版高考数学一轮复习第章解析几何第节直线与圆锥曲线的综合问题第课时直线与圆锥曲线的位置关系课时跟踪检测理新人教A版.doc

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第一课时直线与圆锥曲线的位置关系A级·基础过关|固根基|1.(2019届厦门模拟)设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，若∠F1PQ＝60°，|PF1|＝|PQ|，则椭圆的离心率为()A．B．C．D．解析：选D∵|PF1|＝|PQ|，且∠F1PQ＝60°，∴△F1PQ为等边三角形，又周长为4a，∴△F1PQ的边长为，在△PF1F2中，|PF1|＝，|PF2|＝，|F1F1|＝2c，∴利用余弦定理得＋－2×××cos 60°＝(2c)2，即a2＝3c2，∴e2＝＝，∴e＝.2．已知椭圆C：＋＝1，若直线l经过M(0，1)，与椭圆交于A，B两点，且＝－，则直线l的方程为()A．y＝±x＋1 B．y＝±x＋1 C．y＝±x＋1 D．y＝±x＋1解析：选B依题意，知斜率存在，可设直线l：y＝kx＋1，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由消去y，整理得(9k2＋5)x2＋18kx－36＝0，Δ＝(18k)2＋4×36×(9k2＋5)>0，则解得k＝±，即直线l的方程为y＝±x＋1，故选B．3．如图，F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l交双曲线C于A，B两点，若双曲线C的离心率为，|AB|＝|AF2|，则直线l的斜率为()A．B．C．D．解析：选D由题意及双曲线的定义可得则|BF1|＝2a.又|BF2|－|BF1|＝2a，故|BF2|＝|BF1|＋2a＝4a.在△BF1F2中，由余弦定理可得16a2＝4a2＋4c2－2×2a×2ccos∠BF1F2，即3a2＝c2－2accos∠BF1F2，又e＝＝，所以cos∠BF1F2＝，所以sin∠BF1F2＝，则直线l的斜率k＝tan∠BF1F2＝，故选D．4．(2019届湖北武汉4月调研)过点P(4，2)作直线AB与双曲线C：－y2＝1交于A，B两点，若P为AB的中点，则|AB|＝()A．2 B．2 C．3 D．4解析：选D由已知可得点P的位置如图所示，且直线AB的斜率存在，设AB的斜率为k，则AB的方程为y－2＝k(x－4)，即y＝k(x－4)＋2，由消去y得(1－2k2)x2＋(16k2－8k)x－32k2＋32k－10＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝.因为P(4，2)为AB的中点，所以＝8，解得k＝1，满足Δ>0，所以x1＋x2＝8，x1x2＝10，所以|AB|＝×＝4.故选D．5．(2019届湖南长沙二模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(a>0)在抛物线C上，|AF|＝3.若直线AF与抛物线C交于另一点B，则|AB|＝()A．12 B．10 C．9 D．4.5解析：选C由抛物线的定义知|AF|＝＋＝3，解得p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x，又A(1，a)(a>0)在抛物线C上，则a2＝8，解得a＝2或a＝－2(舍去)，所以A(1，2)．又焦点为F(2，0)，所以直线AF的斜率为－2，直线AF的方程为y＝－2(x－2)，代入抛物线C的方程y2＝8x，得x2－5x＋4＝0，所以xA＋xB＝5，所以|AB|＝xA＋xB＋p＝5＋4＝9，故选C．6．(2019届湖南百所名校4月大联考)已知椭圆C：＋＝1(0<b<2)，作倾斜角为的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，与的夹角为θ，且|tanθ|＝3，则b＝()A．1 B．C．D．解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则两式作差得＋＝0.由题意知＝－1，x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，∴－＝0，即＝.设直线OM的倾斜角为α，则θ＝α＋或θ＝－α，tanθ＝±，又tanα＝＝，＝3，结合0<b<2，得b2＝2，即b＝，故选B．7．(2019届辽宁五校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，若△BF1F2的周长为6，且点F1到直线BF2的距离为b.(1)求椭圆C的方程；(2)设A1，A2是椭圆C长轴的两个顶点，P是椭圆C上不同于A1，A2的任意一点，直线A1P交直线x＝m于点M，若以MP为直径的圆过点A2，求实数m的值．解：(1)由题意得F1(－c，0)，F2(c，0)，B(0，b)，则由题意得2a＋2c＝6，①直线BF2的方程为bx＋cy－bc＝0，所以＝b，即b2＝3c2.②又a2＝b2＋c2，③所以由①②③可得a＝2，b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)由(1)知A1(－2，0)，A2(2，0)，设P(x0，y0)，则直线A1P的方程为y＝(x＋2)，所以M.又点P在椭圆C上，所以y＝3，若以MP为直径的圆过点A2，则A2M⊥A2P，即·＝0，所以(x0－2，y0)＝(m－2)(x0－2)＋(m＋2)＝(m－2)(x0－2)＋(m＋2)＝(x0－2)＝0.又点P不同于点A1，A2，所以x0≠±2，所以m－＝0，所以m＝14.8．(2019届成都一诊)已知椭圆＋＝1的右焦点为F，设直线l：x＝5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．(1)若直线l1的倾斜角为，求|AB|的值；(2)设直线AM交直线l于点N，证明：直线BN⊥l.解：由题意知，F(1，0)，E(5，0)，M(3，0)．(1)∵直线l1的倾斜角为，∴斜率k＝1.∴直线l1的方程为y＝x－1.代入椭圆方程，可得9x2－10x－15＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－.∴|AB|＝·＝×＝.(2)证明：设直线l1的方程为y＝k(x－1)．代入椭圆方程，得(4＋5k2)x2－10k2x＋5k2－20＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.设N(5，y0)，∵A，M，N三点共线，∴＝，∴y0＝.∵y0－y2＝－y2＝－k(x2－1)＝＝＝0.∴直线BN∥x轴，即BN⊥l.B级·素养提升|练能力|9.(2019届湖北武汉4月调研)已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4的右支有两个交点，则k的取值范围为()A．B．C．D．解析：选D由题意知k>0，联立整理得(1－k2)x2＋2kx－5＝0①，因为直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4的右支有两个交点，所以方程①有两个不同的正实数根，设为x1，x2，则解得1<k<，即k∈，故选D．10．(2019届河北石家庄二模)已知倾斜角为的直线经过椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点F，与椭圆交于A，B两点，且＝2，则该椭圆的离心率为()A．B．C．D．解析：选B由题可知，直线的方程为y＝x－c与椭圆方程联立得∴(b2＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则又＝2，∴(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)，∴－y1＝2y2，可得∴＝，又b2＝a2－c2，∴e＝，故选B．11．(2019届河北石家庄4月模拟)已知双曲线C：x2－4y2＝1，过点P(2，0)的直线l与双曲线C有唯一公共点，则直线l的方程为________．解析：由题意知，点P(2，0)在双曲线内，故满足条件的直线l只能是与双曲线的两条渐近线y＝±x平行的直线．又该直线过点P(2，0)，因此该直线l的方程为y＝±(x－2)．答案：y＝±(x－2)12．(2020届贵阳摸底)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，椭圆C的左焦点F1到双曲线－y2＝1的渐近线的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l：y＝kx＋m(k＜0)与椭圆C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆经过点F2，且原点O到直线l的距离为，求直线l的方程．解：(1)∵椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，∴＝.又双曲线－y2＝1的其中一条渐近线方程为x－y＝0，椭圆C的左焦点F1(－c，0)，∴由题意知，＝，解得c＝1，∴a＝，b＝1，∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)由(1)知F2(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由原点O到直线l：y＝kx＋m(k＜0)的距离为，得＝，即m2＝(1＋k2)．①将y＝kx＋m代入＋y2＝1中，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，∴Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝8(2k2－m2＋1)＞0，x1＋x2＝－，x1x2＝.又以线段AB为直径的圆经过点F2，∴·＝0，即(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，∴(x1－1)(x2－1)＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，即(1＋k2)x1x2＋(km－1)(x1＋x2)＋m2＋1＝0，∴(1＋k2)·＋(km－1)·＋m2＋1＝0，化简得3m2＋4km－1＝0.②由①②，得11m4－10m2－1＝0，∴m2＝1.又k＜0，∴满足Δ＝8(2k2－m2＋1)＞0，∴直线l的方程为y＝－x＋1.