2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理科试题（江西卷）精校版（通用）.doc

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2020年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学试题第Ⅰ卷一．选择题：本小题共12题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，则实数分别为A．B．C．D．2．若集合，则A．B．C．D．3．不等式的解集是A．B．C．D．4．A．B．C．D．不存在5．等比数列中，，函数，则A．B．C．D．6．展开式中不含项的系数的和为A．B．C．D．7．E，F是等腰直角斜边AB上的三等分点，则A．B．C．D．8．直线与圆相交于M，N两点，若，则的取值范围是A．B．C．D．9．给出下列三个命题：①函数与是同一函数；②若函数与的图像关于直线对称，则函数与的图像也关于直线对称；③若奇函数对定义域内任意都有，则为周期函数．其中真命题是A．①②B．①③C．②③D．②10．过正方体的顶点A作直线，使与棱所成的角都相等，这样的直线可以作A．1条B．2条C．3条D．4条11．一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各参入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为和．则A．B．C．D．以上三种情况都有可能12．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致为二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填写在答题卡上．13．已知向量满足与的夹角为60°，则______________．14．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_________种（用数字作答）．15．点在双曲线的右支上，若点A到右焦点的距离等于，则__________．16．如图，在三棱锥中，三条棱两两垂直，且，分别经过三条棱作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，则的大小关系为________________．三．解答题：本大题共小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数．（1）当时，求在区间上的取值范围；（2）当时，，求的值．18．（本小题满分12分）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令表示走出迷宫所需的时间．（1）求的分布列；（2）求的数学期望．19．（本小题满分12分）设函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若在上的最大值为，求的值．20．（本小题满分12分）如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面BCD，．（1）求点A到平面MBC的距离；（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．21．（本小题满分12分）设椭圆，抛物线．（1）若经过的两个焦点，求的离心率；（2）设，又M、N为与不在轴上的两个交点，若得垂心为，且的重心在上，求椭圆和抛物线的方程．22．（本小题满分14分）证明以下命题：（1）对任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列；（2）存在无穷多个互不相似的三角形，其边长为正整数且成等差数列．理科数学试题参考答案一．选择题；本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．D 2．C 3．A 4．B 5．C 6．B 7．D 8．A 9．C 10．D 11．B 12．A二．填空题：本小题共4小题，每小题4分，共16分．13．14．1080 15．2 16．三．解答题：本大题共6小题，共74分．17．（本小题满分12分）解：（1）当时，又由得，所以，从而．18．（本小题满分12分）解：（1）的所有可能取值为：1,3,4,6，所以的分布列为：1346（2）（小时）20．（本小题满分12分）解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则．又平面MCD平面BCD，则MO平面BCD，所以MO//AB，MO//平面ABC．M，O到平面ABC的距离相等．作OHBC于H，连MH，则MHBC．求得，．设点A到平面MBC的距离为，由得．即，解得．（2）延长AM、BO相交于E，连CE、DE，CE是平面ACM与平面BCD的交线．由（1）知，O是BE的中点，则四边形BCED是棱形．作于F，连AF，则就是二面角的平面角，设为．因为，所以．,．解法二：取CD中点O，连OB，OM，则．又平面平面BCD，则平面BCD．取O为原点，直线OC、BO、OM为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系如图．，则各点坐标分别为21．（本小题满分12分）解：（1）因为抛物线经过椭圆的两个焦点，，可得，由，有，所以椭圆的离心率．（2）由题设可知M，N关于轴对称，设，则由的垂心为B，有，所以……①由于点在上，故有……②22．（本小题满分14分）证明：（1）易知成等差数列，则也成等差数列，所以对任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列．（2）若成等差数列，则有，即……①选取关于的一个多项式，例如，使得它可按两种方式分解因式，由于因此令，可得易验证满足①，因此成等差数列，当时，有且因此以为边长可以构成三角形，将此三角形记为．其次，任取正整数，假若三角形与相似，则有：据此例性质有：所以，由此可得，与假设矛盾，即任两个三角形与互不相似，所以存在无穷多个互不相似的三角形，其边长为正整数且以成等差数列．。