高中数学第一章导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例边际函数应用素材新人教A版选修2-2（通用）.doc

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边际函数应用在经济问题中，常常会使用变化率的概念，变化率又分为平均变化率和瞬时变化率．平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，即函数在内的平均变化率为，如我们常用到年产量的平均变化率、成本的平均变化率、利润的平均变化率等．瞬时变化率就是函数对自变量的导数，即当自变量增量趋于零时平均变化率的极限：．在经济学中，一个经济函数的导数称为该函数的边际函数．在点处的导数称为在点处的变化率，也称为在点处的边际函数值．它表示在点处的变化速度．现设是一个可导的经济函数，于是当很小时，．特别地，当或时，分别给出或．因此边际函数值的经济意义是：经济函数在点处，当自变量再增加1个单位时，因变量的改变量的近似值，或近似于经济函数值与之差．但在应用问题中解释边际函数的具体意义时，常略去“近似”两字．例设函数，试求在时的边际函数值．解：因为，所以．该值表明：当时，改变一个单位（增加或减少一个单位），约改变10个单位（增加或减少10个单位）．下面介绍经济学中常用的几个边际概念．1．边际成本某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入（劳动力、原料、设备等）的价格或费用总额．它由固定成本和可变成本两部分组成．平均成本是生产一定量产品，平均每单位产品的成本．边际成本是总成本的变化率．在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条件下，成本是产量的函数．设总成本函数，为产量，则平均成本函数为，生产个单位产品时的边际成本函数为．称为当产量为时的边际成本．西方经济学家对它的解释是：当生产个单位产品前最后增加的那个单位产品所花费的成本或生产个单位产品后增加的那个单位产品所花费的成本．这两种理解均算正确．2．边际收益和边际利润总收益是生产者出售一定量产品所得到的全部收入．平均收益是生产者出售一定量产品，平均每单位产品所得到的收入，即单位商品的售价．边际收益为总收益的变化率．总收益、平均收益、边际收益均为销售量的函数．设P为价格，Q为销售量，则总收益函数为：，若需求函数为，则总收益函数为，故平均收益函数为，即价格可视作从需求量（这里需求量即为销信量）上获得的平均收益．边际收益为．的经济意义为：表示销售量为个单位时，多销售一个单位产品或少销售一个单位产品时收益的改变量．由经济学知识，总利润是总收益与总成本之差，设总利润为，则总利润函数为（其中为商品量），那么边际利润函数为．它的经济意义是：表示销售量为单位时，再销售一个单位商品时利润的改变量．。