【课堂新坐标】2021年高考数学二轮热点专题突破讲练第二讲函数的图象与性质理（含解析）.doc

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第二讲函数的图象与性质1．(函数的定义域)若f(x)＝，则f(x)的定义域为__________．【解析】要使f(x)有意义，需log(2x＋1)>0＝log1，∴0<2x＋1<1，∴－<x<0.【答案】(－，0)2．(分段函数求值)设函数f(x)＝则f(f(－4))＝________.【解析】∵f(－4)＝－4＝16，∴f(f(－4))＝f(16)＝＝4.【答案】4 3．(函数的奇偶性与周期性)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，且x∈时，f(x)＝log2(－3x＋1)，则f(2 014)＝________.【解析】由函数的周期性知，f(2 014)＝f(671×3＋1)＝f(1)，由－1∈知f(－1)＝log24＝2.又函数f(x)是奇函数，从而f(2 014)＝f(1)＝－f(－1)＝－2.【答案】－2 4．(函数的单调性)设a＝0.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是________．【解析】由函数y＝x0.5在(0，＋∞)上为增函数知，0.30.5＜0.5＜10.5＝1.又c＝log0.30.2＞log0.30.3＝1，∴c＞a＞b.【答案】c＞a＞b 5．(函数图象变换)若函数y＝f(x)的图象关于点(5,0)对称，则把f(x)的图象向________才能使函数y＝f(x)变为奇函数．【解析】奇函数的图象关于原点(0,0)对称，故需把y＝f(x)向左平移5个单位．【答案】左平移5个单位函数及其表示(1)(2013·山东高考)函数f(x)＝＋的定义域为()A．(－3,0]B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0]D．(－∞，－3)∪(－3,1](2)(2013·无锡模拟)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．【思路点拨】(1)根据函数式的特点，转化为关于x的不等式组求解．(2)欲求f(1－a)与f(1＋a)，关键在于判定1－a、1＋a与1的大小关系．因此分a>0和a<0两种情况求解．【自主解答】(1)由题意知解得∴－3＜x≤0.(2)①当1－a<1，即a>0时a＋1>1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，∴a＝－(舍去)；②当1－a>1，即a<0时，此时a＋1<1，由f(1－a)＝f(1＋a)．得2(1＋a)＋a＝－(1－a)－2a，∴a＝－，综上所述，a＝－.【答案】(1)A(2)－1．第(2)小题的求解关键在于确定f(1－a)与f(1＋a)的值，应重点讨论1＋a与1－a和1的大小关系．2．(1)函数的定义域应使每个含有自变量的式子都有意义．(2)求f(g(x))类型的函数值时，应遵循先内后外的原则，而对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解，特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性．变式训练1(2013·辽宁高考)已知函数f(x)＝ln(－3x)＋1，则f(lg 2)＋f(lg)＝()A．－1B．0C．1D．2【解析】∵f(lg 2)＝ln(－3lg 2)＋1，f(lg)＝f(－lg 2)＝ln(＋3lg 2)＋1，∴f(lg 2)＋f(lg)＝ln(－3lg 2)＋ln(＋3lg 2)＋2＝ln 1＋2＝2.【答案】D函数的图象及应用(1)(2013·课标全国卷Ⅰ)函数f(x)＝(1－cos x)·sin x在[－π，π]的大致图象为()(2)(2013·荆州模拟)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．【思路点拨】(1)利用函数的奇偶性、特殊值及极值点排除．(2)作出函数f(x)的图象简图，数形结合确定实数k的取值范围．【自主解答】(1)在[－π，π]上，∵f(－x)＝[1－cos(－x)]sin(－x)＝－(1－cos x)sin x＝－f(x)．∴函数f(x)是奇函数，排除B.又f＝sin＝1＞0，排除A.f′(x)＝sin x·sin x＋(1－cos x)cos x＝－2cos2x＋cos x＋1，令f′(x)＝0，则cos x＝1或cos x＝－.则f(x)在(0，π]上的极值点为π，靠近π，故选C.(2)函数f(x)的图象，如图所示：由图象知，当0<k<1时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝k有两个不同的交点，即方程f(x)＝k有两个不同的实根．因此，实数k的取值范围是(0,1)．【答案】(1)C(2)(0,1)1．第(1)题易错选D，原因是忽视了函数极值的位置；第(2)题求解的关键是正确画出f(x)的简图，特别是当x＜2时，f(x)＝(x－1)3的图象．2．在观察、分析图象时，要注意图象的分布及变化趋势，尤其是函数的奇偶性以及极值点、特殊点的函数值等，找准解析式与图象的对应关系．3．函数图象形象地展示了函数的性质(如单调性、奇偶性、最值等)，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，因此常用函数的图象研究函数的性质，求解方程(不等式)中的参数取值等．变式训练2(1)(2013·四川高考)函数y＝的图象大致是()(2)(2013·北京高考)函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝()A．ex＋1 B．ex－1 C．e－x＋1 D．e－x－1【解析】(1)由3x－1≠0得x≠0，∴函数y＝的定义域为{x|x≠0}，可排除选项A；当x＝－1时，y＝＝>0，可排除选项B；当x＝2时，y＝1，当x＝4时，y＝，排除D，故选C.(2)曲线y＝ex关于y轴对称的曲线为y＝e－x，将y＝e－x的图象向左平移1个单位长度得到y＝e－(x＋1)，即f(x)＝e－x－1.【答案】(1)C(2)D函数的性质及应用(1)(2013·湖北高考)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为()A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数(2)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝()1－x，则①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________．【思路点拨】(1)把函数f(x)写成分段函数的形式，画出其图象判断．(2)由题设条件f(x＋1)＝f(x－1)及函数的奇偶性，可知2是函数的周期，根据对称性、周期性，结合f(x)＝()1－x，x∈[0,1]的图象，进一步判定②③.【自主解答】(1)f(x)＝x－[x]＝图象如图所示：由图象知函数f(x)是周期函数，故选D.(2)在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，则有f(t＋2)＝f(t)，因此2是函数f(x)的周期，故①正确，由于f(x)是偶函数，所以f(x－1)＝f(1－x)，结合f(x＋1)＝f(x－1)得f(1＋x)＝f(1－x)，故f(x)的图象关于x＝1对称．当x∈[0,1]时，f(x)＝()1－x＝2x－1单调递增，所以f(x)在(1,2)上单调递减，在(2,3)上是增函数，故②正确．由②知，f(x)在一个周期区间[0,2]上的最大值为f(1)＝1，最小值为f(0)＝f(2)＝，所以函数f(x)的最大值为1，最小值为，故③不正确．【答案】(1)D(2)①②1．解答第(1)题时，无法使用定义，故需画出函数的图象；第(2)题求解的关键是借助恒等式求出函数的周期．2．若函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝(a为常数，且a≠0)，则2a为f(x)的一个周期，若满足f(x＋a)＝f(－x＋b)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．在解题时，应根据需要，借助函数的奇偶性灵活变形．变式训练3(1)(2013·天津高考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是()A．[1,2]B(0，]C．[，2]D．(0,2](2)设奇函数y＝f(x)(x∈R)，满足对任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)，且x∈时，f(x)＝－x2，则f(3)＋f的值等于________．【解析】(1)∵f(loga)＝f(－log2a)＝f(log2a)，∴原不等式可化为f(log2a)≤f(1)．又∵f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，且为偶函数，∴－1≤log2a≤1，即≤a≤2.(2)由函数f(x)是奇函数且f(t)＝f(1－t)得f(t＋1)＝－f(t)，从而f(t＋2)＝f(t)，即函数f(x)的一个周期为2，∴f(3)＝f(1)＝f(0)＝0，f＝f＝－，∴f(3)＋f＝0＋＝－.【答案】(1)C(2)－分段函数近几年频频出现在高考题中，因为它能深层次考查函数的有关性质，以及分类讨论思想，故成为高考的热点，其中分段函数的奇偶性和单调性应引起我们的高度重视．分段函数问题的分类求解策略(12分)已知函数f(x)＝是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．【规范解答】(1)∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x).2分当x>0时，－x<0，有(－x)2－mx＝－(－x2＋2x)，即x2－mx＝x2－2x.∴m＝2.6分(2)由(1)知f(x)＝当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，∴x∈[1，＋∞)时，f(x)单调递减；x∈(0,1]时，f(x)单调递增.8分当x<0时，f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∴当x∈(－∞，－1]时，f(x)单调递减；x∈[－1,0)时，f(x)单调递增．综上知：函数f(x)在[－1,1]上单调递增，10分又函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增．∴解之得1<a≤3.故实数a的取值范围是(1,3].12分【阅卷心语】易错提示本题常见的错误有两点：(1)求m值时，不是通过运算求m，而是受思维定势的消极影响，想当然认为m＝－2，从而出现错误．(2)不能由分段函数求得f(x)在R上的单调递增区间，从而导致求不出a或出现错误答案．防范措施(1)解决本题要抓住分段函数奇偶性的定义，可设x>0或x<0，从而－x<0或－x>0，这样可代入解析式求m.(2)可通过f(x)的图象直观地看出函数f(x)的单调区间．有关分段函数的单调性问题，不但要注意每一段上的单调性，还应注意“接点”处函数值的大小．1．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝x2＋2x(x≥0)，若f(3－a2)＞f(2a)，则实数a的取值范围是____．【解析】f(x)＝(x＋1)2－1在[0，＋∞)上是增函数，又因为f(x)是R上的奇函数，所以函数f(x)是R上的增函数，要使f(3－a2)＞f(2a)只需3－a2＞2a，解得－3＜a＜1.【答案】(－3,1)2．设函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－ax，x∈[－2,2]为偶函数，则实数a的值为________．【解析】g(x)＝f(x)－ax＝设0＜x≤2，则－2≤－x＜0，由g(－x)＝g(x)得－1－a(－x)＝(1－a)x－1，∴1－a＝a，解得a＝.【答案】。