状态，在x截面与x＋dx截面上的内力分别为N与，微段的轴向应变，微段的轴向应力，故根据牛顿运动定律，可得或或（7-11）式（7-11）即为杆纵向自由振动微分方程，亦为波动方程，与方程（7-1）的形式完全相同。式中：a＝为波在杆件中沿X轴的传播速度。将（7-1）式中的y代以u，就可直接得到（7-11）式的解为u(X，t)＝U（X）T（t）式中U（X）为主振型函数，T（t）＝Asinpt+Bcospt，U（x）＝Csin+Dcos（7-12）完全与弦的振动类似，（7-12）中的p及积分常数由问题的边界条件与初始条件确定。［例7－2］图7-5所示一端固定，另一端弹性支承，刚度系数为K的直杆，求系统的纵向自由振动的固有频率与主振型。解：系统振动微分方程的解由（7-12）式给出。以下根据杆右端的不同约束情况，分别给出相应的边界条件及对应的解。1、杆右端为弹性约束情况边界条件：在x=0处，u（0，t）＝0即U（0）＝0，在x＝L处，杆受到弹簧力－Ku（L，t）的作用，即即因，代入两个边界条件后得D=0，及频率方程上式可写成令＝－EA／KL，对应于给定的值采用试奏法不难找到各个固有频率pi值。也可采用下述作图法求出。由方程，以pL／a为横坐标，为纵坐标，作出和－两个图形，如图7-6所示，得到两个图形交点的横坐标pL／a便可求出各阶固有频率。相应的主振型为2.右端无弹力情况此时杆右端自由，边界条件为，，代入式有，所以频率方程成为，可得出，则（i＝1,2,…）相应的主振型为（i＝1,2,…）3.右端固定情况边界条件为Ux＝0＝0，Ux＝L=0。频率方程成为（i＝1,2,…）相应的主振型为（i＝1,2,…）［例7-3］图7-7所示为一端固定，另一端带有集中质量的杆，求该系统的固有频率。解：系统振动微分方程的解为（7-12）。由于在振动时杆端附加质量产生惯性力，故边界条件：x=0处，U（0，t）＝0，即U（0）＝0；X=L处，代入（7-12）式，得D=0及频率方程由于，E=ρa2代入整理后得上式作变为杆的质量与附加质量M的比值，是给定的值。该频率方程的根可以用前述的作图法求出。设ρAL／M＝，PL／a＝β，则频率方程为tgβ=β/α。例如取α＝1，则以β为横坐标，作出tgβ和1／β的两条曲线，如图7-8所示，得到两条曲线的交点β1、β2、……，便可求得各阶固有频率pi(i=1,2,……∞)。从图中可得β1＝0.860，即第一阶固有频率为第二、三阶固有频率相应为，7－3轴的扭转自由振动本节讨论等截面直圆轴的扭转自由振动，圆轴长为L，半径为r，轴的单位体积的质量为ρ，剪切模量为G，截面的极惯性矩为JP。取圆轴的轴心线为X轴，如图7-9所示。以θ（X，t）表示x处截面的转角，取微段dx，则在x+dx截面上的转角为，故微段两端的相对扭转角为，由材料力学知，轴的扭转应变为，x截面上的扭矩，在x+dx截面上的扭矩为，圆截面微段对x轴的转动惯性量IP＝ρJPdx，根据定轴转动微分方程式可得即令a2＝G／ρ，a为扭转弹性波的传播速度，则上式可写成（7-13）（7-13）式即为轴扭转自由振动微分方程，亦为波动方程，与前述杆的纵向自由振动及弦的横向自由振动方程的形式完全一样。故解的形式也一样，只是以θ代替U或Y，现直接写出（7-13）的解(x)（7-14）式中(x)为主振型函数，pi及各个积分常数由边界条件及初始条件来确定。［例7-4］图7-10所示为一端固定，另一端自由的等直圆截面轴，在自由端作用有扭矩M0，在t＝0时突然释放，求系统的固有频率、主振型以及自由端的振幅。解：1.轴端的边界条件：x＝0处，θ（0，t）＝0；x＝L处，自由端的剪应力为零，即代入（7-14）式，可得D=0及。由此可得固有频率(i=1,2，……)及相应的主振型（x）＝（i=1,2，……）2.求自由端振幅：求出一般情况下的运动规律。代上式于（7-14）式得（a）根据给定的初始条件代入（a）式，有（b）（c）由（c）式要求任意给定的x都成立，必须Ai＝0，由（b）式利用三角函数的正交性及（7-10）式，可得（i=1,2，……）代回（a）式，得系统响应·在自由端即x＝L处振幅极大，且当时，θ为最大，即7－4梁的横向自由振动现在来讨论等截面细直梁的横向自由振动。所谓梁的横向振动是指细直梁作垂直于轴线方向的振动，其主要的变形是梁的弯曲，因此亦称弯曲振动。在分析这种振动时，假设梁具有对称平面，梁的轴线在振动过程中始终保持在此平面内，还假设梁的长度与横截面尺寸之比较大，可忽略转动惯量与剪切变形的影响。同时假设梁作微幅振动，故可采用材料力学中梁弯曲的简化理论。如图7-11所示，取梁未变形时的轴线方向为x轴（向右为正），在对称面内与x轴垂直的方向为y轴（向上为正），以横向位移y作为广义坐标，并设梁的横截面积为A，单位体积的质量为ρ，EJ为截面抗弯刚度。现从梁上x截面处截取微元段dx，其受力状态如图示，图中所示弯矩M、剪力Q均按正方向表示，根据牛顿运动定律，在Y方向的运动方程为即(a)微元段dx的转动方程（忽略截面转动惯量的影响）为即(b)将（b）代入（a）式得（c）由材料力学知代入（c）式得或(7-15)方程（7-15）就是梁横向自由振动微分方程。对于均匀等截面梁则方程变为若令，则方程又可写成（7-16）方程（7-16）为四阶偏微分方程，采用分离变量法求解。设解的形式为y（x,t）=Y(x)T(t)（7-17）将上式代入（7-16）式，得分离变量法后，方程变为要使上面方程成立，方程两边必须等于同一常数，设常数为p2，并令p2／a2＝λ4，于是有（7-18）及（7-19）如前所述，方程（7-18）的解为T（t）=AsinPt+BcosP（7-20）方程（7-19）为四阶常微分方程，它的解可设为Y＝esx，代入（7-19）式得S4－λ4＝0它的四个根为S1，2＝±λ，S3，4＝±iλ于是（7-19）式的解为（d）因为所以（b）式可改写成常用的形式（7-21）将（7-20）、（7-21）式代回（7-17）式得（7-22）式中有六个待定常数，其中A、B取决于振动的初始条件，c1、c2、c3、c4取决于梁的边界条件。常见的等截面梁的边界条件有：1．固定端：位移与转角等于零，即Y=0及2．简支端：位移与弯矩等于零，即Y=0及3．自由端：弯矩与剪力等于零，即及在具体考察各种支承情况下梁的横向自由振动固有频率与主振型之前，先将边界条件中要用的Y（x）的各阶导数列出如下：（7-23）下面分别研究几种不同支承的梁的横向自由振动固有频率与主振型。1.两端简支梁：边界条件为Y（0）＝0，代入（7-21）式及（7-23）式得C2＝C4＝0及因为当λL≠0时，ShλL不为零，故得C3＝0，于是可得特征方程sinλL＝0，它的根为（i＝1，2……）因为λ4＝p2／a2，故固有频率为（i＝1，2……）（7-24）相应的主振型为（i＝1，2……）（7-25）其前三阶主振型如图7-12所示。2.两端固定梁：边界条件为Y(0)=0，Y（L）＝0，Y’（0）＝0，Y’（L）＝0。代入（7-21）式，得C2＋C4＝0及C1＋C3＝0，故有C2＝－C4及C1＝－C3，代入（7-23）式，并利用上述关系，得（e）若上式对C1、C2有非零解，它的系数行列式必须为零，即将上式展开简化后得频率方程cosλLchλL=1这是一个超越方程，常用图解法求它的根。为此将上式改写成以λL为横坐标，作出cosλL和1／chλL的两条曲线，如图7-13所示；两条曲线的各个交点的横坐标，就是这个方程的解。由此求得固有频率。几个最低的特征根如表1示。表1λ1L。