一致收敛判别法总结(共12页).doc

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学年论文题目：一致收敛判别法总结学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学学生姓名：张学玉学号：4指导教师：陶菊春一致收敛判别法总结学生姓名：张学玉指导教师：陶菊春摘要：函数项级数一致收敛性的证明是数学分析中的难点，为了开阔思路，更好的理解和掌握函数项级数一致收敛的方法，本文对函数项级数一致收敛的几种判别法进行了分析、归纳、总结。首先对用定义判断函数项级数一致收敛的方法进行了研究,介绍了函数项级数一致收敛的充要条件,近而提供了证明函数项级数一致收敛的一般方法。同时介绍了几个较为方便适用的关于函数序列一致收敛的判别法法。并通过例题的讨论说明这些判别法的可行性及特点。Abstract：Function Series Uniform Convergence prove mathematical analysis of the difficulties,in order to broaden their thinking,to better understand and master the functions Seies Convergence approach,this paper uniformly convergent series of functions of several discriminant method were analyzed,summarized,summary.First,determine the definition of series of functions with uniform convergence methods were studied,introduced uniformly convergent series of functions necessary and sufficient conditions,while providing nearly proved uniformly convergent series of functions of the general method.Also introduced several relatively easy to apply uniform convergence on the discriminant function sequence Law Act.And through discussion of examples illustrate the feasibility of these discriminant method and characteristics.关键词：函数项级数；函数序列；一致收敛；判别法Keywords:series of functions;function sequence;uniform convergence;Criterion引言：函数项级数一致收敛性的证明是初学者的一个难点，教材中给出了用定义法、定理及判别法来证明函数项级数的一致收敛性。初学者需用灵活的思维以便在使用时选出正确又快捷的证明方法和技巧。为了更好的培养我们这方面的能力，总结出了函数项级数一致收敛性的若干证明方法。一、定义设是函数项级数的部分和函数列.若在数集上一致收敛于函数，则称函数项级数在上一致收敛于函数，或称函数项级数在上一致收敛.定理：若对，>0使得,并且当时有.则当时一致收敛于.例1：若在上可积，，且与在上都可积.设，则在上一致收敛于.证明：==所以时，一致收敛于.二、函数项级数一致收敛的柯西收敛原理函数项级数在上一致收敛的充分必要条件是对于任意给定的ε>0，存在正整数，使<ε.对一切正整数m>n>N与一切x∈成立.证明：（必要性）设在上一致收敛.记和函数为，则对任意给定的ε>0，存在正整数.使得对一切n>N与一切成立<于是对一切m>n>N与一切x∈，成立==<（充分性）设对任意给定的>0，存在正整数，使得对一切m>n>N与一切成立=<固定,则函数项级数满足可惜收敛原理，因而收敛。设在<中，固定n.令m>，则得到<对一切成立.因而在上一致收敛于可以相应的得出函数序列一致收敛的柯西收敛原理：函数序列在上一致收敛对任给的正数，总存在正数N，使得当m＞n＞N时，对一切,都有＜例2：若在区间上，对任何正整数n,.证明：当在上一致收敛时，级数在上也一致收敛.证明：因为在上一致收敛.故对任给的>0，总存在N＞0,使得当n＞N时，对任意及任意，有＜从而由得+＜＜所以，由柯西准则知，级数在上一致收敛.三、设函数序列在集合上点态收敛于，定义与的距离为=则在上一致收敛于的充分必要条件是:=0.证明：设在上一致收敛于，则对任意给定的＞0，存在,当n＞时，<对一切成立.于是对n＞，<，这就说明=0.反过来，若=0则对任意给定的＞0，存在，当n＞时，<，此式表明<.对一切成立.所以在上一致收敛于.例3：设=，则在上收敛于极限函数.证明：由于=等号成立当且仅当.可知=因此在上一致收敛于.例4:证级数在上不一致收敛但在上内闭一致收敛.证明：==，知道级数在不一致收敛.对任意（0<<1），==可得级数在上内闭一致收敛.四、魏尔斯特拉斯判别法：设为一个函数项级数，若存在一个收敛的正项级数，且，当n＞，时，有.则函数项级数一致收敛.证明:∵正项级数收敛∴对任意的＞0存在，当n＞时，对任意的有＜又∵故对任意的，有＜∴函数项级数一致收敛例5：函数项级数（a＞1）在［0，+）上一致收敛.证明：记=，则=.于是容易知道在外达到最大值，即，［0，+）.由于a＞1，正项级数收敛.由魏尔斯特拉斯判别法（a＞1）在［0，+）上一致收敛.五、阿贝尔判别法：设（Ⅰ）在区间上一致收敛；（Ⅱ）对于每一个，是单调的；（Ⅲ）在上一致有界，即对一切和正整数，存在正整数，使得，则级数在上一致收敛.证明：由（Ⅰ），任给>0，存在某正数，使得当>及任何正整数，对一切，有＜又由（Ⅱ），（Ⅲ）及阿贝尔引理得到.于是根据函数项级数一致收敛的柯西准则，得级数在上一致收敛.例6：设收敛，则在上一致收敛.证明：显然关于单调，且，.对一切成立；是数项级数，它的收敛性就意味着关于的一致收敛性.由阿贝尔判别法，得到在上一致收敛.六、狄利克雷判别法：设（Ⅰ）的部分和函数列=在上一致有界；（Ⅱ）对于每一个，是单调的；（Ⅲ）在上一致收敛于0，则级数在上一致收敛.证明：由（Ⅰ），存在正数，对一切，有.因此当为任何正整数时，对任何一个，再由（Ⅱ）及阿贝尔引理，得到再由（Ⅲ），对任给的>0，存在正数，当>时，对一切，有<,所以<于是由一致收敛性的柯西准则，得级数在上一致收敛.例7：设单调收敛于0，则与在上内闭一致收敛.证明：数列收敛于0，意味着关于一致收敛于0.另外，对任意＜＜当时，=；=；由狄利克雷判别法，得到与在上一致收敛，故与在上内闭一致收敛.七、设函数序列在闭区间上点态收敛于，如果（1）在上连续；（2）在上连续；（3）关于单调，即对任意固定的，是单调数列.则在上一致收敛于.证明：用反证法。设在上不一致收敛于，则＞,＞，：.依次取：，＞1，：，，＞，：，，＞，：，于是得到数列，.由威尔斯特拉斯定理知，数列必有收敛子列.为了叙述方便，不妨设，.由于，所以对＞0，存在,成立＜.由条件（1）与（2），在连续，由于，存在正整数，使＜对一切＞成立.现利用条件（3），即关于的单调性，则当＞与＞时，＜.由于，当充分大时，总能满足＞与＞，于是成立＜，这就与产生矛盾.从而得在上一致收敛于八、设函数项级数在闭区间上点态收敛于，如果（1）在闭区间上连续；（2）在闭区间上连续；（3）对任意固定的，是正项级数或负向技术.则在上一致收敛于.例8：设，在区间上连续，且对一切成立.证明；若在上点态收敛于一个连续函数，则也必然收敛于一个连续函数.证明：设任意闭区间.由于0在连续，和函数在上连续，则由迪尼定理可知在一致收敛.于是由柯西收敛原理，可知＞0，，＞＞，成立＜此即说明在一致收敛.因此在上连续.由于的任意性，即得到在上连续.[参考文献]1、华东师范大学.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2010 2、复旦大学.数学分析[M].北京:高等教育出版社，2004 3、裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，1993指导教师预评评语指导教师职称预评成绩年月日答辩小组评审意见答辩小组评定成绩答辩委员会终评意见答辩委员会终评成绩答辩小组组长（签字）：年月日答辩委员会主任（签章）：年月日说明：1.成绩评定均采用五级分制，即优、良、中、及格、不及格。2.评语内容包括：学术价值、实际意义、达到水平、学术观点及论证有无错误等。